🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karesel Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karesel Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri karesel fonksiyondur? İşaretleyiniz. 👇
a) \( f(x) = 3x^2 - 5x + 1 \)
b) \( g(x) = x^3 + 2x^2 - 4 \)
c) \( h(x) = -2x^2 + 7 \)
d) \( k(x) = (x-1)(x+2) \)
e) \( m(x) = 4x - 9 \)
Çözüm:
Bir fonksiyonun karesel fonksiyon olabilmesi için \( ax^2 + bx + c \) şeklinde yazılabilmesi ve \( a \neq 0 \) olması gerekmektedir. Yani, en yüksek dereceli terimin \( x^2 \) olması şarttır. 💡
- a) \( f(x) = 3x^2 - 5x + 1 \): Bu bir karesel fonksiyondur. Çünkü \( a=3 \neq 0 \). ✅
- b) \( g(x) = x^3 + 2x^2 - 4 \): Bu bir karesel fonksiyon değildir. En yüksek dereceli terim \( x^3 \) olduğundan kübik fonksiyondur. ❌
- c) \( h(x) = -2x^2 + 7 \): Bu bir karesel fonksiyondur. Çünkü \( a=-2 \neq 0 \). (Burada \( b=0 \), \( c=7 \) dir.) ✅
- d) \( k(x) = (x-1)(x+2) \): Bu ifadeyi açtığımızda \( x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2 \) elde ederiz. Bu bir karesel fonksiyondur. Çünkü \( a=1 \neq 0 \). ✅
- e) \( m(x) = 4x - 9 \): Bu bir karesel fonksiyon değildir. En yüksek dereceli terim \( x \) olduğundan doğrusal fonksiyondur. ❌
Örnek 2:
\( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) karesel fonksiyonunun tepe noktasının koordinatlarını ve simetri eksenini bulunuz. 📌
Çözüm:
Bir karesel fonksiyonun genel formu \( f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklindedir. Tepe noktasının koordinatları \( T(r, k) \) ile bulunur. Simetri ekseni ise \( x = r \) doğrusudur.
- 👉 Öncelikle verilen fonksiyondan \( a, b, c \) katsayılarını belirleyelim:
\( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) için \( a=1 \), \( b=-6 \), \( c=5 \) dir. - 👉 Tepe noktasının apsisi \( r \) yi bulalım:
\( r = -\frac{b}{2a} \) formülünü kullanırız.
\( r = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = -\frac{-6}{2} = 3 \) - 👉 Tepe noktasının ordinatı \( k \) yı bulalım:
\( k = f(r) = f(3) \) değerini hesaplarız.
\( k = (3)^2 - 6(3) + 5 \)
\( k = 9 - 18 + 5 \)
\( k = -9 + 5 = -4 \) - ✅ Buna göre, tepe noktasının koordinatları \( T(3, -4) \) dir.
- ✅ Simetri ekseni ise \( x = 3 \) doğrusudur.
Örnek 3:
\( f(x) = -x^2 + 4x + 12 \) fonksiyonunun x eksenini kestiği noktaların apsislerini ve y eksenini kestiği noktayı bulunuz. 💡
Çözüm:
Fonksiyonun eksenleri kestiği noktaları bulmak için belirli adımları izleriz.
- 👉 x eksenini kestiği noktalar:
Fonksiyonun x eksenini kestiği noktaları bulmak için \( f(x) = 0 \) denklemini çözeriz. Yani, \( -x^2 + 4x + 12 = 0 \) denklemini çözmeliyiz.
Denklemi daha kolay çözmek için her tarafı \( -1 \) ile çarpalım: \( x^2 - 4x - 12 = 0 \)
Bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları \( -12 \), toplamları \( -4 \) olan iki sayı \( -6 \) ve \( 2 \) dir.
\( (x-6)(x+2) = 0 \)
Buradan \( x-6 = 0 \Rightarrow x_1 = 6 \) veya \( x+2 = 0 \Rightarrow x_2 = -2 \) bulunur. - ✅ O halde, x eksenini kestiği noktaların apsisleri \( x=6 \) ve \( x=-2 \) dir.
- 👉 y eksenini kestiği nokta:
Fonksiyonun y eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x=0 \) yazarız.
\( f(0) = -(0)^2 + 4(0) + 12 \)
\( f(0) = 0 + 0 + 12 \)
\( f(0) = 12 \) - ✅ O halde, y eksenini kestiği nokta \( (0, 12) \) dir.
Örnek 4:
\( f(x) = 2x^2 - 8x + 3 \) karesel fonksiyonunun minimum değerini bulunuz. Bu fonksiyonun grafiği hangi yöne açılır? 🤔
Çözüm:
Bir karesel fonksiyonun minimum veya maksimum değeri, tepe noktasının ordinatı \( k \) değeridir. Parabolün açılış yönü ise \( a \) katsayısına bağlıdır.
