💡 10. Sınıf Matematik: Karesel Fonksiyon ve Karekök Fonksiyon Çözümlü Örnekler

Fonksiyonun tepe noktasını bulmak için birkaç yöntem kullanabiliriz.

• Birinci Yöntem: Tepe Noktası Formülü
  Karesel bir fonksiyon \( f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklinde ise, tepe noktasının apsisi \( x_0 = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur.
  Bu fonksiyonumuzda \( a=1 \), \( b=-4 \) ve \( c=5 \) değerleridir.
  Apsisi hesaplayalım: \( x_0 = -\frac{-4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2 \).
  Tepe noktasının ordinatını bulmak için bu x değerini fonksiyonda yerine koyarız: \( f(2) = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \).
  Dolayısıyla tepe noktası (2, 1)'dir. ✅
• İkinci Yöntem: Tam Kareye Tamamlama
  Fonksiyonu tam kareye tamamlayarak tepe noktasını bulabiliriz.
  \( f(x) = x^2 - 4x + 5 \)
  \( f(x) = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 5 \)
  \( f(x) = (x-2)^2 + 1 \)
  Bu form \( f(x) = a(x-x_0)^2 + y_0 \) şeklindedir. Buradan tepe noktası \( (x_0, y_0) \) olarak okunur.
  Bu durumda tepe noktası (2, 1)'dir. 👉

Karekök fonksiyonunun içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Yani, karekökün içindeki ifade \( \ge 0 \) olmalıdır.
Fonksiyonumuzda karekökün içi \( x-3 \) ifadesidir.
Bu ifadeyi sıfıra eşit veya büyük olarak ayarlayalım:
\( x-3 \ge 0 \)
Her iki tarafa 3 ekleyelim:
\( x \ge 3 \)
Bu, x'in 3'e eşit veya 3'ten büyük tüm reel sayılar olabileceği anlamına gelir.
Dolayısıyla, tanım kümesi \( [3, \infty) \) aralığıdır. ✅

Tepe noktasının apsisi \( x_0 = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur.
Burada \( a = -1 \) ve \( b = 6 \)'dır.
\( x_0 = -\frac{6}{2 \times (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3 \).
Şimdi bu x değerini fonksiyonda yerine koyarak ordinatı bulalım:
\( h(3) = -(3)^2 + 6(3) - 7 \)
\( h(3) = -9 + 18 - 7 \)
\( h(3) = 9 - 7 = 2 \).
Tepe noktası (3, 2)'dir. 👉

Bir fonksiyonun grafiğinin x eksenini kestiği nokta, fonksiyonun değerinin sıfır olduğu noktadır. Yani \( k(x) = 0 \) olmalıdır.
\( \sqrt{2x+8} = 0 \)
Her iki tarafın karesini alalım:
\( (\sqrt{2x+8})^2 = 0^2 \)
\( 2x+8 = 0 \)
8'i karşı tarafa atalım:
\( 2x = -8 \)
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\( x = -4 \)
Dolayısıyla, fonksiyonun grafiği x eksenini (-4, 0) noktasında keser. ✅

Bu problemde, verimi temsil eden \( V(x) \) karesel fonksiyonunun tepe noktasını bulmamız gerekiyor. Tepe noktasının apsisi, maksimum verimi elde etmek için kullanılması gereken gübre miktarını, ordinüsü ise bu miktar kullanıldığında alınacak maksimum verimi verecektir.
Fonksiyonumuz \( V(x) = -x^2 + 10x + 50 \) şeklindedir. Burada \( a = -1 \), \( b = 10 \) ve \( c = 50 \)'dir.

• Gübre Miktarını Hesaplama (Apsis):
  Tepe noktasının apsisi \( x_0 = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur.
  \( x_0 = -\frac{10}{2 \times (-1)} = -\frac{10}{-2} = 5 \).
  Yani, çiftçi en fazla verimi almak için 5 kg gübre kullanmalıdır. 💡
• Maksimum Verimi Hesaplama (Ordinat):
  Şimdi \( x=5 \) değerini verim fonksiyonunda yerine koyalım:
  \( V(5) = -(5)^2 + 10(5) + 50 \)
  \( V(5) = -25 + 50 + 50 \)
  \( V(5) = 25 + 50 = 75 \).
  Bu durumda çiftçi 75 kg domates verimi alabilir. ✅

Sonuç olarak, çiftçi 5 kg gübre kullanarak 75 kg maksimum verim elde edebilir. 👉

Bu problemi çözmek için karesel fonksiyonun tepe noktasını bulmalıyız. Fonksiyonumuz \( h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4x \) şeklindedir. Burada \( a = -\frac{1}{2} \) ve \( b = 4 \)'tür.

