💡 10. Sınıf Matematik: Karesel Fonksiyonun Grafiği Ve Nitelik Özellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karesel Fonksiyonun Grafiği Ve Nitelik Özellikleri Çözümlü Örnekler
Karesel Fonksiyonun Temel Grafiği
\( f(x) = x^2 \) karesel fonksiyonunun grafiği bir paraboldür. Bu parabolün temel özelliklerini inceleyelim.
- Tepe Noktası: Orijin noktasıdır. \( (0, 0) \)
- Simetri Ekseni: y-eksenidir. Denklemi \( x = 0 \)
- Kolları: Yukarı doğrudur.
- Tanım Kümesi: Tüm gerçel sayılar kümesidir. \( \mathbb{R} \)
- Görüntü Kümesi: \( [0, \infty) \)
Bu fonksiyonun grafiği, x'in pozitif veya negatif değerleri için y'nin daima pozitif veya sıfır olmasından dolayı y-eksenine göre simetriktir. 💡
Çözüm:
- Tepe Noktası: \( f(x) = ax^2 + bx + c \) formülünde \( a=1, b=0, c=0 \) olduğundan, tepe noktası \( (0,0) \) olur.
- Simetri Ekseni: Tepe noktasının x-koordinatı simetri eksenini verir. Bu nedenle \( x = 0 \), yani y-eksenidir.
- Kolların Yönü: Baş katsayı \( a=1 \) pozitif olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur.
- Tanım Kümesi: Fonksiyon tüm gerçel sayılar için tanımlıdır.
- Görüntü Kümesi: Parabolün en küçük değeri tepe noktasında \( y=0 \) olduğundan, görüntü kümesi \( [0, \infty) \) olur.
Bu özellikler, \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiğini çizerken bize rehberlik eder. ✅
Grafik Kaydırmaları: \( f(x) = x^2 + k \)
\( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiğini kullanarak \( g(x) = x^2 + 3 \) ve \( h(x) = x^2 - 2 \) fonksiyonlarının grafiklerinin nasıl değiştiğini inceleyelim.
- \( g(x) = x^2 + 3 \) fonksiyonunun grafiği, \( f(x) = x^2 \) grafiğinin 3 birim yukarı ötelenmiş halidir.
- \( h(x) = x^2 - 2 \) fonksiyonunun grafiği, \( f(x) = x^2 \) grafiğinin 2 birim aşağı ötelenmiş halidir.
Genel olarak, \( f(x) = x^2 + k \) fonksiyonunda k > 0 ise grafik yukarı, k < 0 ise grafik aşağı kayar. ⬆️⬇️
Çözüm:
- \( g(x) = x^2 + 3 \) fonksiyonunda, her x değeri için \( x^2 \) değerine 3 eklenir. Bu, grafiğin tüm noktalarının y-ekseni boyunca 3 birim yukarı hareket etmesi anlamına gelir. Tepe noktası \( (0, 3) \) olur.
- \( h(x) = x^2 - 2 \) fonksiyonunda, her x değeri için \( x^2 \) değerinden 2 çıkarılır. Bu, grafiğin tüm noktalarının y-ekseni boyunca 2 birim aşağı hareket etmesi anlamına gelir. Tepe noktası \( (0, -2) \) olur.
Bu ötelemeler, fonksiyonun tepe noktasının konumunu değiştirir ancak simetri eksenini (y-ekseni) değiştirmez. 📌
Grafik Kaydırmaları: \( f(x) = (x-h)^2 \)
\( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiğini kullanarak \( p(x) = (x-2)^2 \) ve \( q(x) = (x+1)^2 \) fonksiyonlarının grafiklerinin nasıl değiştiğini inceleyelim.
- \( p(x) = (x-2)^2 \) fonksiyonunun grafiği, \( f(x) = x^2 \) grafiğinin 2 birim sağa ötelenmiş halidir.
- \( q(x) = (x+1)^2 \) fonksiyonunun grafiği, \( f(x) = x^2 \) grafiğinin 1 birim sola ötelenmiş halidir.
Genel olarak, \( f(x) = (x-h)^2 \) fonksiyonunda h > 0 ise grafik sağa, h < 0 ise grafik sola kayar. ➡️⬅️
Çözüm:
- \( p(x) = (x-2)^2 \) fonksiyonunda, \( x \) yerine \( x-2 \) yazıldığında, grafiğin x-ekseni boyunca 2 birim sağa kaydığı görülür. Tepe noktası \( (2, 0) \) olur.
