💡 10. Sınıf Matematik: Karesel fonksiyonların nitel özellikleri Çözümlü Örnekler

Birinci derece fonksiyonların grafiği doğru iken, ikinci dereceden fonksiyonların (karesel fonksiyonların) grafiği parabol şeklindedir. 📈 \( f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklindeki bir karesel fonksiyonun grafiği olan parabolün temel niteliklerini inceleyelim. Parabolün kollarının yönü, \(a\) katsayısının işaretine bağlıdır:

• Eğer \(a > 0\) ise, parabolün kolları yukarı doğrudur.
• Eğer \(a < 0\) ise, parabolün kolları aşağı doğrudur.

Şimdi \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \) fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonda \(a = 2\). Bu durumda \(a > 0\) olduğu için parabolün kolları yukarı doğru olacaktır. ⬆️

Karesel fonksiyonların grafiği olan parabolün tepe noktası, fonksiyonun en küçük veya en büyük değerini aldığı noktadır. 📍 Tepe noktasının koordinatları \( T(x_0, y_0) \) olarak gösterilir. \( f(x) = ax^2 + bx + c \) fonksiyonu için tepe noktasının x-koordinatı şu formülle bulunur: \[ x_0 = -\frac{b}{2a} \] y-koordinatı ise \( y_0 = f(x_0) \) şeklinde bulunur. Şimdi \( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) fonksiyonunun tepe noktasını bulalım. Burada \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\)'tir. Tepe noktasının x-koordinatı: \[ x_0 = -\frac{-6}{2 \times 1} = -\frac{-6}{2} = 3 \] Tepe noktasının y-koordinatı: \[ y_0 = f(3) = (3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 \] Dolayısıyla tepe noktası \( T(3, -4) \)'tür. ✅

Bir parabolün simetri ekseni, tepe noktasından geçen ve parabole dik olan doğrudur. Bu doğru, parabolü iki eş parçaya böler. ⚖️ \( f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklindeki bir karesel fonksiyonun simetri ekseni, tepe noktasının x-koordinatına eşittir. Simetri ekseninin denklemi \( x = x_0 \) şeklindedir. Şimdi \( f(x) = -x^2 + 8x - 10 \) fonksiyonunun simetri eksenini bulalım. Burada \(a = -1\), \(b = 8\), \(c = -10\)'dur. Önce tepe noktasının x-koordinatını hesaplayalım: \[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \times (-1)} = -\frac{8}{-2} = 4 \] Dolayısıyla simetri ekseninin denklemi \( x = 4 \)'tür.

Karesel fonksiyonun y-eksenini kestiği nokta, fonksiyonun \(x=0\) için aldığı değerdir. 🎯 \( f(x) = ax^2 + bx + c \) fonksiyonunda \(x=0\) koyduğumuzda: \( f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c \) elde ederiz. Yani y-eksenini kestiği noktanın koordinatları \( (0, c) \)'dir. Şimdi \( f(x) = 3x^2 + 5x - 6 \) fonksiyonunun y-eksenini kestiği noktayı bulalım. Burada \(c = -6\)'dır. Bu nedenle, parabol y-eksenini \( (0, -6) \) noktasında keser.

Bir sporcu, fırlattığı topun havada izlediği yörüngeyi \( y = -0.02x^2 + 0.8x + 1.5 \) fonksiyonu ile temsil etmektedir. Burada \(x\) mesafeyi (metre), \(y\) ise yüksekliği (metre) göstermektedir. 🏀 Topun en fazla kaç metre yükseğe çıktığını ve sporcudan kaç metre uzağa düştüğünü hesaplayalım. Bu bir karesel fonksiyondur ve kolları aşağı doğrudur (\(a = -0.02 < 0\)). Dolayısıyla tepe noktası maksimum yüksekliği verir. Katsayılar: \(a = -0.02\), \(b = 0.8\), \(c = 1.5\). Maksimum yüksekliğe ulaşıldığı mesafeyi (tepe noktasının x-koordinatı) bulalım: \[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.8}{2 \times (-0.02)} = -\frac{0.8}{-0.04} = 20 \] Yani top, sporcudan 20 metre uzakta maksimum yüksekliğe ulaşır. Maksimum yüksekliği (tepe noktasının y-koordinatı) bulalım: \[ y_0 = f(20) = -0.02(20)^2 + 0.8(20) + 1.5 = -0.02(400) + 16 + 1.5 = -8 + 16 + 1.5 = 9.5 \] Topun maksimum yüksekliği 9.5 metredir. ⬆️ Topun düştüğü noktayı bulmak için \(y=0\) olmasını isteriz: \[ -0.02x^2 + 0.8x + 1.5 = 0 \] Bu denklemi çözmek yerine, simetri eksenini kullanarak da düşüş noktasını tahmin edebiliriz. Ancak bu seviyede bu denklem çözülerek veya grafik yorumlanarak bulunabilir. LGS/YKS'de bu tür denklemlerin çözümü istenir. Bu örnekte, tepe noktası maksimum yüksekliği verdiği için sorunun ana fikri bu noktayı bulmaktır.

