🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karesel Fonksiyonların Nitel Özellikleri ve Gerçek Yaşam Uygulamaları Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karesel Fonksiyonların Nitel Özellikleri ve Gerçek Yaşam Uygulamaları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir sporcu, topu yerden \( h \) metre yükseklikteyken fırlatıyor. Topun havada aldığı yol \( f(x) = -x^2 + 6x + 1 \) fonksiyonu ile modelleniyor. Buna göre, topun ulaşabileceği en yüksek yükseklik kaç metredir? 💡
Çözüm:
Bu problemde, karesel fonksiyonun tepe noktasının y-koordinatı, topun ulaşabileceği en yüksek yüksekliği verecektir. Fonksiyonumuz \( f(x) = -x^2 + 6x + 1 \) şeklindedir.
- Fonksiyonun tepe noktasının x-koordinatını bulmak için \( x = -\frac{b}{2a} \) formülünü kullanırız. Burada \( a = -1 \) ve \( b = 6 \) 'dır.
- \( x = -\frac{6}{2(-1)} = -\frac{6}{-2} = 3 \)
- Şimdi bu x değerini fonksiyonda yerine koyarak en yüksek yüksekliği bulalım: \( f(3) = -(3)^2 + 6(3) + 1 = -9 + 18 + 1 = 10 \)
Örnek 2:
Bir çiftçi, elindeki tel ile dikdörtgen şeklinde bir alan çevirmek istiyor. Alanın bir kenarı \( x \) metre ise, çevrilebilecek maksimum alan kaç metrekaredir? (Çiftçinin kullanabileceği toplam tel miktarı 100 metredir.) 📏
Çözüm:
Bu problemde, alanın uzunluğu \( x \) metre ise, genişliği \( \frac{100 - 2x}{2} = 50 - x \) metre olacaktır. Alan fonksiyonu \( A(x) = x \cdot (50 - x) \) şeklinde yazılır.
- Alan fonksiyonunu açarsak: \( A(x) = 50x - x^2 \)
- Bu bir karesel fonksiyondur ve kolları aşağı doğrudur. Maksimum alanı bulmak için tepe noktasını hesaplamalıyız.
- Tepe noktasının x-koordinatı: \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{50}{2(-1)} = -\frac{50}{-2} = 25 \)
- Maksimum alan: \( A(25) = 50(25) - (25)^2 = 1250 - 625 = 625 \)
Örnek 3:
Bir sanal oyun geliştiricisi, karakterin zıplama hareketini \( y = -2x^2 + 8x \) fonksiyonu ile modellemiştir. Burada \( x \) yatay mesafeyi, \( y \) ise yerden yüksekliği temsil etmektedir. Karakterin başlangıç noktasından itibaren kaç metre yatay mesafe sonunda tekrar yere ineceği ve bu zıplama hareketi sırasındaki maksimum yüksekliği nedir? 🎮
Çözüm:
Karakterin yere inmesi demek, yerden yüksekliğinin sıfır olması demektir. Bu durumda \( y = 0 \) olmalıdır.
- Denklemi sıfıra eşitleyelim: \( -2x^2 + 8x = 0 \)
- Ortak çarpan parantezine alalım: \( 2x(-x + 4) = 0 \)
- Bu denklemin çözümleri \( x = 0 \) (başlangıç noktası) ve \( -x + 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \) 'tür.
- Yani karakter, başlangıçtan 4 metre yatay mesafe sonunda yere iner.
- Maksimum yüksekliği bulmak için tepe noktasının x-koordinatını hesaplayalım: \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = -\frac{8}{-4} = 2 \)
- Bu x değerini fonksiyonda yerine koyalım: \( y = -2(2)^2 + 8(2) = -2(4) + 16 = -8 + 16 = 8 \)
Örnek 4:
Bir inşaat firması, köprü yapımında kullanacağı bir kemerin şeklini parabol olarak tasarlıyor. Kemerin en yüksek noktası yerden 20 metre yükseklikte ve bu noktanın ayaklara olan yatay mesafesi 30 metredir. Kemerin denklemi \( y = ax^2 + bx + c \) şeklinde modellenirse, ayakların yerle kesiştiği noktaların koordinatları ne olur? (Kemerin tepe noktasını orijin kabul etmeyelim, simetrik olduğunu varsayalım.) 🌉
Çözüm:
Kemerin tepe noktasının y-koordinatı 20 metre ve bu noktanın ayaklara olan yatay mesafesi 30 metre ise, tepe noktasının koordinatları \( (0, 20) \) olarak alınabilir (simetri ekseni y-ekseni üzerinde). Bu durumda fonksiyonumuz \( y = ax^2 + 20 \) şeklinde başlar.
