💡 10. Sınıf Matematik: Karesel Fonksiyon Grafikleri Ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler

Bu karesel fonksiyonun grafiğini çizmek için şu adımları izleyebiliriz:

• Fonksiyonun Türünü Belirleme: Fonksiyonumuz \( f(x) = ax^2 + bx + c \) formundadır. Burada \( a=1 \), \( b=0 \) ve \( c=-4 \)'tür. \( a > 0 \) olduğu için kollar yukarı doğrudur. ⬆️
• Tepe Noktasını Bulma: Tepe noktasının koordinatları \( (r, k) \) olup, \( r = -\frac{b}{2a} \) ve \( k = f(r) \) formülleriyle bulunur.
• \( r = -\frac{0}{2 \times 1} = 0 \)
• \( k = f(0) = 0^2 - 4 = -4 \)
• Tepe noktası \( (0, -4) \)'tür. 📍
• Kökleri Bulma (x-kesenler): Fonksiyonu sıfıra eşitleyerek kökleri buluruz: \( x^2 - 4 = 0 \).
• \( x^2 = 4 \)
• \( x = 2 \) veya \( x = -2 \)
• Kökler \( (-2, 0) \) ve \( (2, 0) \) noktalarıdır. ✖️
• y-kesenini Bulma: Fonksiyonda \( x=0 \) koyarak y-kesenini buluruz: \( f(0) = 0^2 - 4 = -4 \).
• y-keseni \( (0, -4) \) noktasıdır. Bu aynı zamanda tepe noktasıdır.
• Grafiği Çizme: Bulduğumuz noktaları (tepe noktası, kökler, y-keseni) bir koordinat sistemine işaretleyip kollar yukarı doğru olan bir parabol şeklinde birleştiririz. ✍️

Tepe noktası verilen bir karesel fonksiyonun denklemini yazmak için tepe noktası formunu kullanabiliriz:

\( f(x) = a(x-r)^2 + k \)

Burada \( (r, k) \) tepe noktasının koordinatlarıdır. Bize verilen tepe noktası \( T(3, 5) \), yani \( r=3 \) ve \( k=5 \)'tir.

• Fonksiyonun genel formu: \( f(x) = a(x-3)^2 + 5 \)
• Kolların aşağı doğru olması, \( a \) katsayısının negatif olduğunu gösterir. \( a < 0 \).
• Örneğin, \( a = -1 \) alırsak, fonksiyonumuz \( f(x) = -(x-3)^2 + 5 \) olur.

Simetri Ekseni: Karesel fonksiyonun simetri ekseni, tepe noktasının apsisinden geçen dikey doğrudur. Denklemi \( x = r \) şeklindedir.

• Bu fonksiyon için simetri ekseni \( x = 3 \)'tür. 📏

Bir karesel fonksiyonun grafiğinin x-eksenini kesmemesi, denkleminin reel kökü olmadığı anlamına gelir. ✅

• Karesel fonksiyonlarda kökler, fonksiyonun denkleminin \( ax^2 + bx + c = 0 \) şeklindeki denkleminin çözümleridir.
• Bu denklemin reel köklerinin olup olmadığını belirleyen şey, diskriminanttır (\( \Delta \)).
• Diskriminant formülü: \( \Delta = b^2 - 4ac \).
• Eğer grafik x-eksenini kesmiyorsa, bu şu anlama gelir:
• \( \Delta < 0 \)
• Yani, denklemin reel sayılarda çözümü yoktur. Bu durumda fonksiyonun x-eksenini kesen noktaları (kökleri) bulunmaz.
• Eğer \( a > 0 \) ise, parabol x-ekseninin üstünde kalır. ⬆️
• Eğer \( a < 0 \) ise, parabol x-ekseninin altında kalır. ⬇️

Karesel fonksiyonun alabileceği en küçük veya en büyük değer, tepe noktasının koordinatları ile ilgilidir.

• Fonksiyonumuz \( f(x) = 2x^2 - 8x + 10 \). Burada \( a=2 \), \( b=-8 \) ve \( c=10 \)'dur.
• \( a=2 > 0 \) olduğu için, kollar yukarı doğrudur ve fonksiyonun bir minimum değeri vardır. 📈
• Minimum değeri bulmak için tepe noktasının koordinatlarını hesaplamalıyız.
• Tepe Noktasının Apsisi (r): \( r = -\frac{b}{2a} \)
• \( r = -\frac{-8}{2 \times 2} = -\frac{-8}{4} = 2 \)
• Minimum değer, \( x=2 \) için elde edilir.
• Tepe Noktasının Ordinatı (k) - Minimum Değer: \( k = f(r) = f(2) \)
• \( k = 2(2)^2 - 8(2) + 10 \)
• \( k = 2(4) - 16 + 10 \)
• \( k = 8 - 16 + 10 \)
• \( k = 2 \)

Dolayısıyla, fonksiyonun alabileceği en küçük değer 2'dir ve bu değer \( x=2 \) için elde edilir. 🏆

Bu problemde, okun yerden yüksekliğini veren fonksiyon \( h(t) = -t^2 + 10t \)'dir. Bu bir karesel fonksiyondur ve \( a=-1 \), \( b=10 \), \( c=0 \)'dır.

