💡 10. Sınıf Matematik: Karesel Fonksiyonlar, Karekök Fonksiyonlar, Rasyonel Fonksiyonlar Ve Tersi Çözümlü Örnekler

Bu tür sorular, fonksiyonlarda değer bulma temelini oluşturur. Sadece \( x \) yerine verilen sayıyı yazarak sonuca ulaşırız.

• ✅ Adım 1: Fonksiyonda \( x \) gördüğümüz her yere \( -1 \) yazalım.
\[ f(-1) = 3(-1)^2 - 5(-1) + 2 \]
• ✅ Adım 2: İşlem önceliğine dikkat ederek hesaplamaları yapalım. Önce üslü ifadeyi çözelim.
\[ f(-1) = 3(1) - 5(-1) + 2 \]
• ✅ Adım 3: Çarpma işlemlerini yapalım.
\[ f(-1) = 3 + 5 + 2 \]
• ✅ Adım 4: Toplama işlemlerini yaparak sonucu bulalım.
\[ f(-1) = 10 \]

📌 Bu nedenle, \( f(-1) \) değeri \( 10 \) olarak bulunur.

Karesel fonksiyonların grafiği olan parabollerin tepe noktası, fonksiyonun alabileceği en küçük veya en büyük değeri gösterir. Tepe noktası \( T(r, k) \) olarak gösterilir.

• ✅ Adım 1: Karesel fonksiyonun genel formu \( ax^2 + bx + c \) şeklindedir. Verilen fonksiyonda \( a=1 \), \( b=-8 \) ve \( c=15 \) olduğunu belirleyelim.
• ✅ Adım 2: Tepe noktasının apsisi \( r \) değerini bulmak için \( r = \frac{-b}{2a} \) formülünü kullanalım.
\[ r = \frac{-(-8)}{2(1)} = \frac{8}{2} = 4 \]
• ✅ Adım 3: Tepe noktasının ordinatı \( k \) değerini bulmak için, bulduğumuz \( r \) değerini fonksiyonda yerine yazalım. Yani \( k = f(r) = f(4) \) değerini hesaplayalım.
\[ k = f(4) = (4)^2 - 8(4) + 15 \] \[ k = 16 - 32 + 15 \] \[ k = -16 + 15 \] \[ k = -1 \]

📌 Böylece, parabolün tepe noktasının koordinatları \( T(4, -1) \) olarak bulunur.

Karekök fonksiyonlarının tanım kümesini bulurken, karekök içerisindeki ifadenin negatif olamayacağı kuralını hatırlarız.

• ✅ Adım 1: Karekök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerektiğini biliyoruz.
\[ 5x - 20 \ge 0 \]
• ✅ Adım 2: Eşitsizliği çözerek \( x \) değer aralığını bulalım. Önce \( -20 \) sayısını eşitsizliğin diğer tarafına atalım.
\[ 5x \ge 20 \]
• ✅ Adım 3: Her iki tarafı \( 5 \) ile bölelim.
\[ x \ge \frac{20}{5} \] \[ x \ge 4 \]

📌 Bu durumda, fonksiyonun en geniş tanım kümesi \( [4, \infty) \) aralığıdır. Yani \( x \) değerleri \( 4 \) ve \( 4 \)'ten büyük tüm reel sayılar olabilir.

Rasyonel fonksiyonların tanım kümesini bulurken, paydanın sıfır olamayacağı kuralını unutmamalıyız. Çünkü payda sıfır olursa fonksiyon tanımsız olur.

• ✅ Adım 1: Paydayı sıfır yapan \( x \) değerlerini bulmak için paydadaki ifadeyi sıfıra eşitleyelim.
\[ x^2 - 9 = 0 \]
• ✅ Adım 2: Bu denklemi çözelim. \( x^2 = 9 \) şeklinde yazabiliriz.
\[ x^2 = 9 \]
• ✅ Adım 3: Her iki tarafın karekökünü alarak \( x \) değerlerini bulalım.
\[ x = \sqrt{9} \quad \text{veya} \quad x = -\sqrt{9} \] \[ x = 3 \quad \text{veya} \quad x = -3 \]

📌 Bu durumda, fonksiyonun tanım kümesi, tüm reel sayılar kümesinden, paydayı sıfır yapan \( -3 \) ve \( 3 \) değerlerinin çıkarılmasıyla elde edilir. Tanım kümesi \( R \setminus \{-3, 3\} \) olarak ifade edilir.

Bir fonksiyonun tersini bulmak için, \( y = f(x) \) ifadesinde \( x \) yerine \( y \) ve \( y \) yerine \( x \) yazıp \( y \)'yi tekrar yalnız bırakırız.

• ✅ Adım 1: Fonksiyonu \( y = 5x + 3 \) şeklinde yazalım.
• ✅ Adım 2: \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirelim.
\[ x = 5y + 3 \]
• ✅ Adım 3: Şimdi \( y \)'yi yalnız bırakmak için denklemi çözelim. Önce \( 3 \)'ü karşıya atalım.
\[ x - 3 = 5y \]
• ✅ Adım 4: Her iki tarafı \( 5 \)'e bölelim.
\[ y = \frac{x-3}{5} \]

📌 Böylece, fonksiyonun tersi \( f^{-1}(x) = \frac{x-3}{5} \) olarak bulunur.