- \( q(x) = (x+1)^2 \) fonksiyonunda, \( x \) yerine \( x+1 \) yazıldığında (ki bu \( x - (-1) \) demektir), grafiğin x-ekseni boyunca 1 birim sola kaydığı görülür. Tepe noktası \( (-1, 0) \) olur.
Bu yatay ötelemeler, fonksiyonun simetri eksenini değiştirir. \( p(x) \) için simetri ekseni \( x = 2 \), \( q(x) \) için ise \( x = -1 \) olur. 🔄
Tepe Noktası Formülü: \( f(x) = ax^2 + bx + c \)
\( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) karesel fonksiyonunun grafiği olan parabolün tepe noktasını bulunuz.
Tepe noktasının x-koordinatı \( x_t = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur.
Çözüm:
Verilen fonksiyon \( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) şeklindedir. Burada katsayılar:
- \( a = 1 \)
- \( b = -6 \)
- \( c = 5 \)
Tepe noktasının x-koordinatını hesaplayalım:
\[ x_t = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = -\frac{-6}{2} = 3 \]Şimdi tepe noktasının y-koordinatını bulmak için \( x_t = 3 \) değerini fonksiyonda yerine koyalım:
\[ y_t = f(3) = (3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 \]Dolayısıyla, parabolün tepe noktası \( T(3, -4) \) olur. 👉 Bu nokta, parabolün en küçük veya en büyük değerini aldığı noktadır.
Simetri Ekseni ve Kolları
\( f(x) = -2x^2 + 8x - 3 \) karesel fonksiyonunun grafiği hakkında aşağıdaki bilgileri bulunuz:
- Simetri ekseninin denklemi
- Parabolün kollarının yönü
Çözüm:
Verilen fonksiyon \( f(x) = -2x^2 + 8x - 3 \) şeklindedir. Katsayılar:
- \( a = -2 \)
- \( b = 8 \)
- \( c = -3 \)
Simetri Ekseni:
Simetri ekseninin denklemi tepe noktasının x-koordinatına eşittir: \( x_t = -\frac{b}{2a} \)
\[ x_t = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2 \]Simetri ekseninin denklemi \( x = 2 \) olur. 📏
Kolların Yönü:
Baş katsayı \( a = -2 \) negatiftir. Bu nedenle parabolün kolları aşağı doğrudur. 📉
Kökler ve x-Ekseni Kesişim Noktaları
\( f(x) = x^2 - 5x + 6 \) karesel fonksiyonunun grafiğinin x-eksenini kestiği noktaları bulunuz.
Bir fonksiyonun grafiğinin x-eksenini kestiği noktalar, fonksiyonun köklerine karşılık gelir. Yani \( f(x) = 0 \) denkleminin çözümleridir.
Çözüm:
Fonksiyonun x-eksenini kestiği noktaları bulmak için \( f(x) = 0 \) denklemini çözeriz:
\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırabiliriz:
Hangi iki sayının çarpımı 6, toplamı -5 eder? Bu sayılar -2 ve -3'tür.
\[ (x - 2)(x - 3) = 0 \]Bu denklemin çözümleri:
- \( x - 2 = 0 \implies x = 2 \)
- \( x - 3 = 0 \implies x = 3 \)
Dolayısıyla, parabol x-eksenini \( (2, 0) \) ve \( (3, 0) \) noktalarında keser. ✖️
Günlük Hayattan Örnek: Basketbol Topunun Hareketi
Bir basketbolcu topu potaya doğru attığında, topun izlediği yol yaklaşık olarak bir parabol şeklindedir. Eğer topun yerden yüksekliğini \( h \) metre ve yatayda aldığı yolu \( x \) metre olarak alırsak, topun havada izlediği yol \( h(x) = -0.1x^2 + 0.8x + 1.5 \) denklemi ile modellenebilir.
- Topun maksimum yüksekliğe ulaştığı an, parabolün tepe noktasının y-koordinatıdır.
- Topun yere düştüğü nokta, \( h(x) = 0 \) denkleminin pozitif köküdür.