Bir çiftçi, elindeki 100 metre tel ile dikdörtgen şeklinde bir bahçe çevirecektir. 🌽 Bahçenin alanının en büyük olması için kenar uzunlukları ne olmalıdır? Dikdörtgenin kenar uzunluklarına \(x\) ve \(y\) diyelim. Çevre: \( 2x + 2y = 100 \) metre. Buradan \( x + y = 50 \) olur. \(y\) kenarını \(x\) cinsinden ifade edelim: \( y = 50 - x \). Bahçenin alanı \( A = x \times y \) olacaktır. \(A(x) = x(50 - x) = 50x - x^2 \). Bu, \( A(x) = -x^2 + 50x \) şeklinde bir karesel fonksiyondur. Bu fonksiyonun kolları aşağı doğrudur (\(a = -1 < 0\)), dolayısıyla tepe noktası maksimum alanı verecektir. Katsayılar: \(a = -1\), \(b = 50\). Maksimum alanı veren \(x\) değerini (bir kenar uzunluğunu) bulalım: \[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{50}{2 \times (-1)} = -\frac{50}{-2} = 25 \] Bir kenar uzunluğu 25 metre ise, diğer kenar uzunluğu \( y = 50 - x = 50 - 25 = 25 \) metredir. Yani bahçe kare şeklinde olduğunda alan en büyük olur. 🟩

\( f(x) = 2x^2 - 8x + k \) karesel fonksiyonunun grafiği, x-eksenine teğet ise, k'nin alabileceği değeri bulunuz. 🎯 Bir parabolün x-eksenine teğet olması demek, denklemin tek bir reel kökü olması demektir. Bu da diskriminantın (Δ) sıfır olması anlamına gelir. İkinci dereceden bir denklemin kökleri için \( ax^2 + bx + c = 0 \) denkleminde diskriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \) ile bulunur. Bizim fonksiyonumuzda \( f(x) = 2x^2 - 8x + k \) olduğu için, \(a = 2\), \(b = -8\), \(c = k\)'dır. Diskriminantı sıfıra eşitleyelim: \[ \Delta = (-8)^2 - 4(2)(k) = 0 \] \[ 64 - 8k = 0 \] \[ 64 = 8k \] \[ k = \frac{64}{8} \] \[ k = 8 \] Dolayısıyla, k'nin değeri 8 olmalıdır. ✅

Bir mermi, bir hedef tahtasına doğru atıldığında izlediği yol \( y = -0.5x^2 + 10x \) denklemi ile ifade ediliyor. Burada \(x\) metre cinsinden yatay mesafeyi, \(y\) metre cinsinden dikey mesafeyi göstermektedir. 🎯 Merminin ulaşabileceği maksimum yatay menzil (yani yere düştüğü nokta) nedir? Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür ve kolları aşağı doğrudur (\(a = -0.5 < 0\)). Merminin yere düştüğü nokta, \(y=0\) olduğunda \(x\) değeridir. Yani parabolün x-eksenini kestiği noktalardır. Denklemi \(y=0\) yaparak çözelim: \[ -0.5x^2 + 10x = 0 \] Bu denklemi \(x\) ortak çarpan parantezine alarak çözebiliriz: \[ x(-0.5x + 10) = 0 \] Bu çarpımın sıfır olması için iki durum vardır:

• Durum 1: \( x = 0 \)
• Durum 2: \( -0.5x + 10 = 0 \implies 10 = 0.5x \implies x = \frac{10}{0.5} = 20 \)

\(x=0\) başlangıç noktasını, \(x=20\) ise merminin düştüğü noktayı temsil eder. Dolayısıyla merminin maksimum yatay menzili 20 metre'dir. ↔️

Bir firma, ürettiği bir ürünün satış fiyatını \( x \) TL olarak belirlediğinde, günlük karı \( K(x) = -x^2 + 60x - 500 \) fonksiyonu ile veriliyor. 💰 Firmanın elde edebileceği en yüksek günlük kar ne kadardır? Bu, bir karesel fonksiyon problemidir. Fonksiyonun kolları aşağı doğrudur (\(a = -1 < 0\)), bu nedenle tepe noktası maksimum karı verecektir. Katsayılar: \(a = -1\), \(b = 60\), \(c = -500\). Tepe noktasının x-koordinatı, maksimum karı sağlayan satış fiyatını verir: \[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{60}{2 \times (-1)} = -\frac{60}{-2} = 30 \] Yani, ürün 30 TL'ye satıldığında kar maksimum olur. Tepe noktasının y-koordinatı ise bu maksimum karın değerini verir: \[ y_0 = K(30) = -(30)^2 + 60(30) - 500 \] \[ y_0 = -900 + 1800 - 500 \] \[ y_0 = 900 - 500 \] \[ y_0 = 400 \] Firmanın elde edebileceği en yüksek günlük kar 400 TL'dir. 📈