💡 10. Sınıf Matematik: Karesel Fonksiyon Konu Anlatımı Ve Örnek Çözümlü Örnekler

✅ Çözüm:

Karesel fonksiyonun genel formu \(f(x) = ax^2 + bx + c\) şeklindedir ve \(a \neq 0\) olmalıdır.

• a) \(f(x) = 3x^2 - 5x + 1\)
  👉 Bu bir karesel fonksiyondur çünkü en yüksek dereceli terimin kuvveti 2'dir ve \(a = 3 \neq 0\)'dır.
  📌 Katsayılar: \(a = 3\), \(b = -5\), \(c = 1\)
• b) \(g(x) = -x^2 + 4\)
  👉 Bu da bir karesel fonksiyondur. \(x\) terimi olmasa da \(b\) katsayısı 0 olabilir. En yüksek dereceli terimin kuvveti 2'dir ve \(a = -1 \neq 0\)'dır.
  📌 Katsayılar: \(a = -1\), \(b = 0\), \(c = 4\)
• c) \(h(x) = 2x - 7\)
  👉 Bu bir karesel fonksiyon değildir. En yüksek dereceli terimin kuvveti 1'dir. Bu bir doğrusal fonksiyondur.
  📌 Katsayılar: Tanımlanamaz (karesel fonksiyon olmadığı için).
• d) \(k(x) = x^3 - 2x^2 + 6\)
  👉 Bu bir karesel fonksiyon değildir. En yüksek dereceli terimin kuvveti 3'tür. Bu bir kübik fonksiyondur.
  📌 Katsayılar: Tanımlanamaz (karesel fonksiyon olmadığı için).

✅ Çözüm:

Bir karesel fonksiyonun tepe noktası \(T(r, k)\) ve simetri ekseni \(x = r\) ile bulunur.

Öncelikle verilen fonksiyondaki \(a, b, c\) katsayılarını belirleyelim:

• \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) olduğundan, \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\).
• 1. Adım: \(r\) değerini bulalım.
  \(r = \frac{-b}{2a}\) formülünü kullanalım.
  \(r = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3\)
• 2. Adım: \(k\) değerini bulalım.
  \(k = f(r)\) yani \(f(3)\) değerini hesaplayalım.
  \(k = f(3) = (3)^2 - 6(3) + 5\)
  \(k = 9 - 18 + 5\)
  \(k = -9 + 5\)
  \(k = -4\)
• 3. Adım: Tepe noktasını ve simetri eksenini yazalım.
  👉 Tepe noktası \(T(r, k)\) olduğundan, \(T(3, -4)\)'tür.
  👉 Simetri ekseni \(x = r\) olduğundan, \(x = 3\) doğrusudur.

✅ Çözüm:

Fonksiyonun \(f(x) = -2x^2 - 4x + 3\) olduğunu görüyoruz. Buradan \(a, b, c\) katsayılarını belirleyelim:

• \(a = -2\), \(b = -4\), \(c = 3\).
• 1. Adım: Parabolün yönünü belirleyelim.
  \(a = -2\) olduğu için \(a < 0\)'dır. Bu durumda parabolün kolları aşağıya doğru açılır.
  💡 Kolları aşağıya doğru açılan bir parabolün bir maksimum değeri vardır.
• 2. Adım: Fonksiyonun maksimum değerini bulalım.
  Maksimum değer, tepe noktasının y-koordinatı olan \(k\) değeridir. Önce \(r\) değerini bulmalıyız.
  \(r = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2 \cdot (-2)} = \frac{4}{-4} = -1\)
  Şimdi \(k = f(r)\) yani \(f(-1)\) değerini hesaplayalım.
  \(k = f(-1) = -2(-1)^2 - 4(-1) + 3\)
  \(k = -2(1) + 4 + 3\)
  \(k = -2 + 4 + 3\)
  \(k = 2 + 3\)
  \(k = 5\)
• Sonuç: Parabolün kolları aşağıya doğrudur ve fonksiyonun alabileceği en büyük değer 5'tir.