• Maksimum Yüksekliğe Ulaşılan Yatay Yol (Apsis):
  Tepe noktasının apsisi \( x_0 = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur.
  \( x_0 = -\frac{4}{2 \times (-\frac{1}{2})} = -\frac{4}{-1} = 4 \).
  Hareketli, 4 metre yatay yol aldığında maksimum yüksekliğe ulaşacaktır. 📏
• Maksimum Yükseklik (Ordinat):
  Şimdi \( x=4 \) değerini yükseklik fonksiyonunda yerine koyalım:
  \( h(4) = -\frac{1}{2}(4)^2 + 4(4) \)
  \( h(4) = -\frac{1}{2}(16) + 16 \)
  \( h(4) = -8 + 16 = 8 \).
  Hareketlinin ulaşabileceği maksimum yükseklik 8 metredir. ⬆️

Sonuç olarak, hareketli 4 metre yatay yol aldığında 8 metre maksimum yüksekliğe ulaşır. ✅

Bir fonksiyonun tersini bulmak için aşağıdaki adımları izleriz:

• Adım 1: y Değişkenini Kullanma
  Fonksiyonu \( y = \sqrt{x+5} - 2 \) şeklinde yazalım. ✍️
• Adım 2: x ve y Değişkenlerini Değiştirme
  x ve y'nin yerlerini değiştirelim: \( x = \sqrt{y+5} - 2 \). ↔️
• Adım 3: y'yi Yalnız Bırakma
  Şimdi y'yi yalnız bırakmak için denklemi çözelim.
  Önce -2'yi karşı tarafa atalım:
  \( x + 2 = \sqrt{y+5} \)
  Her iki tarafın karesini alalım:
  \( (x+2)^2 = (\sqrt{y+5})^2 \)
  \( (x+2)^2 = y+5 \)
  Şimdi 5'i karşı tarafa atalım:
  \( y = (x+2)^2 - 5 \). ✅

Bu nedenle, \( f(x) \) fonksiyonunun ters fonksiyonu \( f^{-1}(x) = (x+2)^2 - 5 \) olur. 💡 Not: Bu ters fonksiyonun tanım kümesi, orijinal fonksiyonun değer kümesinden gelir. \( f(x) = \sqrt{x+5} - 2 \) fonksiyonunda, \( \sqrt{x+5} \ge 0 \) olduğundan, \( f(x) \ge -2 \) olur. Dolayısıyla ters fonksiyonun tanım kümesi \( [-2, \infty) \)'dir.

Bu problemde hem topun yere düştüğü anı (yüksekliğin sıfır olduğu durum) hem de ulaştığı maksimum yüksekliği bulmamız gerekiyor.
Fonksiyonumuz \( h(t) = -5t^2 + 20t \) şeklindedir. Burada \( a = -5 \) ve \( b = 20 \)'dir.

• Topun Yere Düşme Süresi:
  Top yere düştüğünde yüksekliği sıfır olur, yani \( h(t) = 0 \) olmalıdır.
  \( -5t^2 + 20t = 0 \)
  Ortak çarpan parantezine alalım (t'yi dışarı alabiliriz):
  \( t(-5t + 20) = 0 \)
  Buradan iki olası çözüm elde ederiz:
  1. \( t = 0 \) (Bu, topun başlangıç anıdır.)
  2. \( -5t + 20 = 0 \implies -5t = -20 \implies t = 4 \).
  Dolayısıyla, top 4 saniye sonra yere düşer. ⏱️
• Maksimum Yükseklik:
  Maksimum yüksekliği bulmak için tepe noktasının ordinatını hesaplamalıyız. Öncelikle tepe noktasının apsisini (zamanı) bulalım:
  \( t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \times (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2 \).
  Yani, top 2 saniye sonra maksimum yüksekliğe ulaşır.
  Şimdi bu zamanı yükseklik formülünde yerine koyalım:
  \( h(2) = -5(2)^2 + 20(2) \)
  \( h(2) = -5(4) + 40 \)
  \( h(2) = -20 + 40 = 20 \).
  Topun ulaştığı maksimum yükseklik 20 metredir. ⬆️

Sonuç olarak, top 4 saniye sonra yere düşer ve bu süre zarfında 20 metre maksimum yüksekliğe ulaşır. ✅