📄 10. Sınıf Matematik: Karesel Fonksiyon Konu Anlatımı Ve Örnek Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle tepe noktasını bulalım. Karesel fonksiyonumuz \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) şeklindedir. Burada \(a = 1\), \(b = -4\) ve \(c = 3\) değerleridir.
Tepe noktasının apsisi \(r = -\frac{b}{2a}\) formülü ile bulunur:
\(r = -\frac{-4}{2 \times 1} = -\frac{-4}{2} = 2\)
Tepe noktasının ordinatı \(k = f(r)\) yani \(f(2)\) değeri ile bulunur:
\(k = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\)
Bu durumda tepe noktası \(T(2, -1)\) dir.
Şimdi eksenleri kestiği noktaları bulalım:
**Y eksenini kestiği nokta:** \(x = 0\) için \(f(0)\) bulunur.
\(f(0) = (0)^2 - 4(0) + 3 = 3\)
Y eksenini kestiği nokta \((0, 3)\) dir.
**X eksenini kestiği noktalar:** \(f(x) = 0\) denklemini çözerek bulunur.
\(x^2 - 4x + 3 = 0\)
Bu denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz:
\((x - 1)(x - 3) = 0\)
Buradan \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\) ve \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\) bulunur.
X eksenini kestiği noktalar \((1, 0)\) ve \((3, 0)\) dir.
Özetle, tepe noktası \(T(2, -1)\), y eksenini kestiği nokta \((0, 3)\), x eksenini kestiği noktalar \((1, 0)\) ve \((3, 0)\) dir. Bu noktalar işaretlenerek parabol grafiği çizilebilir.

💡 Çözüm Adımları:

Dikdörtgenin kenar uzunlukları \(x\) ve \(y\) olsun.
Çevresi \(2x + 2y = 80\) metre olarak verilmiştir.
Bu denklemden \(2(x + y) = 80\), yani \(x + y = 40\) elde ederiz.
Buradan \(y = 40 - x\) olarak yazabiliriz.
Arazinin alanı \(A(x) = x \times y\) formülü ile bulunur.
\(y\) yerine \(40 - x\) yazarsak, alan fonksiyonunu \(x\) cinsinden ifade etmiş oluruz:
\(A(x) = x(40 - x)\)
\(A(x) = 40x - x^2\)
Bu bir karesel fonksiyondur (\(A(x) = -x^2 + 40x\)). \(a = -1\), \(b = 40\), \(c = 0\).
\(a = -1 < 0\) olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur ve tepe noktasında bir maksimum değeri vardır. Bu maksimum değer, arazinin alabileceği en büyük alanı verir.
Tepe noktasının apsisi \(r = -\frac{b}{2a}\) formülü ile bulunur:
\(r = -\frac{40}{2 \times (-1)} = -\frac{40}{-2} = 20\)
Bu \(x\) değeri, alanı maksimum yapan kenar uzunluğudur.
\(x = 20\) metre olduğunda, \(y = 40 - x = 40 - 20 = 20\) metre olur.
Alan \(A(20) = 20 \times 20 = 400\) metrekare olur.
Dolayısıyla, arazinin alanı en fazla 400 metrekare olabilir. (Bu durumda arazi bir kare şeklinde olur.)

💡 Çözüm Adımları:

Bir fonksiyonun karesel fonksiyon olabilmesi için, en yüksek dereceli terimin kuvveti 2 olmalı ve bu terimin katsayısı sıfırdan farklı olmalıdır.
Verilen fonksiyonda \(x^2\) teriminin katsayısı \((m - 1)\) dir.
Bu katsayının sıfırdan farklı olması gerekir, yani \(m - 1
eq 0\) olmalıdır.
Buradan \(m
eq 1\) sonucuna ulaşırız.
Dolayısıyla, \(m\) değeri 1 olamaz. Eğer \(m = 1\) olursa, \(x^2\) terimi ortadan kalkar ve fonksiyon \(f(x) = 2x - 3\) şeklinde doğrusal bir fonksiyon haline gelir.
Şimdi, \(m = 2\) olması durumunda fonksiyonun \(y\) eksenini kestiği noktayı bulalım.
\(m = 2\) değerini fonksiyonda yerine yazarsak:
\(f(x) = (2 - 1)x^2 + 2x - 3\)
\(f(x) = 1x^2 + 2x - 3\)
\(f(x) = x^2 + 2x - 3\)
Bir fonksiyonun \(y\) eksenini kestiği noktayı bulmak için \(x = 0\) değeri fonksiyonda yerine yazılır:
\(f(0) = (0)^2 + 2(0) - 3 = -3\)
Y eksenini kestiği nokta \((0, -3)\) dir.