- Kemerin ayakları yerden 0 metre yükseklikte olacağından, \( y = 0 \) iken x'in alacağı değerleri bulmalıyız.
- Tepe noktası (0, 20) ise ve ayaklar tepe noktasının 30 metre uzağında ise, ayakların x-koordinatları \( -30 \) ve \( 30 \) olacaktır.
- Yani, \( y = ax^2 + 20 \) denkleminde, \( x = 30 \) iken \( y = 0 \) olmalıdır.
- \( 0 = a(30)^2 + 20 \)
- \( 0 = 900a + 20 \)
- \( -20 = 900a \)
- \( a = -\frac{20}{900} = -\frac{1}{45} \)
- Kemer denklemi: \( y = -\frac{1}{45}x^2 + 20 \)
- Ayakların yerle kesiştiği noktalar, \( y=0 \) iken \( x \) değerleridir.
- \( 0 = -\frac{1}{45}x^2 + 20 \)
- \( \frac{1}{45}x^2 = 20 \)
- \( x^2 = 20 \times 45 = 900 \)
- \( x = \pm 30 \)
Örnek 5:
\( f(x) = 2x^2 - 8x + 5 \) karesel fonksiyonunun grafiği hangi noktada tepe noktasına sahiptir? 📌
Çözüm:
Karesel bir fonksiyonun tepe noktasını bulmak için \( x = -\frac{b}{2a} \) formülünü kullanırız.
- Fonksiyonumuz \( f(x) = 2x^2 - 8x + 5 \) şeklindedir. Burada \( a = 2 \) ve \( b = -8 \) 'dir.
- Tepe noktasının x-koordinatı: \( x = -\frac{-8}{2(2)} = -\frac{-8}{4} = 2 \)
- Şimdi bu x değerini fonksiyonda yerine koyarak y-koordinatını bulalım: \( f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 5 = 2(4) - 16 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3 \)
Örnek 6:
Bir basketbolcu, topu yerden 1.5 metre yükseklikten atıyor. Topun havada izlediği yörünge \( h(t) = -5t^2 + 10t + 1.5 \) denklemi ile veriliyor. Burada \( t \) saniye cinsinden zamanı, \( h(t) \) ise topun yerden yüksekliğini metre cinsinden göstermektedir. Topun havada kalma süresi ve ulaştığı maksimum yükseklik nedir? 🏀
Çözüm:
Topun havada kalma süresini bulmak için, topun yere indiği anı, yani yüksekliğin sıfır olduğu zamanı bulmalıyız.
- \( h(t) = 0 \) olmasını istiyoruz: \( -5t^2 + 10t + 1.5 = 0 \)
- Bu ikinci dereceden denklemi çözmek için diskriminant yöntemini kullanabiliriz: \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
- Burada \( a = -5 \), \( b = 10 \), \( c = 1.5 \) 'dir.
- Diskriminant \( \Delta = b^2 - 4ac = (10)^2 - 4(-5)(1.5) = 100 + 30 = 130 \)
- Zaman değerleri: \( t = \frac{-10 \pm \sqrt{130}}{2(-5)} = \frac{-10 \pm \sqrt{130}}{-10} \)
- Zaman negatif olamayacağı için pozitif olan kökü alırız: \( t = \frac{-10 + \sqrt{130}}{-10} \approx \frac{-10 + 11.4}{-10} \approx \frac{1.4}{-10} \approx -0.14 \) (Bu hesaplamada bir hata var, pozitif kökü alırken işaretlere dikkat edelim.)
- Doğru hesaplama: \( t_1 = \frac{-10 + \sqrt{130}}{-10} \) ve \( t_2 = \frac{-10 - \sqrt{130}}{-10} \).
- \( t_1 = \frac{-10 + \sqrt{130}}{-10} \approx \frac{-10 + 11.4}{-10} \approx \frac{1.4}{-10} \approx -0.14 \) (Bu hala negatif çıkıyor, demek ki denklemi kurarken veya formülü uygularken bir yerde hata yapılmış olabilir. Ancak mantık doğru.)
- Doğru yaklaşımla, \( \sqrt{130} \approx 11.4 \) alırsak, \( t = \frac{-10 + 11.4}{-10} \) değil, \( t = \frac{-10 - 11.4}{-10} = \frac{-21.4}{-10} = 2.14 \) saniye olur.
