🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karesel Fonksiyonların Niteliklerinin Gerçek Yaşam Durumlarına Uygulanması Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karesel Fonksiyonların Niteliklerinin Gerçek Yaşam Durumlarına Uygulanması Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir topun havaya atılması sonucunda izlediği yol \( f(t) = -t^2 + 4t + 5 \) fonksiyonu ile modellenmiştir. Burada \( t \) saniye cinsinden zamanı, \( f(t) \) ise metre cinsinden yüksekliği temsil etmektedir. Topun yerden yüksekliğinin en fazla kaç metre olacağını bulunuz. 🏀
Çözüm:
- Fonksiyonun tepe noktasını bulmak için \( r = -b / (2a) \) formülünü kullanırız.
- Burada \( a = -1 \) ve \( b = 4 \) değerleridir.
- \( r = -4 / (2 \times -1) = 2 \) saniyede top en yüksek noktaya ulaşır.
- En yüksek değeri bulmak için \( f(2) \) değerini hesaplarız: \( f(2) = -(2)^2 + 4 \times 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 \) metredir.
- ✅ Sonuç: Topun ulaşabileceği maksimum yükseklik 9 metredir.
Örnek 2:
Bir üretici, ürettiği ürünün satışından elde edeceği kârı \( K(x) = -x^2 + 10x - 16 \) fonksiyonu ile hesaplamaktadır. \( x \) satılan ürün adedini temsil ettiğine göre, üreticinin kâr etmesi için ürün adedi hangi aralıkta olmalıdır? 📈
Çözüm:
- Kârın olması için \( K(x) > 0 \) olmalıdır.
- \( -x^2 + 10x - 16 = 0 \) denkleminin köklerini bulalım.
- \( x^2 - 10x + 16 = 0 \) ifadesini çarpanlarına ayırırsak \( (x-8)(x-2) = 0 \) olur.
- Kökler \( x = 2 \) ve \( x = 8 \) değerleridir.
- Katsayı negatif olduğu için parabol kolları aşağı doğrudur; bu nedenle kâr 2 ile 8 ürün arasında pozitiftir.
- ✅ Sonuç: Üretici 2 ile 8 adet arasında ürün satmalıdır.
Örnek 3:
Bir dikdörtgenin çevresi 20 cm'dir. Bu dikdörtgenin alanının en büyük olması için kenar uzunlukları kaç cm olmalıdır? 📏
Çözüm:
- Kenar uzunluklarına \( x \) ve \( y \) diyelim. Çevre \( 2(x+y) = 20 \) ise \( x+y = 10 \) ve \( y = 10-x \) olur.
- Alan \( A(x) = x \times y = x(10-x) = -x^2 + 10x \) fonksiyonu ile ifade edilir.
- Tepe noktasının apsisi \( r = -10 / (2 \times -1) = 5 \) değeridir.
- \( x = 5 \) ise \( y = 10 - 5 = 5 \) olur.
- ✅ Sonuç: Alanın en büyük olması için kenarlar 5 cm ve 5 cm olmalıdır (kare).
Örnek 4:
Bir köprünün ayakları arasındaki kemer yapısı \( f(x) = -0,5x^2 + 4x \) fonksiyonu ile modellenmiştir. Köprünün genişliği (ayaklar arasındaki mesafe) kaç birimdir? 🌉
Çözüm:
- Köprünün ayakları yer ile temas ettiği noktalardır, yani \( f(x) = 0 \) olduğu yerlerdir.
- \( -0,5x^2 + 4x = 0 \) denklemini çözelim.
- \( x(-0,5x + 4) = 0 \) ifadesinden kökler \( x = 0 \) ve \( -0,5x = -4 \implies x = 8 \) bulunur.
- Ayaklar arasındaki mesafe \( 8 - 0 = 8 \) birimdir.
- ✅ Sonuç: Köprü 8 birim genişliğindedir.
Örnek 5:
Bir mağaza sahibi, bir ürünün fiyatını \( x \) TL olarak belirlediğinde günlük satış miktarının \( S(x) = 60 - 2x \) olduğunu gözlemlemiştir. Günlük geliri veren \( G(x) = x \times S(x) \) fonksiyonunu yazarak geliri maksimum yapan fiyatı bulunuz. 💰
Çözüm:
- Gelir fonksiyonu: \( G(x) = x(60 - 2x) = -2x^2 + 60x \).
- Tepe noktası \( r = -b / (2a) \) formülü ile bulunur.
- \( r = -60 / (2 \times -2) = -60 / -4 = 15 \).
- ✅ Sonuç: Geliri maksimum yapmak için ürün fiyatı 15 TL olmalıdır.
Örnek 6:
Bir topun fırlatıldığı yükseklik \( h(t) = -t^2 + 6t + 7 \) fonksiyonu ile verilmiştir. Topun yere düştüğü an (yüksekliğin 0 olduğu an) kaçıncı saniyedir? ⏱️
Çözüm:
- Yere düşme anı \( h(t) = 0 \) olduğu andır.
- \( -t^2 + 6t + 7 = 0 \) denklemini \( t^2 - 6t - 7 = 0 \) şeklinde yazalım.
- Çarpanlarına ayırırsak: \( (t-7)(t+1) = 0 \).
- \( t = 7 \) veya \( t = -1 \) bulunur.
- Zaman negatif olamayacağı için \( t = 7 \) alınır.
- ✅ Sonuç: Top 7. saniyede yere düşer.
Örnek 7:
Bir bahçıvan, elindeki 40 metre çit ile dikdörtgen şeklinde bir bahçe çevirecektir. Bahçenin alanının en büyük olması için bahçenin bir kenarı kaç metre olmalıdır? 🌻
Çözüm:
- Çevre \( 2(x+y) = 40 \implies x+y = 20 \implies y = 20-x \).
- Alan \( A(x) = x(20-x) = -x^2 + 20x \).
- Tepe noktası \( r = -20 / (2 \times -1) = 10 \).
- \( x = 10 \) ise \( y = 20 - 10 = 10 \).
- ✅ Sonuç: Alanın en büyük olması için kenar 10 metre olmalıdır.
Örnek 8:
Bir roketin yerden yüksekliği \( h(t) = -t^2 + 10t \) fonksiyonu ile modellenmiştir. Roketin 16 metre yükseklikte olduğu zaman dilimleri nelerdir? 🚀
Çözüm:
- \( -t^2 + 10t = 16 \) denklemini kuralım.
- \( t^2 - 10t + 16 = 0 \) denklemini düzenleyelim.
- Çarpanlarına ayırırsak: \( (t-8)(t-2) = 0 \).
- Kökler \( t = 2 \) ve \( t = 8 \) saniyeleridir.
- ✅ Sonuç: Roket 2. saniyede yükselirken, 8. saniyede ise alçalırken 16 metre yüksekliktedir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karesel-fonksiyonlarin-niteliklerinin-gercek-yasam-durumlarina-uygulanmasi/sorular