✅ Çözüm:

Koordinat eksenlerini kestiği noktaları bulmak için y-eksenini kestiği noktayı ve x-eksenini kestiği noktaları ayrı ayrı inceleyelim.

• 1. Adım: y-eksenini kestiği noktayı bulalım.
  y-eksenini kestiği noktayı bulmak için \(x = 0\) değerini fonksiyonda yerine yazarız.
  \(f(0) = (0)^2 + 2(0) - 8\)
  \(f(0) = -8\)
  👉 Yani parabol y-eksenini \((0, -8)\) noktasında keser.
• 2. Adım: x-eksenini kestiği noktaları bulalım.
  x-eksenini kestiği noktaları bulmak için \(f(x) = 0\) denklemini çözmeliyiz.
  \(x^2 + 2x - 8 = 0\)
  Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlara ayırma yöntemiyle çözebiliriz. Çarpımları \(-8\), toplamları \(2\) olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar \(4\) ve \(-2\)'dir.
  \((x + 4)(x - 2) = 0\)
  Buradan iki farklı kök elde ederiz:
  \(x + 4 = 0 \Rightarrow x_1 = -4\)
  \(x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2\)
  👉 Yani parabol x-eksenini \((-4, 0)\) ve \((2, 0)\) noktalarında keser.

✅ Çözüm:

Tepe noktası bilinen bir karesel fonksiyonun denklemi genellikle \(f(x) = a(x - r)^2 + k\) şeklinde yazılır. Burada \(T(r, k)\) tepe noktasıdır.

• 1. Adım: Tepe noktası formülünü kullanalım.
  Tepe noktası \(T(2, 1)\) verildiğinden, \(r = 2\) ve \(k = 1\)'dir. Bu değerleri formülde yerine yazalım:
  \(f(x) = a(x - 2)^2 + 1\)
• 2. Adım: \(a\) katsayısını bulalım.
  Fonksiyonun \((0, 5)\) noktasından geçtiği bilgisi verilmiş. Bu, \(x = 0\) iken \(f(x) = 5\) demektir. Bu değerleri fonksiyonda yerine yazarak \(a\)'yı bulabiliriz:
  \(5 = a(0 - 2)^2 + 1\)
  \(5 = a(-2)^2 + 1\)
  \(5 = a(4) + 1\)
  \(5 = 4a + 1\)
  \(5 - 1 = 4a\)
  \(4 = 4a\)
  \(a = 1\)
• 3. Adım: Karesel fonksiyonun denklemini yazalım.
  Bulduğumuz \(a = 1\) değerini ilk formülde yerine yazalım:
  \(f(x) = 1(x - 2)^2 + 1\)
  \(f(x) = (x - 2)^2 + 1\)
  Bu ifadeyi açarak \(ax^2 + bx + c\) formuna da getirebiliriz:
  \(f(x) = (x^2 - 4x + 4) + 1\)
  \(f(x) = x^2 - 4x + 5\)

✅ Çözüm:

Topun yerden yüksekliğini veren fonksiyon \(h(t) = -t^2 + 6t\) bir karesel fonksiyondur. Burada \(a = -1\), \(b = 6\), \(c = 0\)'dır.

• 1. Adım: Parabolün yönünü belirleyelim.
  \(a = -1\) olduğu için \(a < 0\)'dır. Bu durumda parabolün kolları aşağıya doğru açılır ve fonksiyonun bir maksimum değeri vardır. Bu maksimum değer, topun ulaşabileceği en yüksek seviyeyi temsil eder.
• 2. Adım: Topun en yüksek seviyeye ulaştığı anı (saniyeyi) bulalım.
  Bu an, tepe noktasının t-koordinatı olan \(r\) değeridir.
  \(r = \frac{-b}{2a} = \frac{-(6)}{2 \cdot (-1)} = \frac{-6}{-2} = 3\)
  👉 Yani top, 3 saniye sonra yerden en yüksek seviyeye ulaşır.
• 3. Adım: Bu andaki topun yerden yüksekliğini (maksimum değeri) bulalım.
  Bu yükseklik, tepe noktasının h-koordinatı olan \(k\) değeridir. Yani \(h(r)\) veya \(h(3)\) değerini bulmalıyız.
  \(k = h(3) = -(3)^2 + 6(3)\)
  \(k = -9 + 18\)
  \(k = 9\)
  👉 Yani topun yerden en yüksek seviyesi 9 metredir.

