💡 10. Sınıf Matematik: Karesel fonksiyonlar grafikli problemler Çözümlü Örnekler

f(t) = at^2 + bt + c

a = -5

b = 20

• Adım 1: Tepe noktasının t-koordinatını bulun. Bu, fonksiyonun tepe noktasının zamanını verir. Formül:

  t = -b / (2a)

• Adım 2:

  t = -20 / (2 * -5) = -20 / -10 = 2

  saniye sonra top en yüksek noktasına ulaşır.
• Adım 3: En yüksek yüksekliği bulmak için bu t değerini fonksiyonda yerine koyun.
• Adım 4:

  f(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -5(4) + 40 = -20 + 40 = 20

  metre.

• Adım 1: Dikdörtgenin kenar uzunluklarını

  x

  ve

  y

  olarak adlandıralım. Çevre formülü:

  2x + 2y = 100

  olur.
• Adım 2: Çevre denkleminden bir kenar uzunluğunu diğerine bağlı olarak ifade edelim.

  2y = 100 - 2x

  y = 50 - x

• Adım 3: Dikdörtgenin alan formülü

  A = x * y

  'dir. Şimdi

  y

  yerine bulduğumuz ifadeyi yazarak alanı

  x

  cinsinden bir karesel fonksiyon olarak ifade edelim:

  A(x) = x * (50 - x) = 50x - x^2

• Adım 4: Bu karesel fonksiyonun tepe noktasını bularak maksimum alanı veren

  x

  değerini bulalım. Fonksiyonumuz

  A(x) = -x^2 + 50x

  şeklindedir. Burada

  a = -1

  ve

  b = 50

  'dir.
• Adım 5: Tepe noktasının x-koordinatı:

  x = -b / (2a) = -50 / (2 * -1) = -50 / -2 = 25

  metre.
• Adım 6: Diğer kenar uzunluğunu bulmak için

  y = 50 - x

  ifadesinde

  x = 25

  yerine koyalım:

  y = 50 - 25 = 25

  metre.

• Adım 1: Hız treninin yerden

  5 metre

  yüksekliğe ulaştığı anları bulmak için

  h(t) = 5

  denklemini kurmalıyız.
• Adım 2: Denklemi çözelim:

  -t^2 + 6t + 1 = 5

  -t^2 + 6t - 4 = 0

  t^2 - 6t + 4 = 0

• Adım 3: Bu karesel denklemi çözmek için diskriminant yöntemini kullanalım (delta).

  Δ = b^2 - 4ac

  Burada

  a = 1, b = -6, c = 4

  'tür.
• Adım 4:

  Δ = (-6)^2 - 4(1)(4) = 36 - 16 = 20

• Adım 5: Kökleri bulalım:

  t = (-b ± √Δ) / (2a)

  t1 = (6 - √20) / 2 = (6 - 2√5) / 2 = 3 - √5

  t2 = (6 + √20) / 2 = (6 + 2√5) / 2 = 3 + √5

• Adım 6: İlk kez

  5 metre

  yüksekliğe

  t1 = 3 - √5

  saniyede, son kez ise

  t2 = 3 + √5

  saniyede ulaşır.
• Adım 7: Aradaki süre farkı:

  t2 - t1 = (3 + √5) - (3 - √5) = 3 + √5 - 3 + √5 = 2√5

  saniye.

5 metre

• Adım 1: Toplam gelir formülü

  R = Fiyat * Miktar

  yani

  R = P * Q

  'dir.
• Adım 2: Talep fonksiyonunu (

  Q = -2P + 100

  ) gelir formülünde yerine koyalım:

  R(P) = P * (-2P + 100)

• Adım 3: Gelir fonksiyonunu düzenleyelim:

  R(P) = -2P^2 + 100P

  Bu, fiyat

  P

  'ye bağlı bir karesel fonksiyondur.
• Adım 4: Gelirin maksimum olduğu fiyatı bulmak için bu karesel fonksiyonun tepe noktasını hesaplayalım. Fonksiyonumuz

  R(P) = -2P^2 + 100P

  şeklindedir. Burada

  a = -2

  ve

  b = 100

  'tür.
• Adım 5: Tepe noktasının P-koordinatı (yani satış fiyatı):

  P = -b / (2a) = -100 / (2 * -2) = -100 / -4 = 25

  TL.

• Adım 1: Havuzun

  200 litre

  suya ulaştığı anı bulmak için

  V(t) = 200

  denklemini kurmalıyız.
• Adım 2: Denklemi çözelim:

  -3t^2 + 30t + 50 = 200

  -3t^2 + 30t - 150 = 0

• Adım 3: Denklemi sadeleştirelim (her tarafı -3'e bölelim):

  t^2 - 10t + 50 = 0

• Adım 4: Bu karesel denklemin köklerini bulmak için diskriminantı (delta) hesaplayalım.

