🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karesel fonksiyonlar ve nitel özellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karesel fonksiyonlar ve nitel özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir kenar uzunluğu \( x \) birim olan karenin alanını veren fonksiyon \( A(x) = x^2 \) olarak tanımlanır. Bu fonksiyonun karesel fonksiyon olduğunu gösteriniz ve tanım kümesini pozitif reel sayılar olarak belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için şu adımları izleyeceğiz:
- Karesel Fonksiyon Tanımı: Bir fonksiyonun karesel fonksiyon olabilmesi için \( f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklinde bir genel forma sahip olması gerekir, burada \( a \neq 0 \)'dır.
- Fonksiyonu İnceleme: Verilen alan fonksiyonu \( A(x) = x^2 \) şeklindedir. Bu ifadeyi genel forma benzetirsek, \( a = 1 \), \( b = 0 \) ve \( c = 0 \) olur.
- Sonuç: \( a = 1 \) olduğundan ve \( a \neq 0 \) koşulu sağlandığından, \( A(x) = x^2 \) bir karesel fonksiyondur. ✅
- Tanım Kümesi: Bir kenar uzunluğu \( x \) pozitif reel sayılar kümesinden değerler alabilir. Bu nedenle, fonksiyonun tanım kümesi \( \mathbb{R}^+ \) (pozitif reel sayılar) olarak belirlenir.
Örnek 2:
\( f(x) = -2x^2 + 3 \) karesel fonksiyonunun grafiğinin kolları hangi yöne bakar? Tepe noktasının koordinatları nedir?
Çözüm:
Fonksiyonun grafiğinin yönünü ve tepe noktasını bulmak için şu adımları takip edelim:
- Kolların Yönü: Karesel bir fonksiyonun kolları, \( x^2 \) teriminin katsayısına (\( a \)) bakılarak belirlenir. Fonksiyonumuz \( f(x) = -2x^2 + 3 \) olduğuna göre, \( a = -2 \)'dir.
- Değerlendirme: Katsayı \( a \) negatif (\( a < 0 \)) olduğu için, grafiğin kolları aşağı doğru bakar. 📉
- Tepe Noktası: \( f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklindeki bir karesel fonksiyonun tepe noktasının apsisi \( x_0 = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur.
- Hesaplama: Fonksiyonumuzda \( b = 0 \) olduğundan, tepe noktasının apsisi \( x_0 = -\frac{0}{2(-2)} = 0 \) olur.
- Tepe Noktasının Ordinatı: Tepe noktasının ordinatını bulmak için \( x_0 \) değerini fonksiyonda yerine yazarız: \( f(0) = -2(0)^2 + 3 = 3 \).
- Sonuç: Tepe noktasının koordinatları (0, 3)'tür. 📍
Örnek 3:
\( g(x) = (x-3)^2 + 5 \) karesel fonksiyonunun tepe noktası nedir ve grafiği \( y = x^2 \) grafiğine göre nasıl bir dönüşüme uğramıştır?
Çözüm:
Bu karesel fonksiyonun tepe noktasını ve dönüşümünü adım adım bulalım:
- Tepe Noktasının Koordinatları: \( f(x) = a(x-h)^2 + k \) genel formundaki karesel fonksiyonların tepe noktası (h, k)'dır.
- Fonksiyonu Karşılaştırma: Verilen fonksiyon \( g(x) = (x-3)^2 + 5 \) şeklindedir.
- Değerlendirme: Bu durumda \( h = 3 \) ve \( k = 5 \)'tir. Dolayısıyla, tepe noktası (3, 5)'tir. 📌
- Grafik Dönüşümü:
- \( (x-h)^2 \) terimi, grafiğin h birim sağa kaydırıldığını gösterir. Burada \( h=3 \) olduğundan, grafik 3 birim sağa kaymıştır.