✅ Çözüm:

Duvar olan kenara paralel olan kenarın uzunluğuna \(y\) diyelim. Diğer iki kenarın uzunluklarına ise \(x\) diyelim. (Duvara dik olan kenarlar).

• 1. Adım: Çevre ve alan denklemlerini yazalım.
  Tel örgü sadece üç kenarı çevireceği için, çevrenin denklemi \(2x + y = 24\) metredir.
  Bahçenin alanı ise \(A = x \cdot y\) metrekaredir.
• 2. Adım: Alan fonksiyonunu tek değişkene bağlı yazalım.
  Çevre denkleminden \(y\)'yi \(x\) cinsinden ifade edelim: \(y = 24 - 2x\).
  Bu ifadeyi alan denkleminde yerine yazalım:
  \(A(x) = x \cdot (24 - 2x)\)
  \(A(x) = 24x - 2x^2\)
  Bu bir karesel fonksiyondur: \(A(x) = -2x^2 + 24x\). Burada \(a = -2\), \(b = 24\), \(c = 0\).
• 3. Adım: Maksimum alanı bulalım.
  \(a = -2\) olduğu için parabolün kolları aşağıya doğru açılır ve fonksiyonun bir maksimum değeri vardır. Bu maksimum değer, bahçenin en büyük alanını verir.
  Önce tepe noktasının \(x\)-koordinatını (\(r\)) bulalım:
  \(r = \frac{-b}{2a} = \frac{-(24)}{2 \cdot (-2)} = \frac{-24}{-4} = 6\)
  Bu \(x\) değeri, bahçenin en büyük alana sahip olması için dik kenarların uzunluğunu gösterir.
  Şimdi bu \(x\) değerini alan fonksiyonunda yerine yazarak maksimum alanı (\(k\)) bulalım:
  \(A(6) = -2(6)^2 + 24(6)\)
  \(A(6) = -2(36) + 144\)
  \(A(6) = -72 + 144\)
  \(A(6) = 72\)
• Sonuç: Çiftçinin oluşturabileceği en büyük alanlı bahçe 72 metrekare olur. (Bu durumda kenar uzunlukları \(x=6\) metre ve \(y = 24 - 2(6) = 12\) metre olur.)

✅ Çözüm:

Üretim maliyetini veren fonksiyon \(M(x) = x^2 - 100x + 3000\) bir karesel fonksiyondur. Burada \(a = 1\), \(b = -100\), \(c = 3000\)'dir.

• 1. Adım: Parabolün yönünü belirleyelim.
  \(a = 1\) olduğu için \(a > 0\)'dır. Bu durumda parabolün kolları yukarıya doğru açılır ve fonksiyonun bir minimum değeri vardır. Bu minimum değer, fabrikanın en az maliyetini temsil eder.
• 2. Adım: Minimum maliyet için üretilmesi gereken ürün sayısını bulalım.
  Bu sayı, tepe noktasının x-koordinatı olan \(r\) değeridir.
  \(r = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-100)}{2 \cdot 1} = \frac{100}{2} = 50\)
  👉 Yani fabrikanın üretim maliyetinin en az olması için günlük 50 adet ürün üretmesi gerekir.
• 3. Adım: Bu durumdaki günlük minimum maliyeti bulalım.
  Bu maliyet, tepe noktasının M-koordinatı olan \(k\) değeridir. Yani \(M(r)\) veya \(M(50)\) değerini bulmalıyız.
  \(k = M(50) = (50)^2 - 100(50) + 3000\)
  \(k = 2500 - 5000 + 3000\)
  \(k = -2500 + 3000\)
  \(k = 500\)
  👉 Yani bu durumda günlük minimum maliyet 500 TL olur.