💡 10. Sınıf Matematik: Karesel, Karekök ve Rasyonel Fonksiyonlar ile Temsil Edilen Problemler Çözümlü Örnekler

Bu problemi çözmek için alan formülünü kullanacağız. Alan = Kenar1 * Kenar2.

• Verilen alan: \( 3x^2 + 6x \)
• Verilen kenar uzunluğu: \( x+2 \)
• Diğer kenar uzunluğunu bulmak için alanı verilen kenara böleceğiz: \( \frac{3x^2 + 6x}{x+2} \)
• Pay kısmındaki ortak çarpanı (3x) dışarı alalım: \( 3x(x+2) \)
• Şimdi bölme işlemini yapalım: \( \frac{3x(x+2)}{x+2} \)
• \( x+2 \) terimleri sadeleşir.

Sonuç olarak diğer kenar uzunluğu \( 3x \) metredir. ✅

Karenin alan formülü kenar uzunluğunun karesidir.

• Karenin bir kenar uzunluğu: \( a = \sqrt{27} \) cm
• Karenin alanı \( A = a^2 \)
• Alanı hesaplamak için kenar uzunluğunun karesini alalım: \( A = (\sqrt{27})^2 \)
• Karekökün karesi sayının kendisine eşittir.

Bu nedenle, karenin alanı \( 27 \) \( \text{cm}^2 \) dir. 💡

Bir rasyonel fonksiyonun paydası asla sıfır olamaz. Bu nedenle, fonksiyonun tanımlı olabilmesi için paydanın sıfıra eşit olduğu değerleri tanım kümesinden çıkarmalıyız.

• Payda: \( x-3 \)
• Paydanın sıfır olduğu durum: \( x-3 = 0 \)
• Buradan \( x = 3 \) bulunur.
• Bu durumda fonksiyon \( x=3 \) için tanımsızdır.

Dolayısıyla, \( f(x) \) fonksiyonunun tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \) yani 3 hariç tüm reel sayılardır. 📌

Bu soruda, \( y = \sqrt{x} \) fonksiyonunun belirli bir noktadaki değişim oranını (eğimini) yaklaşık olarak bulmaya çalışacağız. Türev bilgisi olmadan, fonksiyonun iki yakın noktadaki değerlerinin farkını alarak bir fikir edinebiliriz.

• Fonksiyonumuz: \( y = \sqrt{x} \)
• İncelenecek nokta: \( x=4 \)
• Fonksiyonun \( x=4 \) noktasındaki değeri: \( y = \sqrt{4} = 2 \)
• \( x=4 \) noktasına çok yakın bir başka nokta seçelim, örneğin \( x=4.01 \).
• Bu noktadaki fonksiyon değeri: \( y = \sqrt{4.01} \approx 2.0025 \)
• Bu iki nokta arasındaki değişim oranı (yaklaşık eğim): \( \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2.0025 - 2}{4.01 - 4} = \frac{0.0025}{0.01} = 0.25 \)

Bu hesaplama, \( x=4 \) noktasındaki eğimin yaklaşık olarak 0.25 olduğunu gösterir. Daha hassas bir sonuç için türev bilgisi gereklidir, ancak bu yöntem bize bir fikir verir. 👉

Depoda kalan su miktarını zamanla değişen bir fonksiyon olarak ifade edeceğiz.

• Başlangıçtaki su miktarı: \( 100 \) litre
• Her saat kullanılan miktar: \( \frac{1}{4} \) 'ü
• Her saat kalan miktar: \( 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \) 'ü
• \( t \) saat sonra kalan su miktarı \( S(t) \) olsun.
• Her saat kalan miktar ile çarpım yaparak ilerleriz.
• \( S(t) = 100 \times \left(\frac{3}{4}\right)^t \)

Bu fonksiyon, \( t \) saat sonra depoda kalan su miktarını litre cinsinden verir. 💧

Denklemdeki karekök ifadesi tam kare bir ifadedir.

• Karekök içindeki ifade: \( x^2 - 6x + 9 \)
• Bu ifade \( (x-3)^2 \) şeklinde yazılabilir.
• Denklemimiz şu hale gelir: \( \sqrt{(x-3)^2} = 5 \)
• Karekök ve kare birbirini götürürken mutlak değer oluşur: \( |x-3| = 5 \)
• Mutlak değerli denklemler iki durumda çözülür:
• 1. Durum: \( x-3 = 5 \Rightarrow x = 8 \)
• 2. Durum: \( x-3 = -5 \Rightarrow x = -2 \)

Bu nedenle denklemi sağlayan \( x \) değerleri \( 8 \) ve \( -2 \) 'dir. ✅

Karenin çevresi, bir kenar uzunluğunun 4 katına eşittir.

• Karenin bir kenar uzunluğu: \( a = \sqrt{50} \) metre
• \( \sqrt{50} \) ifadesini sadeleştirelim: \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \) metre
• Karenin çevresi \( Ç = 4a \)
• Çevreyi hesaplayalım: \( Ç = 4 \times (5\sqrt{2}) \)
• \( Ç = 20\sqrt{2} \) metre

Bahçenin çevresi \( 20\sqrt{2} \) metredir. 🌳

Bu soruda, verilen maliyet fonksiyonunda \( x \) yerine üretilen ürün adedini yazarak birim maliyeti bulacağız.

• Maliyet fonksiyonu: \( C(x) = \frac{1000}{x} + 50 \)
• Üretilen ürün adedi: \( x = 200 \)
• \( x=200 \) değerini fonksiyonda yerine koyalım: \( C(200) = \frac{1000}{200} + 50 \)
• Bölme işlemini yapalım: \( \frac{1000}{200} = 5 \)
• Sonucu toplayalım: \( C(200) = 5 + 50 \)
• \( C(200) = 55 \) TL

Şirket \( 200 \) adet ürün üretirse, bir ürünün maliyeti \( 55 \) TL olur. 💰