- \( +k \) terimi, grafiğin k birim yukarı kaydırıldığını gösterir. Burada \( k=5 \) olduğundan, grafik 5 birim yukarı kaymıştır.
- Sonuç: \( g(x) = (x-3)^2 + 5 \) fonksiyonunun grafiği, \( y = x^2 \) grafiğinin 3 birim sağa ve 5 birim yukarı ötelendiğini gösterir. ⬆️➡️
Örnek 4:
Bir futbol topu, yerden \( v_0 \) ilk hızla ve \( \theta \) açısıyla atıldığında havada izlediği yörünge yaklaşık olarak \( h(t) = v_0 \sin(\theta) t - \frac{1}{2}gt^2 \) formülü ile verilir, burada \( g \) yerçekimi ivmesidir ve \( t \) zamandır. Bu fonksiyonun karesel bir fonksiyon olduğunu ve \( t \) değişkenine bağlı olarak maksimum yüksekliğe ne zaman ulaştığını açıklayınız.
Çözüm:
Bu fiziksel olayın matematiksel modelini inceleyelim:
- Karesel Fonksiyon Formu: Fonksiyonu \( h(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + (v_0 \sin(\theta)) t \) şeklinde yeniden düzenleyebiliriz. Bu, \( h(t) = at^2 + bt + c \) formuna uymaktadır, burada \( a = -\frac{1}{2}g \), \( b = v_0 \sin(\theta) \) ve \( c = 0 \)'dır.
- Karesel Fonksiyon Olduğu: \( a = -\frac{1}{2}g \) katsayısı sıfırdan farklıdır (\( g > 0 \) olduğu için). Bu nedenle, \( h(t) \) karesel bir fonksiyondur. ✅
- Maksimum Yüksekliğe Ulaşma Zamanı: Karesel fonksiyonun grafiği bir paraboldür ve kolları aşağı doğru bakar (\( a < 0 \)). Maksimum yükseklik, parabolün tepe noktasına karşılık gelir.
- Tepe Noktası Apsisi: Tepe noktasının \( t \) değeri (yani zaman), \( t_{tepe} = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur.
- Hesaplama: \( t_{tepe} = -\frac{v_0 \sin(\theta)}{2(-\frac{1}{2}g)} = -\frac{v_0 \sin(\theta)}{-g} = \frac{v_0 \sin(\theta)}{g} \).
- Sonuç: Futbol topu, havada izlediği yörüngede \( t = \frac{v_0 \sin(\theta)}{g} \) zamanında maksimum yüksekliğe ulaşır. 🚀
Örnek 5:
Bir inşaat firması, bir binanın dış cephesine yerleştireceği \( x \) adet pencere için maliyet hesabı yapmaktadır. Pencere sayısı arttıkça, her bir pencerenin maliyeti düşmektedir. Bu durum, \( M(x) = -0.5x^2 + 20x + 100 \) fonksiyonu ile ifade edilmektedir, burada \( M(x) \) toplam maliyeti (bin TL cinsinden) ve \( x \) pencere sayısıdır.
a) Firmanın pencere maliyetini en aza indirmek için kaç pencere sipariş etmesi gerekir?
b) Bu durumda toplam maliyet ne olur?
Çözüm:
Bu problemi çözmek için karesel fonksiyonun nitel özelliklerinden faydalanacağız:
- Fonksiyonun Analizi: Verilen maliyet fonksiyonu \( M(x) = -0.5x^2 + 20x + 100 \)'dir. Bu bir karesel fonksiyondur ve \( x^2 \) teriminin katsayısı \( a = -0.5 \)'tir.
- Kolların Yönü: Katsayı \( a \) negatif olduğu için grafiğin kolları aşağı doğru bakar. Bu, tepe noktasının bir maksimum nokta olduğunu gösterir.
