📄 10. Sınıf Matematik: Karesel fonksiyonların nitel özellikleri Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Verilen karesel fonksiyon: \(f(x) = x^2 - 4x + 3\)

1. Katsayılar: \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\).
2. Kolların Yönü: \(a = 1 > 0\) olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur.
3. Simetri Ekseni: \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2\). Simetri ekseni \(x = 2\) doğrusudur.
4. Tepe Noktası: Simetri ekseninin x değeri \(x = 2\)'dir. Ordinatı bulmak için \(f(2)\) hesaplanır: \(f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\). Tepe noktası \(T(2, -1)\)'dir.
5. y Ekseni Kesişim Noktası: Fonksiyonun sabit terimi \(c = 3\)'tür. Bu nedenle y eksenini kestiği nokta \((0, 3)\)'tür.
6. x Ekseni Kesişim Noktaları (Kökler): \(x^2 - 4x + 3 = 0\) denklemini çözmeliyiz. Çarpanlara ayırma yöntemiyle: \((x - 1)(x - 3) = 0\). Buradan kökler \(x_1 = 1\) ve \(x_2 = 3\)'tür. Fonksiyon x eksenini \((1, 0)\) ve \((3, 0)\) noktalarında keser.

Bu bilgilerle fonksiyonun grafiği çizilebilir.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen karesel fonksiyon: \(f(x) = -2x^2 + 12x - 10\)

Karesel fonksiyonun alabileceği en büyük veya en küçük değer, tepe noktasının ordinatıdır. Katsayı \(a = -2\) negatif olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur ve fonksiyon bir maksimum değere sahiptir.

1. Tepe Noktasının Apsisini Bulma: \(x = -\frac{b}{2a}\) formülünü kullanırız. Burada \(a = -2\) ve \(b = 12\)'dir.
\(x = -\frac{12}{2 \times (-2)} = -\frac{12}{-4} = 3\).
Fonksiyonun en büyük değeri \(x = 3\) için elde edilir.

2. En Büyük Değeri Bulma: Tepe noktasının ordinatını bulmak için \(x = 3\) değerini fonksiyonda yerine koyarız:
\(f(3) = -2(3)^2 + 12(3) - 10\)
\(f(3) = -2(9) + 36 - 10\)
\(f(3) = -18 + 36 - 10\)
\(f(3) = 18 - 10\)
\(f(3) = 8\).

Sonuç olarak, fonksiyonun alabileceği en büyük değer 8'dir ve bu değer \(x = 3\) için gerçekleşir.

💡 Çözüm Adımları:

Bir karesel fonksiyonun denklemi \(ax^2 + bx + c = 0\) şeklindedir ve bu denklemin kökleri, fonksiyonun grafiği olan parabolün x eksenini kestiği noktaları verir. Diskriminant (Δ = b^2 - 4ac), bu köklerin varlığını ve sayısını belirler:

1. Δ > 0 (Pozitif Diskriminant):
* Bu durumda, ax^2 + bx + c = 0 denkleminin birbirinden farklı iki reel kökü vardır.
* Bu, parabolün x eksenini iki farklı noktada kestiği anlamına gelir.

2. Δ = 0 (Sıfır Diskriminant):
* Bu durumda, ax^2 + bx + c = 0 denkleminin birbirine eşit (çakışık) bir reel kökü vardır.
* Bu, parabolün x eksenine yalnızca bir noktada (tepe noktasında) teğet olduğu anlamına gelir.

3. Δ < 0 (Negatif Diskriminant):
* Bu durumda, ax^2 + bx + c = 0 denkleminin reel kökü yoktur.
* Bu, parabolün x eksenini hiçbir noktada kesmediği anlamına gelir. Parabol ya tamamen x ekseninin üstünde (a > 0 ise) ya da tamamen x ekseninin altında (a < 0 ise) kalır.