- 👉 Fonksiyonumuz \( f(x) = 2x^2 - 8x + 3 \) şeklindedir. Buradan \( a=2 \), \( b=-8 \), \( c=3 \) dir.
- 👉 Parabolün açılış yönü:
\( a \) katsayısı \( 2 \) dir ve \( a > 0 \) olduğu için parabolün kolları yukarı doğru açılır.
Kollar yukarı doğru açıldığında, tepe noktası fonksiyonun minimum değerini verir. - 👉 Minimum değeri bulmak için tepe noktasının apsisini \( r \) hesaplayalım:
\( r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = -\frac{-8}{4} = 2 \) - 👉 Minimum değeri (tepe noktasının ordinatını \( k \)) hesaplayalım:
\( k = f(r) = f(2) \) değerini fonksiyonda yerine koyarız.
\( k = 2(2)^2 - 8(2) + 3 \)
\( k = 2(4) - 16 + 3 \)
\( k = 8 - 16 + 3 \)
\( k = -8 + 3 = -5 \) - ✅ Bu fonksiyonun minimum değeri \( -5 \) dir ve parabolün kolları yukarı doğru açılır.
Örnek 5:
\( y = (m-1)x^2 + (2m+4)x + 5 \) parabolünün simetri ekseni \( x = -2 \) olduğuna göre, \( m \) değerini bulunuz. 🧐
Çözüm:
Bir parabolün simetri ekseni \( x = r \) doğrusu ile ifade edilir ve \( r = -\frac{b}{2a} \) formülüyle bulunur.
- 👉 Verilen parabol denkleminden \( a \) ve \( b \) katsayılarını belirleyelim:
\( a = m-1 \)
\( b = 2m+4 \) - 👉 Simetri ekseni \( x = -2 \) olarak verildiğine göre, \( r = -2 \) dir.
Formülü kullanarak bir denklem oluşturalım:
\( r = -\frac{b}{2a} \)
\( -2 = -\frac{2m+4}{2(m-1)} \) - 👉 Denklemi çözelim:
Her iki taraftaki eksileri götürelim:
\( 2 = \frac{2m+4}{2(m-1)} \)
İçler dışlar çarpımı yapmadan önce sağ tarafı sadeleştirebiliriz. Pay kısmını \( 2 \) parantezine alalım:
\( 2 = \frac{2(m+2)}{2(m-1)} \)
\( 2 = \frac{m+2}{m-1} \) - 👉 Şimdi içler dışlar çarpımı yapalım:
\( 2(m-1) = m+2 \)
\( 2m - 2 = m + 2 \)
\( 2m - m = 2 + 2 \)
\( m = 4 \) - ✅ Buna göre, \( m \) değeri \( 4 \) tür.
Örnek 6:
Bir inşaat firması, dikdörtgen şeklinde bir bahçenin bir kenarını duvarla çevirecek, diğer üç kenarını ise toplam 100 metre tel örgü kullanarak çevirecektir. Duvarın karşısındaki uzun kenar x metre olduğuna göre, bahçenin alanının en fazla kaç metrekare olabileceğini bulunuz. 🏞️
Çözüm:
Bu problemde, belirli bir çevre uzunluğuna sahip bir dikdörtgenin alanını maksimize etmeye çalışıyoruz. Karesel fonksiyonların maksimum değerini bulma prensibini kullanacağız.
- 👉 Bahçenin bir kenarı duvar olduğu için, tel örgü ile çevrilecek kenarların toplam uzunluğu 100 metredir.
- 👉 Duvarın karşısındaki uzun kenar \( x \) metre olarak verilmiş. Dikdörtgenin diğer iki kenarı (genişlikleri) eşit olacağından, bu kenarların her birine \( y \) diyelim.
- 👉 Tel örgü uzunluğu: \( x + 2y = 100 \) metredir.
- 👉 Bahçenin alanı \( A = x \cdot y \) formülüyle hesaplanır.
- 👉 Alanı tek bir değişkene bağlı bir karesel fonksiyon olarak ifade etmek için, \( x + 2y = 100 \) denkleminden \( y \) yi çekelim:
\( 2y = 100 - x \)
\( y = \frac{100 - x}{2} \) - 👉 Şimdi bu \( y \) değerini alan formülünde yerine koyalım:
\( A(x) = x \cdot \left(\frac{100 - x}{2}\right) \)
\( A(x) = \frac{100x - x^2}{2} \)
\( A(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 50x \) - 👉 Bu bir karesel fonksiyondur (\( a = -\frac{1}{2} \), \( b = 50 \), \( c = 0 \)). \( a < 0 \) olduğu için parabolün kolları aşağıya doğru açılır ve maksimum değerini tepe noktasında alır.