- Sorunun Yorumu: Soru, maliyeti en aza indirmeyi sormaktadır. Ancak fonksiyonun grafiği aşağı doğru baktığı için bir maksimum nokta bulacağız. Soruda bir yanlışlık olabilir veya "en aza indirme" ifadesi, maliyetin belirli bir pencere sayısından sonra artışa geçtiği anlamına gelebilir. Biz, maksimum maliyeti veren pencere sayısını bulacağız ve bu noktada maliyetin ne olduğunu inceleyeceğiz. Eğer maliyetin azalması isteniyorsa, fonksiyonun başlangıç kısımlarına bakmak gerekir. Ancak LGS tarzı sorularda genellikle tepe noktası sorulur. Bu durumda, biz tepe noktasını bulup yorumlayacağız.
- Tepe Noktasının Apsisi (x değeri): Maliyetin ekstremum yaptığı \( x \) değerini bulmak için tepe noktasının apsisini hesaplarız: \( x_{tepe} = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2(-0.5)} = -\frac{20}{-1} = 20 \).
- a) Cevap: Firma, maliyetin ekstremum yaptığı nokta olan 20 pencere sipariş ettiğinde, maliyet fonksiyonunda bir dönüm noktasına ulaşılır. Eğer maliyetin artışa geçtiği noktayı bulmak istersek, tepe noktasının sağındaki değerlere bakmalıyız. Sorunun ifadesi "en aza indirmek" olsa da, karesel fonksiyonun yapısı gereği bir maksimum değer bulduk. Bu bağlamda, 20 pencere sipariş edildiğinde maliyet fonksiyonunda bir değişiklik (artışa geçiş veya azalışın durması) söz konusudur.
- b) Cevap: 20 pencere sipariş edildiğinde toplam maliyeti bulmak için \( x=20 \)'yi fonksiyonda yerine koyarız: \( M(20) = -0.5(20)^2 + 20(20) + 100 \) \( M(20) = -0.5(400) + 400 + 100 \) \( M(20) = -200 + 400 + 100 = 300 \).
- Sonuç: Bu durumda toplam maliyet 300 bin TL olur. 💰
Örnek 6:
Bir sporcu, bir engelli koşu parkurunda koşmaktadır. Sporcunun yerden yüksekliğini gösteren fonksiyon, \( Y(t) = -2t^2 + 8t + 1 \) şeklinde verilmiştir. Burada \( Y(t) \) sporcunun metre cinsinden yüksekliğini ve \( t \) geçen saniyeyi göstermektedir.
a) Sporcu bu engelin zirvesine (en yüksek noktasına) ne zaman ulaşır?
b) Sporcunun bu engelin zirvesindeki yüksekliği kaç metredir?
Çözüm:
Sporcunun hareketini karesel fonksiyon üzerinden analiz edelim:
- Fonksiyon Tanımı: Sporcunun yüksekliğini veren fonksiyon \( Y(t) = -2t^2 + 8t + 1 \)'dir. Bu bir karesel fonksiyondur.
- Kolların Yönü: \( t^2 \) teriminin katsayısı \( a = -2 \)'dir. Katsayı negatif olduğundan, grafiğin kolları aşağı doğrudur ve tepe noktası maksimum bir noktadır. Bu, sporcunun ulaşacağı en yüksek noktayı temsil eder. ⬆️
- a) Maksimum Yüksekliğe Ulaşma Zamanı: Maksimum yüksekliğe ulaşılan anı bulmak için tepe noktasının \( t \) değerini hesaplarız: \( t_{tepe} = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = -\frac{8}{-4} = 2 \).
- Sonuç (a): Sporcu, engelin zirvesine 2 saniye sonra ulaşır. ⏱️
- b) Maksimum Yükseklik: Maksimum yüksekliği bulmak için \( t = 2 \) saniye değerini fonksiyonda yerine koyarız: \( Y(2) = -2(2)^2 + 8(2) + 1 \) \( Y(2) = -2(4) + 16 + 1 \) \( Y(2) = -8 + 16 + 1 = 9 \).