Bu modellemeyi kullanarak topun hareketini analiz edelim. 🏀
Çözüm:
Verilen fonksiyon \( h(x) = -0.1x^2 + 0.8x + 1.5 \) şeklindedir. Katsayılar:
- \( a = -0.1 \)
- \( b = 0.8 \)
- \( c = 1.5 \)
1. Maksimum Yüksekliği Bulma:
Maksimum yükseklik, tepe noktasının y-koordinatıdır. Önce tepe noktasının x-koordinatını bulalım:
\[ x_t = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.8}{2 \cdot (-0.1)} = -\frac{0.8}{-0.2} = 4 \]Şimdi bu x değerini fonksiyonda yerine koyarak maksimum yüksekliği bulalım:
\[ h(4) = -0.1(4)^2 + 0.8(4) + 1.5 = -0.1(16) + 3.2 + 1.5 = -1.6 + 3.2 + 1.5 = 3.1 \]Topun ulaşabileceği maksimum yükseklik 3.1 metredir. ⬆️
2. Yere Düştüğü Noktayı Bulma:
Topun yere düştüğü nokta, \( h(x) = 0 \) denkleminin pozitif köküdür:
\[ -0.1x^2 + 0.8x + 1.5 = 0 \]Denklemi 10 ile çarparak daha kolay hale getirelim:
\[ -x^2 + 8x + 15 = 0 \]Bu denklemi çarpanlarına ayırmak zor olabilir, bu yüzden diskriminant (delta) yöntemini kullanalım: \( \Delta = b^2 - 4ac \)
Burada \( a = -1, b = 8, c = 15 \):
\[ \Delta = (8)^2 - 4(-1)(15) = 64 + 60 = 124 \]Kökler \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \) formülü ile bulunur:
\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{124}}{2(-1)} = \frac{-8 \pm \sqrt{4 \cdot 31}}{-2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{31}}{-2} = 4 \mp \sqrt{31} \]İki kök vardır: \( 4 - \sqrt{31} \) ve \( 4 + \sqrt{31} \).
\( \sqrt{31} \) yaklaşık olarak 5.57'dir.
- \( x_1 = 4 - 5.57 \approx -1.57 \) (Bu fiziksel olarak anlamlı değil, çünkü top atıldıktan sonra geriye doğru yere düşmez.)
- \( x_2 = 4 + 5.57 \approx 9.57 \)
Yani top yaklaşık 9.57 metre yatay yol aldıktan sonra yere düşer. ⛳
İkinci Dereceden Denklem Grafiği ve Fiyatlandırma
Bir teknoloji şirketi, yeni ürettiği bir ürünün satış fiyatını \( x \) TL olarak belirlediğinde, elde edeceği toplam karı \( K(x) = -x^2 + 100x - 500 \) denklemi ile modelleyebiliyor. Şirketin bu üründen zarar etmemesi (karının sıfır veya pozitif olması) için satış fiyatını hangi aralıkta belirlemesi gerektiğini bulalım.
Zarar etmemek demek, \( K(x) \ge 0 \) olması demektir. Bu, parabolün x-eksenini kestiği noktalar arasındaki bölgeyi incelememiz gerektiği anlamına gelir. 💰
Çözüm:
Şirketin zarar etmemesi için \( K(x) \ge 0 \) olmalıdır. Öncelikle \( K(x) = 0 \) denkleminin köklerini bulalım:
\[ -x^2 + 100x - 500 = 0 \]Denklemi 10 ile çarpıp işaretlerini değiştirelim:
\[ x^2 - 100x + 500 = 0 \]Bu denklemin köklerini bulmak için diskriminant yöntemini kullanalım: \( \Delta = b^2 - 4ac \)
Burada \( a = 1, b = -100, c = 500 \):
\[ \Delta = (-100)^2 - 4(1)(500) = 10000 - 2000 = 8000 \]Kökler \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \) formülü ile bulunur:
\[ x = \frac{-(-100) \pm \sqrt{8000}}{2(1)} = \frac{100 \pm \sqrt{1600 \cdot 5}}{2} = \frac{100 \pm 40\sqrt{5}}{2} \]Kökleri sadeleştirelim:
\[ x = 50 \pm 20\sqrt{5} \]İki kök vardır:
- \( x_1 = 50 - 20\sqrt{5} \)
- \( x_2 = 50 + 20\sqrt{5} \)
\( \sqrt{5} \) yaklaşık olarak 2.236'dır.
