🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karesel Fonksiyonlar Soru Örnekleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karesel Fonksiyonlar Soru Örnekleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda verilen karesel fonksiyonun tepe noktasının koordinatlarını ve simetri eksenini bulunuz. 🧐
\[ f(x) = x^2 - 6x + 5 \]
Çözüm:
Bu tür soruları çözerken karesel fonksiyonun genel formu \( f(x) = ax^2 + bx + c \) ile verilen fonksiyonu karşılaştırmak önemlidir.
- 👉 Öncelikle, verilen \( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) fonksiyonunda katsayıları belirleyelim:
- \( a = 1 \)
- \( b = -6 \)
- \( c = 5 \)
- 📌 Tepe Noktasının Apsisi (r): Tepe noktasının apsisi \( r = \frac{-b}{2a} \) formülüyle bulunur. \[ r = \frac{-(-6)}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3 \]
- 📌 Tepe Noktasının Ordinatı (k): Tepe noktasının ordinatı \( k = f(r) \) yani \( f(3) \) değeri hesaplanarak bulunur. \[ k = f(3) = (3)^2 - 6(3) + 5 \] \[ k = 9 - 18 + 5 \] \[ k = -4 \]
- ✅ Sonuç olarak, tepe noktasının koordinatları \( \mathbf{(3, -4)} \) 'tür.
- 💡 Simetri Ekseni: Karesel fonksiyonların grafiği olan parabolün simetri ekseni, tepe noktasının apsisinden geçen düşey doğrudur. Bu nedenle simetri ekseni denklemi \( \mathbf{x = 3} \) 'tür.
Örnek 2:
Verilen karesel fonksiyonun x eksenini kestiği noktaların apsislerini (köklerini) ve y eksenini kestiği noktanın ordinatını bulunuz. 🎯
\[ f(x) = x^2 + 2x - 8 \]
Çözüm:
Karesel fonksiyonların eksenleri kestiği noktaları bulmak, grafik çizimi ve fonksiyonun analizi için temel adımlardır.
- 👉 x Ekseni Kestiği Noktalar (Kökler):
- Bir fonksiyonun x eksenini kestiği noktaları bulmak için \( f(x) = 0 \) eşitliğini çözmemiz gerekir.
- \[ x^2 + 2x - 8 = 0 \]
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları \( -8 \) ve toplamları \( 2 \) olan iki sayı \( 4 \) ve \( -2 \) 'dir.
- \[ (x+4)(x-2) = 0 \]
- Buradan \( x+4 = 0 \Rightarrow x_1 = -4 \) ve \( x-2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2 \) bulunur.
- ✅ Yani, fonksiyon x eksenini \( \mathbf{(-4, 0)} \) ve \( \mathbf{(2, 0)} \) noktalarında keser.
- 👉 y Ekseni Kestiği Nokta:
- Bir fonksiyonun y eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) yazılır ve \( f(0) \) değeri hesaplanır.
- \[ f(0) = (0)^2 + 2(0) - 8 \]
- \[ f(0) = -8 \]
- ✅ Yani, fonksiyon y eksenini \( \mathbf{(0, -8)} \) noktasında keser.
Örnek 3:
\( f(x) = -x^2 + 4x - 1 \) karesel fonksiyonunun alabileceği en büyük değeri bulunuz. 🤔 Fonksiyonun grafiği hangi yöne açılır?
Çözüm:
Karesel fonksiyonların en büyük veya en küçük değeri, parabolün açılış yönüne bağlıdır ve tepe noktasının ordinatı ile ilişkilidir.
- 👉 Parabolün Açılış Yönü:
- Fonksiyonun genel formu \( f(x) = ax^2 + bx + c \) 'dir.
- Verilen \( f(x) = -x^2 + 4x - 1 \) fonksiyonunda \( a = -1 \) 'dir.
- \( a < 0 \) olduğu için parabolün kolları aşağıya doğru açılır.
- 💡 Kolları aşağıya doğru açılan bir parabolün bir tepe noktası vardır ve bu nokta fonksiyonun alabileceği en büyük değerdir.