- Sonuç (b): Sporcunun engelin zirvesindeki yüksekliği 9 metre'dir. 📏
Örnek 7:
\( f(x) = 3x^2 - 12x + 10 \) karesel fonksiyonunun grafiğinin simetri ekseni denklemi nedir?
Çözüm:
Karesel bir fonksiyonun grafiği olan parabolün simetri ekseni, tepe noktasının apsisinden geçen dikey doğrudur.
- Simetri Ekseni Denklemi: \( f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklindeki bir karesel fonksiyon için simetri ekseni denklemi \( x = -\frac{b}{2a} \)'dır.
- Katsayıları Belirleme: Fonksiyonumuz \( f(x) = 3x^2 - 12x + 10 \)'dur. Buradan \( a = 3 \), \( b = -12 \) ve \( c = 10 \)'dur.
- Hesaplama: Simetri ekseninin denklemini bulmak için \( x = -\frac{b}{2a} \) formülünü kullanırız: \( x = -\frac{-12}{2(3)} = -\frac{-12}{6} = -(-2) = 2 \).
- Sonuç: Bu karesel fonksiyonun grafiğinin simetri ekseni denklemi \( x = 2 \)'dir. 📏
Örnek 8:
\( y = x^2 \) fonksiyonunun grafiği ile \( y = x^2 + 4 \) fonksiyonunun grafiği arasındaki ilişkiyi açıklayınız.
Çözüm:
İki karesel fonksiyon arasındaki ilişkiyi anlamak için grafiklerinin nasıl değiştiğine bakalım:
- Temel Fonksiyon: \( y = x^2 \) fonksiyonunun grafiği bir paraboldür ve tepe noktası orijindedir (0,0). Kolları yukarı doğrudur.
- İkinci Fonksiyon: \( y = x^2 + 4 \) fonksiyonunda, \( x^2 \) terimine sabit bir sayı (\( +4 \)) eklenmiştir.
- Etkisi: Bu sabit sayı, \( y = x^2 \) grafiğini dikey olarak yukarı doğru ötelemek anlamına gelir.
- Sonuç: \( y = x^2 + 4 \) fonksiyonunun grafiği, \( y = x^2 \) fonksiyonunun grafiğinin 4 birim yukarı ötelenmiş halidir. Tepe noktası (0, 4) noktasına taşınmıştır. ⬆️
Örnek 9:
Bir teknoloji firması, ürettiği bir ürünün satış fiyatını \( x \) TL olarak belirlediğinde, elde edeceği aylık karı \( K(x) = -x^2 + 80x - 1200 \) fonksiyonu ile modellemektedir. Firmanın karını maksimize etmek için ürünün satış fiyatını kaç TL olarak belirlemesi gerektiğini bulunuz.
Çözüm:
Bu problemi çözmek için kar fonksiyonunun maksimum değerini veren satış fiyatını bulmalıyız:
- Kar Fonksiyonu: Verilen kar fonksiyonu \( K(x) = -x^2 + 80x - 1200 \)'dir. Bu bir karesel fonksiyondur.
- Kolların Yönü: \( x^2 \) teriminin katsayısı \( a = -1 \)'dir. Katsayı negatif olduğundan, grafiğin kolları aşağı doğrudur ve tepe noktası maksimum bir noktadır. Bu, firmanın elde edebileceği en yüksek karı temsil eder. 📈
- Karın Maksimize Edildiği Satış Fiyatı: Karın maksimize edildiği \( x \) değerini bulmak için tepe noktasının apsisini hesaplarız: \( x_{tepe} = -\frac{b}{2a} = -\frac{80}{2(-1)} = -\frac{80}{-2} = 40 \).
- Sonuç: Firmanın karını maksimize etmek için ürünün satış fiyatını 40 TL olarak belirlemesi gerekir. 💰
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karesel-fonksiyonlar-ve-nitel-ozellikleri/sorular