🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karesel Fonksiyon Ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karesel Fonksiyon Ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir karesel fonksiyon \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) olarak veriliyor. Bu fonksiyonun tepe noktasının koordinatlarını bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu fonksiyonun tepe noktasını bulmak için tam kareye tamamlama yöntemini veya formülü kullanabiliriz.
- Formül Yöntemi: Karesel bir fonksiyon \( ax^2 + bx + c \) şeklinde ise, tepe noktasının apsisi \( x = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur. Fonksiyonumuzda \( a=1 \), \( b=-4 \) ve \( c=3 \) değerlerini yerine koyalım.
- Apsis: \( x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \)
- Tepe noktasının ordinatını bulmak için bulunan apsis değerini fonksiyonda yerine yazalım: \( f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \)
- Dolayısıyla, fonksiyonun tepe noktası \( (2, -1) \) noktasıdır. ✅
Örnek 2:
\( g(x) = -2x^2 + 8x - 5 \) karesel fonksiyonunun grafiği hangi noktadan geçer? 🤔
Çözüm:
Fonksiyonun grafiğinin geçtiği noktayı bulmak için, bu noktaların koordinatlarının fonksiyonu sağlaması gerekir. Yani, \( y = g(x) \) denklemini sağlayan \( (x, y) \) noktalarıdır.
- Fonksiyonumuz \( g(x) = -2x^2 + 8x - 5 \) şeklindedir.
- Şıkları kontrol ederek veya belirli x değerleri için y değerlerini hesaplayarak bu noktayı bulabiliriz. Örneğin, x=1 için: \( g(1) = -2(1)^2 + 8(1) - 5 = -2 + 8 - 5 = 1 \). Yani \( (1, 1) \) noktası fonksiyonun üzerindedir.
- Başka bir örnek olarak, x=0 için: \( g(0) = -2(0)^2 + 8(0) - 5 = -5 \). Yani \( (0, -5) \) noktası da fonksiyonun üzerindedir.
- Tepe noktasını da hesaplayalım: \( x = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2 \).
- \( g(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 5 = -2(4) + 16 - 5 = -8 + 16 - 5 = 3 \). Tepe noktası \( (2, 3) \) olur.
- Bu bilgilere göre, \( (1, 1) \) noktası fonksiyonun grafiğinden geçen bir noktadır. 👉
Örnek 3:
\( h(x) = (x-3)^2 + 5 \) karesel fonksiyonunun grafiği, \( y = x^2 \) fonksiyonunun grafiğine göre nasıl bir dönüşüm geçirmiştir? 🔄
Çözüm:
Karesel fonksiyonların genel formu \( f(x) = a(x-h)^2 + k \) şeklindedir. Buradaki \( h \) ve \( k \) değerleri grafiğin öteleme miktarını belirtir.
- Verilen fonksiyon \( h(x) = (x-3)^2 + 5 \) şeklindedir.
- Burada \( a=1 \), \( h=3 \) ve \( k=5 \) değerlerini görüyoruz.
- \( h=3 \) değeri, grafiğin x ekseninde sağa doğru 3 birim ötelendiğini gösterir.
- \( k=5 \) değeri ise, grafiğin y ekseninde yukarı doğru 5 birim ötelendiğini gösterir.
- Sonuç olarak, \( y = x^2 \) grafiği, sağa doğru 3 birim ve yukarı doğru 5 birim ötelendiğinde \( h(x) \) fonksiyonunun grafiği elde edilir. ✅
Örnek 4:
Kökleri \( x_1 = -1 \) ve \( x_2 = 3 \) olan ve tepe noktası y ekseni üzerinde bulunan karesel fonksiyonun denklemini bulunuz. 🧐
Çözüm:
Kökleri verilen bir karesel fonksiyonun genel denklemi \( f(x) = a(x-x_1)(x-x_2) \) şeklinde yazılabilir.
- Verilen kökler \( x_1 = -1 \) ve \( x_2 = 3 \) olduğundan, fonksiyonu şu şekilde yazabiliriz: \( f(x) = a(x - (-1))(x - 3) = a(x+1)(x-3) \).
- Fonksiyonun tepe noktasının y ekseni üzerinde olması demek, tepe noktasının apsisinin 0 olması demektir.
- Tepe noktasının apsisi, köklerin ortalamasıdır: \( x_{tepe} = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).
- Burada bir çelişki var. Tepe noktasının y ekseni üzerinde olması için apsisin 0 olması gerekirken, köklerden elde ettiğimiz tepe noktası apsisi 1 çıkıyor. Bu durum, sorunun verilen koşullarıyla çelişmektedir.
- Eğer soru "tepe noktasının x koordinatı 1'dir" şeklinde olsaydı, \( f(x) = a(x+1)(x-3) \) ifadesini \( x=1 \) için \( f(1) \) değerini hesaplayıp, bu değeri tepe noktasının y koordinatı olarak kullanarak a'yı bulabilirdik.