- 👉 En Büyük Değeri Bulma (Tepe Noktasının Ordinatı):
- Önce tepe noktasının apsisini (r) bulalım: \( r = \frac{-b}{2a} \)
- \( a = -1 \) ve \( b = 4 \) olduğundan: \[ r = \frac{-4}{2 \times (-1)} = \frac{-4}{-2} = 2 \]
- Şimdi \( r=2 \) değerini fonksiyonda yerine yazarak tepe noktasının ordinatını (k) ve dolayısıyla en büyük değeri bulalım: \( k = f(r) = f(2) \)
- \[ k = f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 1 \] \[ k = -4 + 8 - 1 \] \[ k = 3 \]
- ✅ Dolayısıyla, fonksiyonun alabileceği en büyük değer \( \mathbf{3} \) 'tür.
Örnek 4:
Tepe noktası \( T(1, -3) \) olan ve \( (0, -2) \) noktasından geçen karesel fonksiyonun denklemini yazınız. 📝
Çözüm:
Bir karesel fonksiyonun tepe noktası bilindiğinde, fonksiyonun denklemini tepe noktası formülü kullanarak yazabiliriz.
- 👉 Tepe Noktası Formülü:
- Karesel fonksiyonun tepe noktası \( T(r, k) \) ise, fonksiyonun denklemi \( y = a(x-r)^2 + k \) şeklinde yazılabilir.
- Verilen tepe noktası \( T(1, -3) \) olduğundan, \( r=1 \) ve \( k=-3 \) 'tür.
- Denklemi yerine yazarsak: \[ y = a(x-1)^2 + (-3) \] \[ y = a(x-1)^2 - 3 \]
- 👉 'a' Katsayısını Bulma:
- Fonksiyonun geçtiği \( (0, -2) \) noktasını kullanarak 'a' katsayısını bulabiliriz. Bu noktada \( x=0 \) ve \( y=-2 \) 'dir.
- Denklemde yerine yazalım: \[ -2 = a(0-1)^2 - 3 \] \[ -2 = a(-1)^2 - 3 \] \[ -2 = a(1) - 3 \] \[ -2 = a - 3 \]
- 'a' değerini bulmak için denklemi çözelim: \[ a = -2 + 3 \] \[ a = 1 \]
- ✅ Sonuç olarak, karesel fonksiyonun denklemi \( \mathbf{y = 1(x-1)^2 - 3} \) veya açılmış haliyle: \[ y = (x^2 - 2x + 1) - 3 \] \[ y = x^2 - 2x - 2 \] şeklindedir.
Örnek 5:
Bir mühendis, bir köprünün kemerini parabol şeklinde tasarlamıştır. Kemerin en yüksek noktası yerden 10 metre yükseklikte ve bu nokta, kemerin tabanındaki iki destek noktasının tam ortasındadır. Destek noktaları arasındaki yatay uzaklık 20 metredir. Bu kemeri modelleyen karesel fonksiyonun denklemini bulunuz. 🌉
Çözüm:
Bu problemde, verilen bilgileri kullanarak bir koordinat sistemi üzerinde parabolün denklemini oluşturmamız isteniyor.
- 👉 Koordinat Sistemini Belirleme:
- Kemerin en yüksek noktası (tepe noktası) yerden 10 metre yükseklikte ve destek noktalarının tam ortasında. Destek noktaları arası 20 metre ise, bu orta nokta her bir destek noktasından 10 metre uzaktadır.
- Kemerin tepe noktasını y ekseni üzerinde kabul edelim. Bu durumda tepe noktası \( T(0, 10) \) olur.
- Destek noktaları, x ekseni üzerinde ve tepe noktasından eşit uzaklıkta olacağından, \( (-10, 0) \) ve \( (10, 0) \) noktalarıdır. (Çünkü toplam yatay uzaklık 20 metre ve orta nokta \( x=0 \) 'dır).
