💡 10. Sınıf Matematik: Karesel Fonksiyon Ve Karekök Fonksiyonu Çözümlü Örnekler

Bu karesel fonksiyonun katsayılarını belirlemek için genel form ile karşılaştırma yaparız.

• Genel form: \( f(x) = ax^2 + bx + c \)
• Verilen fonksiyon: \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \)
• Buradan, \( a \) katsayısı \( x^2 \)'in önündeki sayıdır: \( a = 2 \).
• \( b \) katsayısı \( x \)'in önündeki sayıdır: \( b = -4 \).
• \( c \) katsayısı sabit terimdir: \( c = 1 \).

Sonuç olarak, katsayılar \( a=2 \), \( b=-4 \) ve \( c=1 \)'dir. 💡

Karesel fonksiyonun grafiğini çizmek için verilen \( x \) değerlerini fonksiyonda yerine koyarız.

• \( x = -2 \) için: \( g(-2) = (-2)^2 = 4 \). Nokta: \( (-2, 4) \).
• \( x = -1 \) için: \( g(-1) = (-1)^2 = 1 \). Nokta: \( (-1, 1) \).
• \( x = 0 \) için: \( g(0) = (0)^2 = 0 \). Nokta: \( (0, 0) \).
• \( x = 1 \) için: \( g(1) = (1)^2 = 1 \). Nokta: \( (1, 1) \).
• \( x = 2 \) için: \( g(2) = (2)^2 = 4 \). Nokta: \( (2, 4) \).

Bu noktalar birleştirildiğinde \( y = x^2 \) parabolünün grafiği elde edilir. Bu bir kollar yukarı doğru olan paraboldür. 📈

Karesel fonksiyonun grafiğinin yönü, \( x^2 \)'nin katsayısına bağlıdır. Tepe noktasını bulmak için standart formu kullanırız.

• Fonksiyon: \( h(x) = -x^2 + 3 \). Bu \( h(x) = ax^2 + bx + c \) formundadır ve \( a = -1 \), \( b = 0 \), \( c = 3 \)'tür.
• Grafiğin Yönü: \( x^2 \)'nin katsayısı \( a = -1 \) negatiftir. Bu nedenle, parabolün kolları aşağı doğru bakar. 👇
• Tepe Noktası: Karesel fonksiyonun tepe noktasının koordinatları \( ( -b/(2a), f(-b/(2a)) ) \) formülüyle bulunur.
• \( x \)-koordinatı: \( -b/(2a) = -0/(2 \times -1) = 0 \).
• \( y \)-koordinatı: \( h(0) = -(0)^2 + 3 = 3 \).
• Tepe noktası \( (0, 3) \)'tür.

Yani, grafik aşağı bakar ve tepe noktası \( (0, 3) \)'tür. ✅

Karekök fonksiyonunda verilen \( x \) değerlerinin karekökünü alırız.

• \( x = 0 \) için: \( k(0) = \sqrt{0} = 0 \).
• \( x = 1 \) için: \( k(1) = \sqrt{1} = 1 \).
• \( x = 4 \) için: \( k(4) = \sqrt{4} = 2 \).
• \( x = 9 \) için: \( k(9) = \sqrt{9} = 3 \).

Tanım Kümesi: Karekök içindeki ifade negatif olamaz. Bu nedenle \( x \ge 0 \) olmalıdır. Tanım kümesi \( [0, \infty) \) veya \( \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 0 \} \)'dır. 📌 Görüntü Kümesi: Elde edilen \( k(x) \) değerleri \( 0 \) veya pozitiftir. Görüntü kümesi \( [0, \infty) \) veya \( \{y \in \mathbb{R} \mid y \ge 0 \} \)'dır. 💡

Karekök fonksiyonunun tanımlı olması için kök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir.

• Kök içindeki ifade: \( x-2 \)
• Tanımlılık şartı: \( x-2 \ge 0 \)
• Bu eşitsizliği çözersek: \( x \ge 2 \)

Dolayısıyla, fonksiyonun tanımlı olabilmesi için \( x \) değerleri 2'ye eşit veya 2'den büyük olmalıdır. Bu durum \( [2, \infty) \) aralığı ile ifade edilir. ✅

Bu problemde alan formülünü kullanarak kenar uzunluğunu bulacağız.

• Alan formülü: \( A(x) = x^2 \)
• İstenen alan: \( A(x) = 100 \) metrekare
• Formülde yerine koyalım: \( x^2 = 100 \)
• Her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{x^2} = \sqrt{100} \)
• Bu bize \( |x| = 10 \) sonucunu verir.
• Kenar uzunluğu negatif olamayacağı için \( x = 10 \) metre olmalıdır.

Çiftçinin tarlasının bir kenar uzunluğu 10 metre olmalıdır. 👨‍🌾

Bu soruda, verilen zaman değerini fonksiyonda yerine koyarak yüksekliği hesaplayacağız.

• Yükseklik fonksiyonu: \( h(t) = -5t^2 + 20t \)
• Zaman: \( t = 1 \) saniye
• Fonksiyonda \( t=1 \) değerini yerine koyalım: \( h(1) = -5(1)^2 + 20(1) \)
• Hesaplamayı yapalım: \( h(1) = -5(1) + 20 \)
• \( h(1) = -5 + 20 = 15 \)

Topun havada geçirdiği 1 saniye sonraki yüksekliği 15 metre olur. ⚽

Gelir, satış fiyatı ile satış adedinin çarpımına eşittir.

• Satış fiyatı: \( p \)
• Satış adedi fonksiyonu: \( S(p) = 1000 - 10p \)
• Gelir fonksiyonu \( G(p) \): \( G(p) = p \times S(p) \)
• \( S(p) \) fonksiyonunu yerine koyalım: \( G(p) = p \times (1000 - 10p) \)
• Dağılma özelliğini kullanarak sonucu bulalım: \( G(p) = 1000p - 10p^2 \)

Şirketin aylık toplam gelirini veren gelir fonksiyonu \( G(p) = 1000p - 10p^2 \) şeklindedir. 💰