💡 10. Sınıf Matematik: Karesel Fonksiyon Çözümlü Örnekler

• ✅ Fonksiyonumuz \( f(x) = 3x^2 - 5x + 7 \) şeklindedir.
• ✅ \( x = 0 \) yazarsak:
• \[ f(0) = 3(0)^2 - 5(0) + 7 \]
• \[ f(0) = 0 - 0 + 7 \]
• \[ f(0) = 7 \]
• 📌 Yani, fonksiyonun grafiği y-eksenini \( (0, 7) \) noktasında keser.

• ✅ Fonksiyonumuz \( x^2 - 7x + 10 = 0 \) denklemini çözmeliyiz.
• ✅ Bu denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz:
• 📌 Çarpımları 10, toplamları -7 olan iki sayı -2 ve -5'tir.
• \[ (x - 2)(x - 5) = 0 \]
• ✅ Buradan iki olası çözüm çıkar:
• \[ x - 2 = 0 \implies x_1 = 2 \]
• \[ x - 5 = 0 \implies x_2 = 5 \]
• 📌 Dolayısıyla, karesel fonksiyonun grafiği x-eksenini \( x=2 \) ve \( x=5 \) noktalarında keser.

• ✅ \( r = -\frac{b}{2a} \)
• ✅ \( k = f(r) \)

Fonksiyonumuz \( f(x) = -x^2 + 6x - 5 \) olduğundan, \( a = -1 \), \( b = 6 \) ve \( c = -5 \).'tir.

• 1️⃣ Önce \( r \) değerini bulalım:
• \[ r = -\frac{6}{2(-1)} = -\frac{6}{-2} = 3 \]
• 2️⃣ Şimdi de \( k \) değerini bulmak için \( x=r=3 \) değerini fonksiyonda yerine yazalım:
• \[ k = f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 \]
• \[ k = -9 + 18 - 5 \]
• \[ k = 9 - 5 \]
• \[ k = 4 \]
• 📌 Bu durumda, karesel fonksiyonun tepe noktası \( T(3, 4) \)'tür.

• ✅ Fonksiyonumuz \( f(x) = 2x^2 - 8x + 3 \). Burada \( a = 2 \), \( b = -8 \) ve \( c = 3 \).'tür.
• ✅ \( a = 2 \) değeri pozitif olduğundan (\( a > 0 \)), parabolün kolları yukarı doğrudur ve bu fonksiyonun bir en küçük değeri vardır.
• 1️⃣ Önce tepe noktasının apsisini (\( r \)) bulalım:
• \[ r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2(2)} = -\frac{-8}{4} = 2 \]
• 2️⃣ Şimdi de \( k \) değerini bulmak için \( x=r=2 \) değerini fonksiyonda yerine yazalım:
• \[ k = f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 3 \]
• \[ k = 2(4) - 16 + 3 \]
• \[ k = 8 - 16 + 3 \]
• \[ k = -8 + 3 \]
• \[ k = -5 \]
• 📌 Bu fonksiyonun alabileceği en küçük değer \( -5 \)'tir.

• ✅ Verilen nokta \( (1, 7) \) olduğundan, \( x = 1 \) ve \( f(x) = 7 \) (yani \( y = 7 \)) değerlerini fonksiyonda yerine yazmalıyız.
• \[ f(1) = (1)^2 + (m-3)(1) + 5 \]
• ✅ Bu ifadeyi 7'ye eşitleyelim:
• \[ 7 = 1 + m - 3 + 5 \]
• \[ 7 = m + 3 \]
• ✅ Şimdi \( m \) değerini yalnız bırakalım:
• \[ m = 7 - 3 \]
• \[ m = 4 \]
• 📌 Buna göre, \( m \) değeri 4'tür.