- 👉 Tepe Noktası Formülünü Kullanma:
- Tepe noktası \( T(r, k) = (0, 10) \) olduğundan, karesel fonksiyonun denklemi \( y = a(x-r)^2 + k \) formülüyle yazılır: \[ y = a(x-0)^2 + 10 \] \[ y = ax^2 + 10 \]
- 👉 'a' Katsayısını Bulma:
- Kemerin bir destek noktasından geçtiğini biliyoruz, örneğin \( (10, 0) \) noktasından. Bu noktayı denklemde yerine yazarak 'a' katsayısını bulalım: \[ 0 = a(10)^2 + 10 \] \[ 0 = 100a + 10 \] \[ 100a = -10 \] \[ a = \frac{-10}{100} \] \[ a = -\frac{1}{10} \]
- ✅ Sonuç olarak, köprü kemerini modelleyen karesel fonksiyonun denklemi \( \mathbf{y = -\frac{1}{10}x^2 + 10} \) 'dur.
Örnek 6:
Bir top atıldığında yerden yüksekliği (metre cinsinden) zamanla (saniye cinsinden) \( h(t) = -t^2 + 6t + 7 \) fonksiyonu ile modellenmektedir. ⚽ Bu topun yerden yüksekliğinin en fazla kaç metre olacağını ve bu yüksekliğe kaç saniye sonra ulaşacağını bulunuz.
Çözüm:
Bu problem, karesel fonksiyonun maksimum değerini bulma problemidir ve günlük hayatta sıkça karşılaşılan bir uygulamadır (örneğin, atış hareketleri).
- 👉 Fonksiyonu Analiz Etme:
- Verilen fonksiyon \( h(t) = -t^2 + 6t + 7 \) bir karesel fonksiyondur.
- Burada \( a = -1 \), \( b = 6 \), \( c = 7 \) 'dir.
- \( a < 0 \) olduğu için parabolün kolları aşağıya doğru açılır, bu da fonksiyonun bir maksimum değeri olduğunu gösterir. Bu maksimum değer, tepe noktasının ordinatıdır.
- 👉 Maksimum Yüksekliğe Ulaşma Süresi (Tepe Noktasının Apsisi):
- Maksimum yüksekliğe ulaşma süresi, tepe noktasının apsisi olan 't' değeri ile bulunur: \( t = \frac{-b}{2a} \)
- \[ t = \frac{-6}{2 \times (-1)} = \frac{-6}{-2} = 3 \]
- ✅ Top, atıldıktan 3 saniye sonra en yüksek noktaya ulaşır.
- 👉 Maksimum Yükseklik (Tepe Noktasının Ordinatı):
- En yüksek değeri bulmak için \( t=3 \) değerini \( h(t) \) fonksiyonunda yerine yazalım: \( h(3) \)
- \[ h(3) = -(3)^2 + 6(3) + 7 \] \[ h(3) = -9 + 18 + 7 \] \[ h(3) = 9 + 7 \] \[ h(3) = 16 \]
- ✅ Topun yerden yüksekliği en fazla 16 metre olur.
Örnek 7:
\( f(x) = x^2 - 4x + m - 1 \) karesel fonksiyonunun grafiği x eksenine teğet olduğuna göre, 'm' değerini bulunuz. 💡
Çözüm:
Bir karesel fonksiyonun grafiğinin (parabolün) x eksenine teğet olması, fonksiyonun sadece bir tane kökü olduğu anlamına gelir. Bu durum, ikinci dereceden denklemler konusunda öğrendiğimiz diskriminant (\( \Delta \)) kavramıyla ilişkilidir.
- 👉 Diskriminant Kavramı:
- Genel ikinci dereceden denklem \( ax^2 + bx + c = 0 \) için diskriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \) formülüyle hesaplanır.
- Eğer \( \Delta = 0 \) ise, denklemin birbirine eşit iki gerçek kökü vardır, yani parabol x eksenine teğettir.
- 👉 Katsayıları Belirleme:
- Verilen \( f(x) = x^2 - 4x + m - 1 \) fonksiyonunda:
- \( a = 1 \)
- \( b = -4 \)
- \( c = m - 1 \) (sabit terim)
- Verilen \( f(x) = x^2 - 4x + m - 1 \) fonksiyonunda:
- 👉 'm' Değerini Bulma:
- x eksenine teğet olduğu için \( \Delta = 0 \) olmalıdır.
- \[ b^2 - 4ac = 0 \] \[ (-4)^2 - 4(1)(m-1) = 0 \] \[ 16 - 4(m-1) = 0 \] \[ 16 - 4m + 4 = 0 \] \[ 20 - 4m = 0 \] \[ 20 = 4m \] \[ m = \frac{20}{4} \] \[ m = 5 \]
- ✅ Dolayısıyla, 'm' değeri \( \mathbf{5} \) 'tir.