Rasyonel fonksiyonların tersini bulma adımları da doğrusal fonksiyonlara benzerdir; \( x \) ve \( y \) yer değiştirilir, sonra \( y \) yalnız bırakılır.

• ✅ Adım 1: Fonksiyonu \( y = \frac{3x-2}{x+4} \) şeklinde yazalım.
• ✅ Adım 2: \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirelim.
\[ x = \frac{3y-2}{y+4} \]
• ✅ Adım 3: \( y \)'yi yalnız bırakmak için içler dışlar çarpımı yapalım.
\[ x(y+4) = 3y-2 \] \[ xy + 4x = 3y - 2 \]
• ✅ Adım 4: İçinde \( y \) olan terimleri bir tarafa, \( y \) olmayan terimleri diğer tarafa toplayalım.
\[ xy - 3y = -2 - 4x \]
• ✅ Adım 5: Sol taraftaki \( y \) terimlerini \( y \) parantezine alalım.
\[ y(x-3) = -2 - 4x \]
• ✅ Adım 6: Son olarak, \( y \)'yi yalnız bırakmak için her iki tarafı \( (x-3) \) ile bölelim.
\[ y = \frac{-2-4x}{x-3} \]

📌 Fonksiyonun tersi \( f^{-1}(x) = \frac{-4x-2}{x-3} \) olarak bulunur. (Pay ve paydadaki işaretleri düzenleyebiliriz: \( f^{-1}(x) = \frac{4x+2}{3-x} \)).

Bir karesel fonksiyonun en büyük veya en küçük değeri, parabolün tepe noktasının ordinatı (\( k \)) ile bulunur. \( a \) katsayısı negatif ise (parabol kolları aşağı bakıyorsa) en büyük değeri, pozitif ise (parabol kolları yukarı bakıyorsa) en küçük değeri alır.

• ✅ Adım 1: Fonksiyonun \( a \), \( b \) ve \( c \) katsayılarını belirleyelim. \( a=-2 \), \( b=12 \), \( c=-10 \).
• ✅ Adım 2: \( a=-2 < 0 \) olduğu için parabolün kolları aşağıya doğrudur. Bu da fonksiyonun bir en büyük değere sahip olduğunu gösterir. Bu değer tepe noktasının ordinatıdır (\( k \)).
• ✅ Adım 3: Tepe noktasının apsisi \( r \) değerini bulmak için \( r = \frac{-b}{2a} \) formülünü kullanalım.
\[ r = \frac{-12}{2(-2)} = \frac{-12}{-4} = 3 \]
• ✅ Adım 4: En büyük değer olan \( k \)'yi bulmak için, \( r=3 \) değerini fonksiyonda yerine yazalım. Yani \( k = f(3) \) değerini hesaplayalım.
\[ k = f(3) = -2(3)^2 + 12(3) - 10 \] \[ k = -2(9) + 36 - 10 \] \[ k = -18 + 36 - 10 \] \[ k = 18 - 10 \] \[ k = 8 \]

📌 Bu karesel fonksiyonun alabileceği en büyük değer \( 8 \)'dir.

Bu problem, bir karesel fonksiyonun tepe noktasını bulma problemidir. Kar fonksiyonu bir parabol belirttiği için, tepe noktası maksimum karı veya minimum karı verir. \( x^2 \) teriminin katsayısı negatif olduğundan, parabolün kolları aşağı doğrudur ve bu nedenle bir maksimum değer vardır.

• ✅ Adım 1: Kar fonksiyonumuz \( K(x) = -x^2 + 40x - 150 \). Burada \( a=-1 \), \( b=40 \) ve \( c=-150 \)'dir.
• ✅ Adım 2: Maksimum kar için üretilmesi gereken ekmek adedi (\( x \)) tepe noktasının apsisi (\( r \)) ile bulunur. \( r = \frac{-b}{2a} \) formülünü kullanalım.
\[ r = \frac{-40}{2(-1)} = \frac{-40}{-2} = 20 \]

👉 Yani fırıncı, maksimum kar elde etmek için günde \( 20 \) adet ekmek üretmelidir.

• ✅ Adım 3: Elde edilecek maksimum karı bulmak için, \( x=20 \) değerini kar fonksiyonunda yerine yazalım. Yani \( K(20) \) değerini hesaplayalım.
\[ K(20) = -(20)^2 + 40(20) - 150 \] \[ K(20) = -(400) + 800 - 150 \] \[ K(20) = -400 + 800 - 150 \] \[ K(20) = 400 - 150 \] \[ K(20) = 250 \]

📌 Sonuç olarak, fırıncı günde \( 20 \) adet ekmek ürettiğinde, \( 250 \) TL maksimum kar elde edecektir.