- Ancak soruda "tepe noktası y ekseni üzerinde" denildiği için, bu koşulun sağlanması için köklerin simetrik olması gerekir (örneğin -2 ve 2 gibi). Mevcut köklerle bu durum sağlanamaz. Bu nedenle, verilen koşullarda böyle bir karesel fonksiyon yazılamaz. ❌
Örnek 5:
Bir futbolcu, topa vurduğunda topun izlediği yol bir karesel fonksiyon ile modellenebilir. Topun yerden yüksekliği \( h(t) = -5t^2 + 20t \) denklemi ile veriliyor, burada \( h \) metre cinsinden yükseklik ve \( t \) saniye cinsinden zamandır. Topun ulaşabileceği en yüksek yüksekliği kaç metre olur? ⚽
Çözüm:
Bu problemde, topun izlediği yolun denklemi bir karesel fonksiyondur ve bizden bu fonksiyonun maksimum değerini bulmamız istenmektedir.
- Fonksiyonumuz \( h(t) = -5t^2 + 20t \) şeklindedir. Bu bir karesel fonksiyondur ve grafiği aşağı doğru açılan bir paraboldür (çünkü \( a = -5 < 0 \)).
- Parabolün tepe noktası, fonksiyonun ulaşabileceği en yüksek değeri verir.
- Tepe noktasının \( t \) (zaman) koordinatını bulmak için \( t = -\frac{b}{2a} \) formülünü kullanırız. Burada \( a = -5 \) ve \( b = 20 \) 'dir.
- \( t = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2 \) saniye.
- Şimdi bu \( t \) değerini fonksiyonda yerine koyarak en yüksek yüksekliği bulalım: \( h(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -5(4) + 40 = -20 + 40 = 20 \) metre.
- Dolayısıyla, topun ulaşabileceği en yüksek yükseklik 20 metredir. 🚀
Örnek 6:
Bir dikdörtgen şeklindeki bahçenin çevresi 40 metredir. Bu bahçenin alanının en büyük olması için kenar uzunlukları ne olmalıdır? 🌳
Çözüm:
Bu problemde, çevresi sabit olan bir dikdörtgenin alanının maksimize edilmesi istenmektedir. Bu durum karesel fonksiyonlar ile modellenebilir.
- Dikdörtgenin kenar uzunlukları \( x \) ve \( y \) olsun.
- Çevre formülü: \( 2x + 2y = 40 \). Bu denklemi sadeleştirirsek \( x + y = 20 \) olur.
- Buradan \( y \) cinsinden \( y = 20 - x \) şeklinde yazabiliriz.
- Dikdörtgenin alanı \( A = x \cdot y \) formülü ile verilir.
- \( y \) yerine \( 20 - x \) yazarsak, alan fonksiyonunu \( x \) cinsinden elde ederiz: \( A(x) = x(20 - x) = 20x - x^2 \).
- Bu \( A(x) = -x^2 + 20x \) denklemi, aşağı doğru açılan bir paraboldür. Alanın en büyük olması için bu parabolün tepe noktasını bulmalıyız.
- Tepe noktasının \( x \) koordinatı: \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-1)} = -\frac{20}{-2} = 10 \) metre.
- Şimdi \( y \) değerini bulalım: \( y = 20 - x = 20 - 10 = 10 \) metre.
- Sonuç olarak, alanın en büyük olması için dikdörtgenin kenar uzunlukları 10 metreye 10 metre olmalıdır. Yani bahçe bir kare olmalıdır. 🏞️
Örnek 7:
\( f(x) = 3x^2 - 12x + k \) karesel fonksiyonunun grafiği x eksenine teğet ise, \( k \) kaçtır? 🎯
Çözüm:
Bir karesel fonksiyonun grafiğinin x eksenine teğet olması demek, denklemin sadece bir kökü olması anlamına gelir. Bu durumda, karesel denklemin diskriminantı (Δ) sıfır olmalıdır.
- Karesel fonksiyonun genel denklemi \( ax^2 + bx + c \) şeklindedir.
- Bizim fonksiyonumuzda \( a = 3 \), \( b = -12 \) ve \( c = k \) 'dır.
- Diskriminant formülü \( \Delta = b^2 - 4ac \) 'dir.
- Grafiğin x eksenine teğet olması için \( \Delta = 0 \) olmalıdır.
- Değerleri yerine koyalım: \( (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot k = 0 \)
- \( 144 - 12k = 0 \)
- \( 144 = 12k \)
- \( k = \frac{144}{12} = 12 \)
- Dolayısıyla, \( k \) değeri 12 olmalıdır. ✅
Örnek 8:
\( y = -x^2 + 6x - 5 \) karesel fonksiyonunun grafiğinin tepe noktasının y eksenine olan uzaklığı kaç birimdir? 📏
Çözüm:
Bu soruda, karesel fonksiyonun tepe noktasını bulup, ardından bu noktanın y eksenine olan uzaklığını hesaplamamız gerekiyor.
- Fonksiyonumuz \( y = -x^2 + 6x - 5 \) şeklindedir.
- Tepe noktasının apsisini bulmak için \( x = -\frac{b}{2a} \) formülünü kullanırız. Burada \( a = -1 \) ve \( b = 6 \) 'dır.
- \( x = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3 \).
- Tepe noktasının apsisi 3'tür.
- Y eksenine olan uzaklık, bir noktanın x koordinatının mutlak değerine eşittir.
- Yani, tepe noktasının y eksenine olan uzaklığı \( |3| = 3 \) birimdir.
- (İsteğe bağlı olarak tepe noktasının ordinatını da bulabiliriz: \( y = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4 \). Tepe noktası \( (3, 4) \) olur.) 👉
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karesel-fonksiyon-ve-nitel-ozellikleri/sorular