  Δ = b^2 - 4ac

  Burada

  a = 1, b = -10, c = 50

  'dir.
• Adım 5:

  Δ = (-10)^2 - 4(1)(50) = 100 - 200 = -100

• Adım 6: Diskriminantın negatif olması (

  Δ < 0

  ) bu denklemin reel kökü olmadığı anlamına gelir. Bu durum, havuzun su miktarının hiçbir zaman

  200 litre

  'ye ulaşamayacağını gösterir.

t_tepe = -30 / (2 * -3) = 5

V(5) = -3(5)^2 + 30(5) + 50 = -3(25) + 150 + 50 = -75 + 150 + 50 = 125

200 litre

• Adım 1: Karesel fonksiyonumuz

  h(x) = -x^2 + 8x

  şeklindedir. Bu fonksiyonun tepe noktasının x-koordinatını bulmak için

  x = -b / (2a)

  formülünü kullanırız.
• Adım 2: Fonksiyonda

  a = -1

  ve

  b = 8

  'dir.
• Adım 3: Tepe noktasının x-koordinatı:

  x = -8 / (2 * -1) = -8 / -2 = 4

  metre. Bu, suyun en yüksek noktaya ulaştığı uzaklıktır.
• Adım 4: Suyun ulaşabileceği en yüksek yüksekliği bulmak için bu

  x

  değerini fonksiyonda yerine koyalım:

  h(4) = -(4)^2 + 8(4) = -16 + 32 = 16

  metre.

• Adım 1: Karesel fonksiyonumuz

  d(t) = 2t^2 - 12t + 20

  şeklindedir. Tepe noktasının t-koordinatını bulmak için

  t = -b / (2a)

  formülünü kullanırız.
• Adım 2: Fonksiyonda

  a = 2

  ve

  b = -12

  'dir.
• Adım 3: Tepe noktasının t-koordinatı (zaman):

  t = -(-12) / (2 * 2) = 12 / 4 = 3

  saniye. Bu, kepçenin en az derine indiği andır.
• Adım 4: En az derinliği bulmak için bu

  t

  değerini fonksiyonda yerine koyalım:

  d(3) = 2(3)^2 - 12(3) + 20 = 2(9) - 36 + 20 = 18 - 36 + 20 = 2

  metre.

• Adım 1: Kar fonksiyonumuz

  K(x) = -x^2 + 120x - 1000

  şeklindedir. Maksimum karı bulmak için tepe noktasının x-koordinatını hesaplamalıyız.
• Adım 2: Tepe noktası formülü:

  x = -b / (2a)

  Burada

  a = -1

  ve

  b = 120

  'dir.
• Adım 3: Satış fiyatı (x):

  x = -120 / (2 * -1) = -120 / -2 = 60

  TL.
• Adım 4: Maksimum karı da bulmak istersek, bu değeri fonksiyonda yerine koyabiliriz:

  K(60) = -(60)^2 + 120(60) - 1000 = -3600 + 7200 - 1000 = 2600

  TL.

• Adım 1: Topun potaya ulaştığı anda yerden yüksekliği

  y = 3.5 metre

  olacaktır. Bu değeri denklemde yerine koyalım.
• Adım 2: Denklemi çözelim:

  3.5 = -0.1x^2 + 0.8x + 1.5

• Adım 3: Denklemi düzenleyerek standart karesel denklem formuna getirelim:

  -0.1x^2 + 0.8x + 1.5 - 3.5 = 0

  -0.1x^2 + 0.8x - 2 = 0

• Adım 4: Denklemi daha kolay çözmek için her tarafı -10 ile çarpalım:

  x^2 - 8x + 20 = 0

• Adım 5: Bu karesel denklemin köklerini bulmak için diskriminantı (delta) hesaplayalım.

  Δ = b^2 - 4ac

  Burada

  a = 1, b = -8, c = 20

  'dir.
• Adım 6:

  Δ = (-8)^2 - 4(1)(20) = 64 - 80 = -16

• Adım 7: Diskriminantın negatif olması (

  Δ < 0

  ) bu denklemin reel kökü olmadığını gösterir. Bu, topun izlediği yörüngenin hiçbir zaman

  3.5 metre

  yüksekliğe ulaşamayacağı anlamına gelir.

x_tepe = -b / (2a) = -0.8 / (2 * -0.1) = -0.8 / -0.2 = 4

y(4) = -0.1(4)^2 + 0.8(4) + 1.5 = -0.1(16) + 3.2 + 1.5 = -1.6 + 3.2 + 1.5 = 3.1

• Adım 1: Maliyet fonksiyonumuz

  M(x) = x^2 - 40x + 500

  şeklindedir. Minimum maliyeti bulmak için tepe noktasının x-koordinatını hesaplamalıyız.
• Adım 2: Tepe noktası formülü:

  x = -b / (2a)

  Burada

  a = 1

  ve

  b = -40

  'dir.
• Adım 3: Üretilmesi gereken mal adedi (x):

  x = -(-40) / (2 * 1) = 40 / 2 = 20

  adet.
• Adım 4: Minimum maliyeti de bulmak istersek, bu değeri fonksiyonda yerine koyabiliriz:

  M(20) = (20)^2 - 40(20) + 500 = 400 - 800 + 500 = 100

  TL.