- \( x_1 \approx 50 - 20(2.236) = 50 - 44.72 = 5.28 \) TL
- \( x_2 \approx 50 + 20(2.236) = 50 + 44.72 = 94.72 \) TL
Kar fonksiyonu \( K(x) = -x^2 + 100x - 500 \) bir paraboldür ve baş katsayısı \( a = -1 \) negatiftir, bu nedenle kolları aşağı doğrudur. Bu, \( K(x) \ge 0 \) eşitsizliğinin kökler arasında sağlandığı anlamına gelir.
Dolayısıyla, şirketin zarar etmemesi için ürünün satış fiyatı yaklaşık olarak 5.28 TL ile 94.72 TL arasında olmalıdır. 📈
Parabolün Grafiğini Çizme
\( f(x) = 2x^2 - 8x + 6 \) karesel fonksiyonunun grafiğini çizmek için aşağıdaki adımları izleyelim:
- Tepe noktasını bulunuz.
- Simetri eksenini belirleyiniz.
- Parabolün kollarının yönünü belirleyiniz.
- x-eksenini kestiği noktaları (kökleri) bulunuz.
- y-eksenini kestiği noktayı bulunuz.
Bu bilgileri kullanarak grafiği çizelim. ✍️
Çözüm:
Verilen fonksiyon \( f(x) = 2x^2 - 8x + 6 \). Katsayılar \( a=2, b=-8, c=6 \).
1. Tepe Noktası:
- \( x_t = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \)
- \( y_t = f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = 2(4) - 16 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2 \)
- Tepe Noktası: \( T(2, -2) \)
2. Simetri Ekseni:
Simetri ekseni \( x = x_t \), yani \( x = 2 \) doğrusudur. 📏
3. Kolların Yönü:
Baş katsayı \( a = 2 \) pozitiftir. Bu nedenle kollar yukarı doğrudur. ⬆️
4. x-Ekseni Kesişim Noktaları (Kökler):
\( f(x) = 0 \) denklemini çözelim:
\[ 2x^2 - 8x + 6 = 0 \]Denklemi 2'ye bölelim:
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]Çarpanlarına ayıralım: \( (x-1)(x-3) = 0 \)
- \( x = 1 \)
- \( x = 3 \)
Kökler: \( (1, 0) \) ve \( (3, 0) \).
5. y-Ekseni Kesişim Noktası:
\( x = 0 \) değerini fonksiyonda yerine koyalım:
\[ f(0) = 2(0)^2 - 8(0) + 6 = 6 \]y-eksenini kestiği nokta: \( (0, 6) \).
Grafik Çizimi:
Bu noktaları (Tepe Noktası \( (2, -2) \), Kökler \( (1, 0) \) ve \( (3, 0) \), y-kesişimi \( (0, 6) \)) birleştirerek ve simetri eksenini \( x=2 \) kullanarak yukarı doğru açılan bir parabol çizebiliriz. 📈
Verilen Noktalardan Parabol Denklemini Bulma
Grafiği bir parabol olan \( f(x) = ax^2 + bx + c \) fonksiyonu için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- Parabolün tepe noktası \( T(1, 4) \)'tür.
- Parabol, \( (3, 0) \) noktasından geçmektedir.
Bu bilgilere göre fonksiyonun denklemini bulunuz. 🧐
Çözüm:
Tepe noktası verilen bir parabolün denklemi \( f(x) = a(x-x_t)^2 + y_t \) şeklinde yazılabilir. Burada \( x_t = 1 \) ve \( y_t = 4 \) olduğundan:
\[ f(x) = a(x-1)^2 + 4 \]Şimdi \( (3, 0) \) noktasının bu fonksiyonu sağladığını biliyoruz. Bu noktayı denklemde yerine koyarak \( a \) değerini bulalım:
\[ 0 = a(3-1)^2 + 4 \] \[ 0 = a(2)^2 + 4 \] \[ 0 = 4a + 4 \] \[ -4 = 4a \] \[ a = -1 \]Şimdi \( a = -1 \) değerini tepe noktası formundaki denklemde yerine koyalım:
\[ f(x) = -1(x-1)^2 + 4 \]Bu denklemi \( ax^2 + bx + c \) formuna getirelim:
\[ f(x) = -(x^2 - 2x + 1) + 4 \] \[ f(x) = -x^2 + 2x - 1 + 4 \] \[ f(x) = -x^2 + 2x + 3 \]Dolayısıyla, fonksiyonun denklemi \( f(x) = -x^2 + 2x + 3 \)'tür. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karesel-fonksiyonun-grafigi-ve-nitelik-ozellikleri/sorular