🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Kareköklü Sayılar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Kareköklü Sayılar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki kareköklü ifadelerin değerlerini bulunuz:
- \( \sqrt{64} \)
- \( \sqrt{144} \)
- \( \sqrt{0.25} \)
Çözüm:
Bu örnekte, tam kare sayılarının kareköklerini alacağız.
- \( \sqrt{64} \): Hangi sayının karesi 64'tür? Bu sayı 8'dir. Çünkü \( 8^2 = 64 \). Dolayısıyla, \( \sqrt{64} = 8 \). ✅
- \( \sqrt{144} \): Hangi sayının karesi 144'tür? Bu sayı 12'dir. Çünkü \( 12^2 = 144 \). Dolayısıyla, \( \sqrt{144} = 12 \). ✅
- \( \sqrt{0.25} \): Ondalıklı sayının karekökünü almak için, sayıyı kesirli hale getirebiliriz. \( 0.25 = \frac{25}{100} \). Şimdi karekök alalım: \( \sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} = 0.5 \). Dolayısıyla, \( \sqrt{0.25} = 0.5 \). 💡
Örnek 2:
\( \sqrt{18} \) sayısını en sade hale getiriniz.
Çözüm:
Bir kareköklü ifadeyi en sade hale getirmek için, karekök içindeki sayıyı bir tam kare çarpanı ve başka bir sayının çarpımı şeklinde yazarız.
- \( \sqrt{18} \)'i incelersek, 18'in çarpanlarına bakarız. 18 = 9 \times 2. Burada 9 bir tam karedir (\( 3^2 \)).
- Bu durumda, \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} \) yazabiliriz.
- Kareköklü sayılarda çarpma özelliğini kullanarak bunu \( \sqrt{9} \times \sqrt{2} \) şeklinde ayırabiliriz.
- \( \sqrt{9} = 3 \) olduğundan, sonuç \( 3\sqrt{2} \) olur.
Örnek 3:
\( 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - \sqrt{3} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Bu tür işlemlerde, karekök içleri aynı olan terimleri toplar veya çıkarırız. Karekök içleri aynı olduğunda, katsayıları toplar veya çıkarırız.
- Verilen ifade: \( 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - \sqrt{3} \)
- Burada tüm terimlerin karekök kısmı \( \sqrt{3} \) 'tür.
- Katsayıları toplar ve çıkarırız: \( (5 + 2 - 1)\sqrt{3} \)
- Hesaplamayı yaparsak: \( (7 - 1)\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \)
Örnek 4:
\( \sqrt{2} \times \sqrt{8} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Kareköklü sayılarda çarpma işlemi yaparken, kök içindeki sayıları çarpabiliriz.
- Verilen ifade: \( \sqrt{2} \times \sqrt{8} \)
- Kök içlerini çarparsak: \( \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} \)
- \( \sqrt{16} \) tam kare bir sayıdır ve değeri 4'tür, çünkü \( 4^2 = 16 \).
Örnek 5:
\( \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Kareköklü sayılarda bölme işlemi yaparken, kök içindeki sayıları bölebiliriz.
- Verilen ifade: \( \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} \)
- Kök içlerini bölersek: \( \sqrt{\frac{72}{2}} = \sqrt{36} \)
- \( \sqrt{36} \) tam kare bir sayıdır ve değeri 6'dır, çünkü \( 6^2 = 36 \).
Örnek 6:
Bir kenar uzunluğu \( \sqrt{50} \) cm olan kare şeklindeki bir bahçenin etrafına 3 sıra tel çekilecektir. Toplam kaç cm tel gereklidir?
Çözüm:
Bu problemi çözmek için öncelikle karenin çevresini bulmalı, ardından çekilecek tel sayısıyla çarpmalıyız.
- Karenin bir kenar uzunluğu \( a = \sqrt{50} \) cm'dir.
- Karenin çevresi \( Ç = 4a \) formülü ile bulunur.
- Çevre: \( Ç = 4 \\times \sqrt{50} \) cm.
- \( \sqrt{50} \) ifadesini en sade hale getirelim: \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) cm.
- Karenin çevresi \( Ç = 4 \times 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2} \) cm olur.
- Bahçenin etrafına 3 sıra tel çekileceği için, gereken toplam tel uzunluğu: \( 3 \times (20\sqrt{2}) = 60\sqrt{2} \) cm'dir.
Örnek 7:
Bir marangoz, uzunluğu \( \sqrt{75} \) metre olan bir tahtayı eşit uzunlukta 3 parçaya ayırmak istiyor. Her bir parçanın uzunluğu kaç metre olur?
Çözüm:
Bu soruda, toplam uzunluğu parça sayısına bölerek her bir parçanın uzunluğunu bulacağız.
- Toplam tahta uzunluğu \( L = \sqrt{75} \) metredir.
- Tahta 3 eşit parçaya ayrılacaktır.
- Her bir parçanın uzunluğu \( l = \frac{L}{3} \) olacaktır.
- \( l = \frac{\sqrt{75}}{3} \)
- \( \sqrt{75} \) ifadesini en sade hale getirelim: \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \) metre.
- Şimdi bölme işlemini yapalım: \( l = \frac{5\sqrt{3}}{3} \) metre.
Örnek 8:
\( (\sqrt{5} - \sqrt{2}) \\times (\sqrt{5} + \sqrt{2}) \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Bu işlem, iki kare farkı özdeşliğini kullanmamızı gerektirir. İki kare farkı özdeşliği \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) şeklindedir.
- Verilen ifade: \( (\sqrt{5} - \sqrt{2}) \\times (\sqrt{5} + \sqrt{2}) \)
- Burada \( a = \sqrt{5} \) ve \( b = \sqrt{2} \) olarak alabiliriz.
- Özdeşliği uygulayalım: \( (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 \)
- Kare ve karekök birbirini götürür: \( 5 - 2 \)
- Sonucu hesaplayalım: \( 5 - 2 = 3 \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karekoklu-sayilar/sorular