💡 10. Sınıf Matematik: Karesel Fonksiyonlar Ve Tersi Soru Örnekleri Çözümlü Örnekler

Bu soru, bir karesel fonksiyonda verilen bir \(x\) değeri için fonksiyonun çıktısını (görüntüsünü) bulmayı hedeflemektedir.

• 👉 Öncelikle \(f(2)\) değerini bulalım:
• Fonksiyonda \(x\) yerine \(2\) yazılır:
• \(f(2) = (2)^2 - 5(2) + 3\)
• \(f(2) = 4 - 10 + 3\)
• \(f(2) = -6 + 3\)
• ✅ Sonuç: \(f(2) = -3\)
• 👉 Şimdi de \(f(0)\) değerini bulalım:
• Fonksiyonda \(x\) yerine \(0\) yazılır:
• \(f(0) = (0)^2 - 5(0) + 3\)
• \(f(0) = 0 - 0 + 3\)
• ✅ Sonuç: \(f(0) = 3\)

Bir karesel fonksiyon \(f(x) = ax^2 + bx + c\) şeklinde verildiğinde, tepe noktasının koordinatları \(T(r, k)\) ile gösterilir. Burada \(r = -\frac{b}{2a}\) ve \(k = f(r)\) formülleri kullanılır.

• 👉 Fonksiyonumuz \(f(x) = x^2 + 6x - 1\). Bu durumda \(a=1\), \(b=6\) ve \(c=-1\) dir.
• 1. Adım: Tepe noktasının apsisini (\(r\)) bulalım.
• \(r = -\frac{b}{2a}\) formülünü kullanalım.
• \(r = -\frac{6}{2 \cdot 1}\)
• \(r = -\frac{6}{2}\)
• \(r = -3\)
• 2. Adım: Tepe noktasının ordinatını (\(k\)) bulalım.
• \(k = f(r)\) yani \(f(-3)\) değerini hesaplayalım.
• \(k = (-3)^2 + 6(-3) - 1\)
• \(k = 9 - 18 - 1\)
• \(k = -9 - 1\)
• \(k = -10\)
• ✅ Sonuç: Tepe noktasının koordinatları \(T(-3, -10)\) olarak bulunur.

Bir karesel fonksiyonun x eksenini kestiği noktalar, fonksiyonun değerinin sıfır olduğu noktalardır. Yani \(f(x) = 0\) denkleminin kökleri aranır.

• 👉 Fonksiyonumuz \(f(x) = x^2 - 7x + 10\).
• 1. Adım: \(f(x) = 0\) denklemini kuralım.
• \(x^2 - 7x + 10 = 0\)
• 2. Adım: Denklemi çarpanlarına ayırarak veya diskriminant (\(\Delta\)) yöntemiyle köklerini bulalım. Çarpanlara ayırma daha pratik olacaktır.
• Çarpımları \(10\), toplamları \(-7\) olan iki sayı \(-2\) ve \(-5\) tir.
• Denklemi \((x-2)(x-5) = 0\) şeklinde yazabiliriz.
• 3. Adım: Kökleri (x eksenini kestiği noktaların apsislerini) bulalım.
• \(x-2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2\)
• \(x-5 = 0 \Rightarrow x_2 = 5\)
• ✅ Sonuç: Fonksiyon x eksenini \(x=2\) ve \(x=5\) noktalarında keser.

Bir karesel fonksiyon \(f(x) = ax^2 + bx + c\) şeklinde verildiğinde, \(a < 0\) ise parabolün kolları aşağı doğru bakar ve bu fonksiyonun bir maksimum değeri vardır. Bu maksimum değer, tepe noktasının ordinatına (\(k\)) eşittir.

• 👉 Fonksiyonumuz \(f(x) = -2x^2 + 8x - 5\). Burada \(a = -2\), \(b = 8\) ve \(c = -5\).
• Kollar aşağı doğru olduğundan (\(a = -2 < 0\)), fonksiyonun en büyük değeri tepe noktasında bulunur.
• 1. Adım: Tepe noktasının apsisini (\(r\)) bulalım.
• \(r = -\frac{b}{2a}\)
• \(r = -\frac{8}{2 \cdot (-2)}\)
• \(r = -\frac{8}{-4}\)
• \(r = 2\)
• 2. Adım: Tepe noktasının ordinatını (\(k\)) bulalım. Bu, aynı zamanda fonksiyonun en büyük değeridir.
• \(k = f(r)\) yani \(f(2)\) değerini hesaplayalım.
• \(k = -2(2)^2 + 8(2) - 5\)
• \(k = -2(4) + 16 - 5\)
• \(k = -8 + 16 - 5\)
• \(k = 8 - 5\)
• \(k = 3\)
• ✅ Sonuç: Fonksiyonun alabileceği en büyük değer \(3\) tür.

Bir fonksiyonun tersini bulmak için, \(y = f(x)\) denklemini \(x\) cinsinden çözerek \(x\) i yalnız bırakırız ve ardından \(x\) ile \(y\) nin yerini değiştiririz.