Örnek 8:
Aşağıdaki karesel fonksiyonun grafiğini çizmek için gerekli olan tepe noktasını, x ve y eksenlerini kestiği noktaları bulunuz. 📊
\[ f(x) = -x^2 + 2x + 3 \]
Çözüm:
Bir karesel fonksiyonun grafiğini çizerken bu anahtar noktaları bulmak, parabolün şeklini ve konumunu doğru bir şekilde belirlememizi sağlar.
- 👉 1. Tepe Noktası (T(r, k)):
- Katsayılar: \( a=-1 \), \( b=2 \), \( c=3 \).
- Apsis (r): \( r = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 \times (-1)} = \frac{-2}{-2} = 1 \)
- Ordinat (k): \( k = f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \)
- ✅ Tepe noktası: \( \mathbf{(1, 4)} \).
- 💡 \( a=-1 < 0 \) olduğu için parabolün kolları aşağıya doğru açılır.
- 👉 2. x Ekseni Kestiği Noktalar (Kökler):
- \( f(x) = 0 \) eşitliğini çözelim: \( -x^2 + 2x + 3 = 0 \)
- Denklemi \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) şeklinde yazabiliriz (her tarafı -1 ile çarparak).
- Çarpanlara ayıralım: \( (x-3)(x+1) = 0 \)
- Kökler: \( x_1 = 3 \) ve \( x_2 = -1 \)
- ✅ x eksenini kestiği noktalar: \( \mathbf{(3, 0)} \) ve \( \mathbf{(-1, 0)} \).
- 👉 3. y Ekseni Kestiği Nokta:
- \( x=0 \) için \( f(0) \) değerini bulalım: \( f(0) = -(0)^2 + 2(0) + 3 = 3 \)
- ✅ y eksenini kestiği nokta: \( \mathbf{(0, 3)} \).
- 📌 Bu noktaları (Tepe noktası: \( (1, 4) \), x-kesenler: \( (3, 0) \) ve \( (-1, 0) \), y-kesen: \( (0, 3) \)) koordinat sisteminde işaretleyerek ve parabolün aşağı doğru açıldığını göz önünde bulundurarak grafiği çizebilirsiniz.
Örnek 9:
\( f(x) = (a-2)x^2 + 3x - 5 \) fonksiyonunun bir karesel fonksiyon (parabol belirtmesi) olabilmesi için 'a' sayısı hangi değeri alamaz? ❌
Çözüm:
Bir fonksiyonun karesel fonksiyon (ikinci dereceden fonksiyon) olabilmesi için en temel kural, en yüksek dereceli terim olan \( x^2 \) 'nin katsayısının sıfır olmamasıdır.
- 👉 Karesel Fonksiyon Tanımı:
- Genel olarak, bir \( f(x) = ax^2 + bx + c \) fonksiyonunun karesel fonksiyon olabilmesi için \( a \neq 0 \) olmalıdır.
- Eğer \( a = 0 \) olursa, \( x^2 \) terimi ortadan kalkar ve fonksiyon bir doğrusal fonksiyona dönüşür \( f(x) = bx + c \).
- 👉 'a' Katsayısını İnceleme:
- Verilen fonksiyon \( f(x) = (a-2)x^2 + 3x - 5 \) 'tir.
- Burada \( x^2 \) teriminin katsayısı \( (a-2) \) 'dir.
- Karesel fonksiyon olabilmesi için bu katsayının sıfırdan farklı olması gerekir. Yani, \( a-2 \neq 0 \) olmalıdır.
- 👉 'a' Değerini Bulma:
- Eşitsizliği çözerek 'a' nın alamayacağı değeri bulalım: \[ a-2 = 0 \] \[ a = 2 \]
- ✅ Bu durumda, 'a' sayısı \( \mathbf{2} \) değerini alamaz. Eğer \( a=2 \) olursa, fonksiyon \( f(x) = 3x - 5 \) şeklini alır ve bu bir doğrusal fonksiyondur, karesel fonksiyon değildir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karesel-fonksiyonlar-soru-ornekleri/sorular