- Maksimum yüksekliği bulmak için tepe noktasının t-koordinatını hesaplayalım: \( t = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2(-5)} = -\frac{10}{-10} = 1 \) saniye.
- Maksimum yükseklik: \( h(1) = -5(1)^2 + 10(1) + 1.5 = -5 + 10 + 1.5 = 6.5 \) metre.
Örnek 7:
Bir firma, ürettiği bir ürünün satış fiyatını \( x \) TL olarak belirlediğinde, günlük karı \( K(x) = -x^2 + 120x - 3000 \) TL olarak hesaplanmaktadır. Firmanın zarar etmemesi için satış fiyatı hangi aralıkta olmalıdır? 📈
Çözüm:
Firmanın zarar etmemesi demek, günlük karının sıfır veya sıfırdan büyük olması demektir. Yani \( K(x) \ge 0 \) olmalıdır.
- \( -x^2 + 120x - 3000 \ge 0 \)
- Önce \( -x^2 + 120x - 3000 = 0 \) denkleminin köklerini bulalım.
- \( a = -1 \), \( b = 120 \), \( c = -3000 \)
- Diskriminant \( \Delta = b^2 - 4ac = (120)^2 - 4(-1)(-3000) = 14400 - 12000 = 2400 \)
- Kökler: \( x = \frac{-120 \pm \sqrt{2400}}{2(-1)} = \frac{-120 \pm \sqrt{400 \times 6}}{-2} = \frac{-120 \pm 20\sqrt{6}}{-2} \)
- \( x_1 = \frac{-120 + 20\sqrt{6}}{-2} = 60 - 10\sqrt{6} \)
- \( x_2 = \frac{-120 - 20\sqrt{6}}{-2} = 60 + 10\sqrt{6} \)
- \( \sqrt{6} \approx 2.45 \) alırsak:
- \( x_1 \approx 60 - 10(2.45) = 60 - 24.5 = 35.5 \)
- \( x_2 \approx 60 + 10(2.45) = 60 + 24.5 = 84.5 \)
- Karesel fonksiyonun kolları aşağı doğru olduğu için, \( K(x) \ge 0 \) eşitsizliği kökler arasında sağlanır.
Örnek 8:
Bir su deposundan yapılan su tahliyesinin zamanla değişimi \( V(t) = -t^2 + 10t + 50 \) fonksiyonu ile modellenmiştir. Burada \( t \) dakika cinsinden zamanı, \( V(t) \) ise depoda kalan su miktarını litre cinsinden göstermektedir. Deponun başlangıçta ne kadar suyu vardır ve kaç dakika sonra boşalır? 💧
Çözüm:
Deponun başlangıçtaki su miktarını bulmak için \( t = 0 \) anındaki değeri hesaplarız.
- \( V(0) = -(0)^2 + 10(0) + 50 = 50 \) litre.
- Deponun boşalması demek, kalan su miktarının sıfır olması demektir. Yani \( V(t) = 0 \) olmalıdır.
- \( -t^2 + 10t + 50 = 0 \)
- Bu ikinci dereceden denklemi çözmek için diskriminant yöntemini kullanalım: \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
- Burada \( a = -1 \), \( b = 10 \), \( c = 50 \) 'dir.
- Diskriminant \( \Delta = b^2 - 4ac = (10)^2 - 4(-1)(50) = 100 + 200 = 300 \)
- Zaman değerleri: \( t = \frac{-10 \pm \sqrt{300}}{2(-1)} = \frac{-10 \pm 10\sqrt{3}}{-2} \)
- Zaman negatif olamayacağı için pozitif olan kökü alırız: \( t = \frac{-10 - 10\sqrt{3}}{-2} = 5 + 5\sqrt{3} \)
- \( \sqrt{3} \approx 1.732 \) alırsak: \( t \approx 5 + 5(1.732) = 5 + 8.66 = 13.66 \) dakika.
Örnek 9:
\( f(x) = x^2 - 4 \) karesel fonksiyonunun grafiği, y-eksenini hangi noktada keser? ✂️
Çözüm:
Bir fonksiyonun y-eksenini kestiği nokta, x-değerinin 0 olduğu noktadır.
- Fonksiyonumuz \( f(x) = x^2 - 4 \) şeklindedir.
- \( x = 0 \) değerini fonksiyonda yerine koyalım: \( f(0) = (0)^2 - 4 = -4 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karesel-fonksiyonlarin-nitel-ozellikleri-ve-gercek-yasam-uygulamalari/sorular