• 1️⃣ Bahçenin duvar olmayan iki kenarına \( x \) diyelim. Duvara paralel olan kenar ise \( y \) olsun.
• ✅ Telin uzunluğu \( 2x + y = 24 \) metredir. Buradan \( y = 24 - 2x \) olarak ifade edebiliriz.
• 2️⃣ Bahçenin alanı \( A \) ise, \( A = x \cdot y \) formülüyle bulunur.
• ✅ \( y \) yerine \( 24 - 2x \) yazarsak, alanı \( x \) cinsinden bir fonksiyon olarak elde ederiz:
• \[ A(x) = x(24 - 2x) \]
• \[ A(x) = 24x - 2x^2 \]
• \[ A(x) = -2x^2 + 24x \]
• 3️⃣ Bu, bir karesel fonksiyondur (\( a = -2, b = 24, c = 0 \)). \( a < 0 \) olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur ve bir en büyük değeri vardır. Bu en büyük değer tepe noktasının ordinatıdır.
• ✅ Tepe noktasının apsisi (\( r \)):
• \[ r = -\frac{b}{2a} = -\frac{24}{2(-2)} = -\frac{24}{-4} = 6 \]
• ✅ Yani, bahçenin alanı en büyük olduğunda \( x = 6 \) metre olmalıdır.
• 4️⃣ Şimdi bu \( x \) değerini alan fonksiyonunda yerine yazarak en büyük alanı bulalım:
• \[ A(6) = -2(6)^2 + 24(6) \]
• \[ A(6) = -2(36) + 144 \]
• \[ A(6) = -72 + 144 \]
• \[ A(6) = 72 \]
• 📌 Bahçenin alanı en fazla 72 metrekare olabilir.

• ✅ Fonksiyonumuz \( h(t) = -5t^2 + 20t \). Burada \( a = -5 \), \( b = 20 \) ve \( c = 0 \).'dır.
• ✅ \( a = -5 \) değeri negatif olduğundan (\( a < 0 \)), parabolün kolları aşağı doğrudur ve fonksiyonun bir en büyük değeri vardır.
• 1️⃣ Önce topun en yüksek noktaya ulaştığı zamanı (\( t \), yani tepe noktasının apsisi \( r \)) bulalım:
• \[ r = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2(-5)} = -\frac{20}{-10} = 2 \]
• 📌 Yani top, fırlatıldıktan 2 saniye sonra en yüksek noktaya ulaşır.
• 2️⃣ Şimdi bu \( t=2 \) değerini yükseklik fonksiyonunda yerine yazarak en yüksekliği (tepe noktasının ordinatı \( k \)) bulalım:
• \[ k = h(2) = -5(2)^2 + 20(2) \]
• \[ k = -5(4) + 40 \]
• \[ k = -20 + 40 \]
• \[ k = 20 \]
• 📌 Topun yerden ulaşabileceği en yüksek nokta 20 metredir.

• ✅ Simetri ekseninin formülü \( r = -\frac{b}{2a} \) şeklindedir.
• ✅ Fonksiyonumuz \( f(x) = x^2 + (k-4)x + 9 \). Burada \( a = 1 \), \( b = k-4 \) ve \( c = 9 \).'dur.
• 1️⃣ Simetri ekseni \( x = 1 \) olarak verildiğine göre, \( r = 1 \) olmalıdır:
• \[ 1 = -\frac{k-4}{2(1)} \]
• \[ 1 = -\frac{k-4}{2} \]
• ✅ Denklemi çözerek \( k \) değerini bulalım:
• \[ 2 = -(k-4) \]
• \[ 2 = -k + 4 \]
• \[ k = 4 - 2 \]
• \[ k = 2 \]
• 2️⃣ Şimdi \( k \) değerini fonksiyonda yerine yazarak fonksiyonu tam olarak belirleyelim:
• \[ f(x) = x^2 + (2-4)x + 9 \]
• \[ f(x) = x^2 - 2x + 9 \]
• 3️⃣ Fonksiyonun y-eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x \) yerine 0 yazılır:
• \[ f(0) = (0)^2 - 2(0) + 9 \]
• \[ f(0) = 0 - 0 + 9 \]
• \[ f(0) = 9 \]
• 📌 Fonksiyonun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 9'dur.