- 👉 Tepe noktasının apsisi \( r \)'yi bulalım:
\( r = -\frac{b}{2a} = -\frac{50}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{50}{-1} = 50 \) - 👉 Bu \( r \) değeri, bahçenin uzun kenarı \( x \) için alanın maksimum olduğu durumu verir. Şimdi bu \( x \) değerini alan fonksiyonunda yerine koyarak maksimum alanı bulalım:
\( A(50) = -\frac{1}{2}(50)^2 + 50(50) \)
\( A(50) = -\frac{1}{2}(2500) + 2500 \)
\( A(50) = -1250 + 2500 \)
\( A(50) = 1250 \) - ✅ Bahçenin alanı en fazla \( 1250 \) metrekare olabilir.
Örnek 7:
Bir futbolcu topa vurduğunda, topun yerden yüksekliği zamana bağlı olarak \( h(t) = -t^2 + 6t \) fonksiyonu ile modellenmektedir. Burada \( h \) metre cinsinden yükseklik, \( t \) ise saniye cinsinden zamandır. Topun yere düştüğü anı ve ulaştığı maksimum yüksekliği bulunuz. ⚽
Çözüm:
Bu problem, karesel fonksiyonların gerçek hayattaki hareket modellerinde nasıl kullanıldığını gösterir. Topun yerden yüksekliği bir parabol çizer.
- 👉 Topun yere düştüğü an:
Topun yere düşmesi demek, yüksekliğinin \( 0 \) olması demektir. Yani \( h(t) = 0 \) denklemini çözmeliyiz.
\( -t^2 + 6t = 0 \)
Bu denklemi \( -t \) parantezine alarak çözebiliriz:
\( -t(t - 6) = 0 \)
Buradan \( -t = 0 \Rightarrow t_1 = 0 \) (topun havalandığı an) veya \( t-6 = 0 \Rightarrow t_2 = 6 \) bulunur. - ✅ Top \( 6 \) saniye sonra yere düşer.
- 👉 Topun ulaştığı maksimum yükseklik:
Fonksiyon \( h(t) = -t^2 + 6t \) şeklindedir. Buradan \( a=-1 \), \( b=6 \), \( c=0 \) dir.
\( a < 0 \) olduğu için parabolün kolları aşağıya doğru açılır ve tepe noktası maksimum yüksekliği verir. - 👉 Tepe noktasının apsisi (maksimum yüksekliğe ulaştığı zaman) \( r \)'yi bulalım:
\( r = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3 \)
Yani top, havalandıktan \( 3 \) saniye sonra maksimum yüksekliğe ulaşır. - 👉 Maksimum yüksekliği (tepe noktasının ordinatını) \( k \)'yi bulalım:
\( k = h(r) = h(3) \) değerini fonksiyonda yerine koyarız.
\( k = -(3)^2 + 6(3) \)
\( k = -9 + 18 \)
\( k = 9 \) - ✅ Topun ulaştığı maksimum yükseklik \( 9 \) metredir.
Örnek 8:
\( f(x) = x^2 - (m+2)x + 9 \) fonksiyonunun grafiği x eksenine teğet olduğuna göre, \( m \) değerinin alabileceği değerler toplamını bulunuz. 🧐
Çözüm:
Bir karesel fonksiyonun grafiği x eksenine teğet ise, bu fonksiyonun tek bir kökü olduğu anlamına gelir. Bu durumda diskriminant (\(\Delta\)) sıfıra eşit olmalıdır. \( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \).
- 👉 Fonksiyonumuz \( f(x) = x^2 - (m+2)x + 9 \) şeklindedir. Katsayıları belirleyelim:
\( a=1 \)
\( b=-(m+2) \)
\( c=9 \) - 👉 Diskriminantı sıfıra eşitleyelim:
\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)
\( (-(m+2))^2 - 4(1)(9) = 0 \)
\( (m+2)^2 - 36 = 0 \) - 👉 Denklemi çözelim:
\( (m+2)^2 = 36 \)
Bu denklemin iki farklı çözümü vardır:
1. durum: \( m+2 = 6 \)
\( m = 6 - 2 \)
\( m_1 = 4 \)
2. durum: \( m+2 = -6 \)
\( m = -6 - 2 \)
\( m_2 = -8 \) - 👉 \( m \) değerinin alabileceği değerler toplamını bulalım:
Toplam = \( m_1 + m_2 = 4 + (-8) = -4 \) - ✅ \( m \) değerinin alabileceği değerler toplamı \( -4 \) tür.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karesel-fonksiyonlar/sorular