• 👉 Fonksiyonumuz \(f(x) = 4x - 7\).
• 1. Adım: \(f(x)\) yerine \(y\) yazalım.
• \(y = 4x - 7\)
• 2. Adım: \(x\) i yalnız bırakalım.
• \(y + 7 = 4x\)
• \(x = \frac{y+7}{4}\)
• 3. Adım: \(x\) ile \(y\) nin yerini değiştirelim.
• \(y = \frac{x+7}{4}\)
• ✅ Sonuç: Fonksiyonun tersi \(f^{-1}(x) = \frac{x+7}{4}\) olarak bulunur.

Karesel fonksiyonlar tüm reel sayılar kümesinde birebir ve örten değildir, bu yüzden tersinin bir fonksiyon olabilmesi için tanım kümesi kısıtlanmalıdır. Burada tanım kümesi \(x \ge 3\) olarak kısıtlanmıştır. \(f(x) = x^2 - 6x + 10\) fonksiyonunun tepe noktasının apsisi \(r = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\) tür. Tanım kümesi \(x \ge 3\) olduğundan, fonksiyon bu aralıkta birebir ve örtendir.

• 👉 Fonksiyonumuz \(f(x) = x^2 - 6x + 10\).
• 1. Adım: \(f(x)\) yerine \(y\) yazalım.
• \(y = x^2 - 6x + 10\)
• 2. Adım: Sağ tarafı tam kare ifadeye dönüştürerek \(x\) i yalnız bırakmaya çalışalım.
• \(y = (x^2 - 6x + 9) + 1\)
• \(y = (x-3)^2 + 1\)
• 3. Adım: \(x\) i yalnız bırakalım.
• \(y - 1 = (x-3)^2\)
• Her iki tarafın karekökünü alalım: \(\sqrt{y-1} = \sqrt{(x-3)^2}\)
• \(\sqrt{y-1} = |x-3|\)
• Tanım kümesi \(x \ge 3\) olduğundan \(x-3 \ge 0\) olur. Bu yüzden \(|x-3| = x-3\) diyebiliriz.
• \(\sqrt{y-1} = x-3\)
• \(x = 3 + \sqrt{y-1}\)
• 4. Adım: \(x\) ile \(y\) nin yerini değiştirelim.
• \(y = 3 + \sqrt{x-1}\)
• ✅ Sonuç: Fonksiyonun tersi \(f^{-1}(x) = 3 + \sqrt{x-1}\) olarak bulunur. (Ters fonksiyonun tanım kümesi \(x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1\) dir.)

Bu problem, bir karesel fonksiyonun maksimum değerini bulma problemidir. Fonksiyon \(h(t) = -t^2 + 4t + 5\) şeklinde verildiğinde, \(a = -1\) olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur ve bu nedenle bir maksimum değeri vardır. Maksimum yükseklik, tepe noktasının ordinatına eşittir.

• 👉 Fonksiyonumuz \(h(t) = -t^2 + 4t + 5\). Burada \(a = -1\), \(b = 4\) ve \(c = 5\).
• 1. Adım: Tepe noktasının apsisini (\(r\)) bulalım. Bu, topun maksimum yüksekliğe ulaştığı zamandır.
• \(r = -\frac{b}{2a}\)
• \(r = -\frac{4}{2 \cdot (-1)}\)
• \(r = -\frac{4}{-2}\)
• \(r = 2\) saniye
• 2. Adım: Tepe noktasının ordinatını (\(k\)) bulalım. Bu, topun ulaşabileceği maksimum yüksekliktir.
• \(k = h(r)\) yani \(h(2)\) değerini hesaplayalım.
• \(k = -(2)^2 + 4(2) + 5\)
• \(k = -4 + 8 + 5\)
• \(k = 4 + 5\)
• \(k = 9\) metre
• ✅ Sonuç: Topun yerden ulaşabileceği maksimum yükseklik \(9\) metredir.

Bu günlük hayat problemi, bir karesel fonksiyonun maksimum değerini ve bu değere karşılık gelen \(x\) değerini bulma üzerine kuruludur. Kar fonksiyonu \(K(x) = -x^2 + 100x - 1500\) şeklinde verildiğinde, \(a = -1\) olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur ve bu nedenle bir maksimum kar değeri vardır.

• 👉 Kar fonksiyonumuz \(K(x) = -x^2 + 100x - 1500\). Burada \(a = -1\), \(b = 100\) ve \(c = -1500\).
• 1. Adım: Maksimum kar elde etmek için üretilmesi gereken oyuncak bebek adedini (\(x\)) bulalım. Bu, tepe noktasının apsisine (\(r\)) eşittir.
• \(r = -\frac{b}{2a}\)
• \(r = -\frac{100}{2 \cdot (-1)}\)
• \(r = -\frac{100}{-2}\)
• \(r = 50\) adet
• 2. Adım: Bu durumda elde edilecek maksimum karı (\(k\)) bulalım. Bu, tepe noktasının ordinatına (\(K(r)\)) eşittir.
• \(k = K(50)\) değerini hesaplayalım.
• \(k = -(50)^2 + 100(50) - 1500\)
• \(k = -2500 + 5000 - 1500\)
• \(k = 2500 - 1500\)
• \(k = 1000\) TL
• ✅ Sonuç: Firmanın maksimum kar elde etmesi için \(50\) adet oyuncak bebek üretmesi gerekmektedir ve bu durumda elde edeceği maksimum kar \(1000\) TL dir.