• En Yüksek Yüksekliği Bulma: \( a=-1 < 0 \) olduğu için, bu karesel fonksiyonun bir maksimum değeri vardır. Bu maksimum değer, okun ulaşabileceği en yüksek yüksekliği temsil eder.
• Maksimum değeri bulmak için tepe noktasının koordinatlarını hesaplarız.
• Tepe Noktasının Apsisi (zaman - t): \( t = -\frac{b}{2a} \)
• \( t = -\frac{10}{2 \times (-1)} = -\frac{10}{-2} = 5 \) saniye
• Ok, 5 saniye sonra en yüksek yüksekliğe ulaşır.
• Tepe Noktasının Ordinatı (yükseklik - h): \( h(5) \)
• \( h(5) = -(5)^2 + 10(5) \)
• \( h(5) = -25 + 50 \)
• \( h(5) = 25 \) metre

Sonuç olarak, okun en fazla ulaşabileceği yükseklik 25 metre'dir ve bu yüksekliğe 5 saniye sonra çıkar. 🚀

Bu problemde, geliri veren fonksiyon \( f(x) = -x^2 + 20x \)'tir. Bu fonksiyonun maksimum değerini bularak en yüksek geliri ve bu geliri sağlayan maliyet (x) değerini bulabiliriz.

• Fonksiyonumuz \( f(x) = -x^2 + 20x \). Burada \( a=-1 \), \( b=20 \) ve \( c=0 \)'dır.
• \( a=-1 < 0 \) olduğu için, bu fonksiyonun bir maksimum değeri vardır.
• Maksimum Geliri Sağlayan Maliyet (x): Tepe noktasının apsisi bize bu değeri verecektir. \( x = -\frac{b}{2a} \)
• \( x = -\frac{20}{2 \times (-1)} = -\frac{20}{-2} = 10 \) TL
• Firma, geliri maksimize etmek için birim ürün başına maliyeti 10 TL olarak belirlemelidir.
• En Yüksek Gelir: Bu maliyet değeriyle elde edilen geliri bulmak için \( x=10 \) değerini fonksiyonda yerine koyarız. \( f(10) \)
• \( f(10) = -(10)^2 + 20(10) \)
• \( f(10) = -100 + 200 \)
• \( f(10) = 100 \) TL

Firma, birim ürün başına maliyeti 10 TL olarak belirlediğinde en yüksek geliri olan 100 TL'yi elde eder. 📈

Bir karesel fonksiyonun grafiğinin kollarının yönünü, \( ax^2 + bx + c \) formundaki \( a \) katsayısı belirler.

• Fonksiyonumuz \( g(x) = -3x^2 + 6x - 1 \).
• Burada \( a = -3 \)'tür.
• Kolların Yönü:
• Eğer \( a > 0 \) ise kollar yukarı doğrudur. ⬆️
• Eğer \( a < 0 \) ise kollar aşağı doğrudur. ⬇️
• Bizim fonksiyonumuzda \( a = -3 < 0 \) olduğu için, grafiğin kolları aşağı doğrudur.
• Tepe Noktasının Konumu: Kolları aşağı doğru olan bir parabolün tepe noktası, grafiğin ulaşabileceği en yüksek noktayı temsil eder. Bu nokta, aynı zamanda fonksiyonun maksimum değerini aldığı noktadır. ⛰️

Karesel fonksiyonların grafikleri, simetri eksenine göre simetriktir. Bu özellik, verilen bilgiyi kullanarak \( f(1) \) değerini bulmamızı sağlar.

• Simetri ekseni \( x = -1 \)'dir.
• Bu şu anlama gelir: Simetri eksenine eşit uzaklıktaki x değerleri için fonksiyonun aldığı değerler eşittir.
• Yani, \( f(-1 - d) = f(-1 + d) \) eşitliği geçerlidir, burada \( d \) pozitif bir sayıdır.
• Bize verilen \( f(-3) = 5 \) bilgisini kullanalım.
• \( x = -3 \) değeri, simetri ekseni \( x = -1 \)'den \( |-3 - (-1)| = |-2| = 2 \) birim uzaklıktadır.
• O halde, simetri ekseninden 2 birim uzaklıktaki diğer x değeri \( x = -1 + 2 = 1 \)'dir.
• Simetri özelliği gereği, \( f(-3) = f(1) \) olmalıdır.
• Bu nedenle, \( f(1) = 5 \)'tir. ✅

Kısacası, \( x=-3 \) ve \( x=1 \) noktaları, \( x=-1 \) simetri eksenine göre birbirinin simetriğidir. Bu yüzden bu noktalardaki fonksiyon değerleri aynıdır. ↔️

Bir karesel fonksiyonun grafiğinin x-eksenine teğet olması, denkleminin özel bir durumunu ifade eder.

• Kökler: Eğer bir parabol x-eksenine teğet ise, bu, parabolün x-eksenini tek bir noktada kestiği anlamına gelir. Bu tek nokta, fonksiyonun çakışık iki kökü olduğu durumdur.
• Diğer bir deyişle, parabolün x-eksenini kestiği noktanın apsisi, fonksiyonun tek reel köküdür.
• Diskriminant (\( \Delta \)): Diskriminant (\( \Delta = b^2 - 4ac \)) denklemin köklerinin doğasını belirler.
• Eğer \( \Delta > 0 \) ise, iki farklı reel kök vardır (parabol x-eksenini iki noktada keser).
• Eğer \( \Delta = 0 \) ise, tek bir reel kök vardır (çakışık iki kök) (parabol x-eksenine teğettir). 🎯
• Eğer \( \Delta < 0 \) ise, reel kök yoktur (parabol x-eksenini kesmez).
• Grafiğin x-eksenine teğet olması durumu, tam olarak diskriminantın sıfır (\( \Delta = 0 \)) olduğu anlamına gelir.

Bu durumda, karesel fonksiyonun denklemi \( ax^2 + bx + c = 0 \) şeklinde yazıldığında, \( b^2 - 4ac = 0 \) olur ve denklemin tek bir reel kökü bulunur. Bu kök, teğet olma noktasının x-koordinatıdır. 💯