🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karesel fonksiyonlar nitel özellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karesel fonksiyonlar nitel özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda verilen fonksiyonun ikinci dereceden (karesel) bir fonksiyon olabilmesi için \( m \) değerinin kaç olması gerektiğini bulunuz.
\( f(x) = (m - 3)x^3 + x^2 - 5x + 2 \)
\( f(x) = (m - 3)x^3 + x^2 - 5x + 2 \)
Çözüm:
Bir fonksiyonun karesel (ikinci dereceden) bir fonksiyon olabilmesi için değişkenin en büyük kuvvetinin 2 olması gerekir.
- Fonksiyonun içindeki \( x^3 \) terimi yok edilmelidir.
- Bu terimi yok etmek için katsayısını 0'a eşitlemeliyiz.
- \( m - 3 = 0 \) denklemini kurarız.
- Buradan \( m = 3 \) bulunur.
Örnek 2:
\( f(x) = x^2 - 4x + 7 \) karesel fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, bu fonksiyonun y-eksenini kestiği noktanın koordinatlarını bulunuz. 📍
Buna göre, bu fonksiyonun y-eksenini kestiği noktanın koordinatlarını bulunuz. 📍
Çözüm:
Bir fonksiyonun grafiğinin y-eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x \) yerine 0 yazılır.
- \( f(0) \) değerini hesaplayalım:
- \( f(0) = 0^2 - 4 \times 0 + 7 \)
- \( f(0) = 0 - 0 + 7 \)
- \( f(0) = 7 \)
Örnek 3:
\( f(x) = x^2 - 5x + 6 \) karesel fonksiyonunun x-eksenini kestiği noktaları (varsa) bulunuz. 🔍
Çözüm:
Bir fonksiyonun x-eksenini kestiği noktaları bulmak için fonksiyonu 0'a eşitleyip oluşan ikinci dereceden denklemi çözmeliyiz.
- \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
- Çarpanlarına ayıralım: \( (x - 2) \times (x - 3) = 0 \)
- Buradan kökler: \( x = 2 \) ve \( x = 3 \) olarak bulunur.
Örnek 4:
Aşağıdaki karesel fonksiyonların grafiklerinin (parabollerinin) kollarının yönünü (yukarı veya aşağı) belirleyiniz:
a) \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)
b) \( g(x) = -2x^2 + 5x - 4 \)
a) \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)
b) \( g(x) = -2x^2 + 5x - 4 \)
Çözüm:
Karesel bir fonksiyonda \( f(x) = ax^2 + bx + c \) genel formunda, \( x^2 \) teriminin katsayısı olan a değeri kolların yönünü belirler.
- a) \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) fonksiyonunda \( a = 3 \)'tür. \( a > 0 \) olduğu için kollar yukarı doğrudur. 🆙
- b) \( g(x) = -2x^2 + 5x - 4 \) fonksiyonunda \( a = -2 \)'dir. \( a < 0 \) olduğu için kollar aşağı doğrudur. ⬇️
Örnek 5:
Bir kenar uzunluğu \( x \) birim olan kare şeklindeki bir bahçenin alanı, kenar uzunluğu 2 birim artırıldığında yeni alan bir karesel fonksiyon ile ifade ediliyor.
Bu yeni alanı veren \( A(x) \) fonksiyonunu yazınız ve bahçenin başlangıçtaki kenarı 3 birim ise yeni alanın kaç birimkare olacağını hesaplayınız. 🏡
Bu yeni alanı veren \( A(x) \) fonksiyonunu yazınız ve bahçenin başlangıçtaki kenarı 3 birim ise yeni alanın kaç birimkare olacağını hesaplayınız. 🏡
Çözüm:
Adım adım ilerleyelim:
- Başlangıçtaki kenar: \( x \)
- Yeni kenar uzunluğu: \( x + 2 \)
- Karesel alan fonksiyonu: \( A(x) = (x + 2)^2 \)
- Fonksiyonu açarsak: \( A(x) = x^2 + 4x + 4 \)
- Başlangıç kenarı \( x = 3 \) ise:
- \( A(3) = (3 + 2)^2 = 5^2 = 25 \) birimkare bulunur.
Örnek 6:
Bir topun yerden yüksekliği (metre cinsinden), zamana (saniye cinsinden) bağlı olarak \( h(t) = -t^2 + 6t \) fonksiyonu ile modellenmiştir.
Topun atıldığı andaki yüksekliğini ve kaçıncı saniyede tekrar yere düşeceğini bulunuz. 🏀
Topun atıldığı andaki yüksekliğini ve kaçıncı saniyede tekrar yere düşeceğini bulunuz. 🏀
Çözüm:
Yükseklik fonksiyonu \( h(t) = -t^2 + 6t \) olarak verilmiştir.
- Atıldığı an (t = 0): \( h(0) = -0^2 + 6 \times 0 = 0 \) metre. (Yerden atılmıştır.)
- Yere düşme anı: Yüksekliğin tekrar 0 olduğu andır.
- \( -t^2 + 6t = 0 \) denklemini çözelim.
- \( t \times (-t + 6) = 0 \)
- Buradan \( t = 0 \) (başlangıç) veya \( t = 6 \) bulunur.
Örnek 7:
\( f(x) = ax^2 + bx + c \) karesel fonksiyonunun grafiği \( (0, 4) \), \( (1, 7) \) ve \( (-1, 5) \) noktalarından geçmektedir.
Buna göre \( a \) değerini bulunuz.
Buna göre \( a \) değerini bulunuz.
Çözüm:
Noktaları fonksiyon denkleminde yerine yazarak bir denklem sistemi kuralım:
- \( (0, 4) \) noktası için: \( f(0) = c = 4 \) bulunur.
- \( (1, 7) \) noktası için: \( a \times 1^2 + b \times 1 + 4 = 7 \Rightarrow a + b = 3 \)
- \( (-1, 5) \) noktası için: \( a \times (-1)^2 + b \times (-1) + 4 = 5 \Rightarrow a - b = 1 \)
- Elimizdeki iki denklemi taraf tarafa toplayalım:
- \( (a + b) + (a - b) = 3 + 1 \)
- \( 2a = 4 \)
- \( a = 2 \)
Örnek 8:
\( f(x) = x^2 - (k + 1)x + 9 \) fonksiyonunun grafiği x-eksenine teğet olduğuna göre, \( k \)'nın alabileceği pozitif değeri bulunuz. 💎
Çözüm:
Bir karesel fonksiyonun grafiğinin x-eksenine teğet olması, o fonksiyonun tam kare olması veya denkleminin diskriminantının (\( \Delta \)) 0'a eşit olması demektir.
- \( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \) olmalıdır.
- \( a = 1 \), \( b = -(k + 1) \), \( c = 9 \)
- \( (-(k + 1))^2 - 4 \times 1 \times 9 = 0 \)
- \( (k + 1)^2 - 36 = 0 \)
- \( (k + 1)^2 = 36 \)
- Buradan \( k + 1 = 6 \) veya \( k + 1 = -6 \) olur.
- \( k = 5 \) veya \( k = -7 \) bulunur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karesel-fonksiyonlar-nitel-ozellikleri/sorular