💡 10. Sınıf Matematik: Karekök Çözümlü Örnekler

Karekök, bir sayının karesi olan sayıyı bulma işlemidir. Yani, \( \sqrt{x} = y \) ise \( y \cdot y = x \) demektir. 💡

• a) \( \sqrt{81} \) : Hangi sayının karesi 81 eder? 9'un karesi 81'dir. Çünkü \( 9 \times 9 = 81 \). Bu nedenle, \( \sqrt{81} = 9 \). ✅
• b) \( \sqrt{144} \) : Hangi sayının karesi 144 eder? 12'nin karesi 144'tür. Çünkü \( 12 \times 12 = 144 \). Bu nedenle, \( \sqrt{144} = 12 \). ✅

Reel sayılar kümesinde, bir sayının karesi asla negatif olamaz. Bu nedenle, negatif bir sayının reel sayılarda karekökü yoktur. 🚫

• \( \sqrt{-25} \) : Hangi reel sayının karesi -25 eder? Böyle bir reel sayı yoktur. Çünkü pozitif bir sayının karesi pozitiftir, negatif bir sayının karesi de pozitiftir. 0'ın karesi ise 0'dır. Bu yüzden, \( \sqrt{-25} \) reel sayılarda tanımsızdır. ❌

Karekökün çarpma özelliği şu şekildedir: \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \), burada \( a \ge 0 \) ve \( b \ge 0 \) olmalıdır. 📌

• Verilen ifade: \( \sqrt{36 \times 25} \)
• Özelliği uygulayalım: \( \sqrt{36 \times 25} = \sqrt{36} \times \sqrt{25} \)
• Şimdi karekökleri alalım: \( \sqrt{36} = 6 \) ve \( \sqrt{25} = 5 \)
• Sonucu bulalım: \( 6 \times 5 = 30 \).
• Yani, \( \sqrt{36 \times 25} = 30 \). ✅

Bu özellik, büyük sayıların karekökünü alırken işimizi kolaylaştırır. 👍

Karekökün bölme özelliği şöyledir: \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \), burada \( a \ge 0 \) ve \( b > 0 \) olmalıdır. 💡

• Verilen ifade: \( \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{4}} \)
• Özelliği uygulayalım: \( \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{4}} = \sqrt{\frac{100}{4}} \)
• Kesri bölelim: \( \frac{100}{4} = 25 \)
• Şimdi karekökü alalım: \( \sqrt{25} = 5 \)
• Yani, \( \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{4}} = 5 \). ✅

Bu özellik de işlemleri basitleştirmek için harika bir yoldur. ✨

Bu problemi çözmek için öncelikle tarlanın alanını ve her bir parselin alanını bulup, tarlanın alanını parselin alanına bölmemiz gerekiyor. 📏

• Tarlanın Alanı: Dikdörtgenin alanı = uzun kenar \( \times \) kısa kenar
• Tarlanın Alanı = \( 20 \, \text{m} \times 45 \, \text{m} = 900 \, \text{m}^2 \)
• Her Bir Parselin Alanı: Soruda verilmiş, \( 9 \, \text{m}^2 \).
• Oluşturulabilecek Parsel Sayısı: Tarlanın Alanı / Her Bir Parselin Alanı
• Parsel Sayısı = \( \frac{900 \, \text{m}^2}{9 \, \text{m}^2} = 100 \) adet.
• Şimdi bu sayının karekökünü alarak, her bir parselin kenar uzunluğunu bulabiliriz. Ancak soru parsel sayısını sorduğu için, bu hesaplama yeterlidir. Eğer kenar uzunluğunu sorsaydı, \( \sqrt{9 \, \text{m}^2} = 3 \, \text{m} \) olurdu.
• Sonuç olarak, çiftçi \( 100 \) adet parsel oluşturabilir. ✅

Bu tür problemler, alan hesaplamaları ve karekök bilgisini birleştirir. 🧠

Kare şeklindeki bir yapının taban alanı, bir kenar uzunluğunun karesine eşittir. Yani, Alan = \( \text{kenar} \times \text{kenar} = \text{kenar}^2 \). 📐

• Verilen Taban Alanı = \( 196 \, \text{m}^2 \)
• Bizim bulmamız gereken, bu alanın kareköküdür. Çünkü \( \text{kenar}^2 = 196 \, \text{m}^2 \) ise, kenar = \( \sqrt{196 \, \text{m}^2} \) olur.
• \( \sqrt{196} \) değerini bulalım. Hangi sayının karesi 196'dır?
• \( 10 \times 10 = 100 \)
• \( 15 \times 15 = 225 \)
• Deneyerek veya çarpanlarına ayırarak \( 14 \times 14 = 196 \) olduğunu bulabiliriz.
• Dolayısıyla, binanın tabanının bir kenar uzunluğu \( 14 \) metredir. ✅

Karekök bilgisi, inşaat gibi alanlarda ölçüm ve hesaplamalar için çok önemlidir. 👷‍♂️

Bu tür işlemleri çözmek için, karekök içindeki sayıları olabildiğince dışarı çıkarabilmek adına çarpanlarına ayırmamız gerekir. Hedefimiz, karekök içindeki sayıyı \( a \sqrt{b} \) şeklinde yazmaktır, burada \( b \) en küçük tam sayı olmalıdır. 🌟

• \( \sqrt{50} \): \( 50 = 25 \times 2 \) olduğundan, \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \).
• \( \sqrt{18} \): \( 18 = 9 \times 2 \) olduğundan, \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \).
• \( \sqrt{72} \): \( 72 = 36 \times 2 \) olduğundan, \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \).
• Şimdi bu değerleri orijinal ifadede yerine koyalım: \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 6\sqrt{2} \)
• Karekökleri aynı olan terimleri toplayıp çıkarabiliriz (tıpkı \( x \) gibi düşünebiliriz): \( (5 + 3 - 6)\sqrt{2} \)
• Hesaplamayı yapalım: \( (8 - 6)\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \).
• Yani, \( \sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{72} = 2\sqrt{2} \). ✅

Bu işlem, kareköklerin sadeleştirilmesi ve benzer terimlerin toplanıp çıkarılması prensibini gösterir. 💯

Bu problemi adım adım çözmek için, öncelikle büyük karenin bir kenar uzunluğunu ve küçük karelerin kenar uzunluğunu bulmalıyız. Ardından, kesilip çıkarılan kısımların çevreye etkisini değerlendirmeliyiz. 🧐

• Büyük Karenin Bir Kenar Uzunluğu: \( \sqrt{27} \) cm. Bunu sadeleştirelim: \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} \) cm.
• Küçük Karelerin Alanı: \( 3 \) cm². Bir kenar uzunluğu \( \sqrt{3} \) cm'dir.
• Büyük Karenin Çevresi: \( 4 \times \text{kenar} = 4 \times 3\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \) cm.
• Köşelerden küçük kareler kesildiğinde, her köşeden \( \sqrt{3} \) cm'lik iki kenar kesilir ve yerine \( \sqrt{3} \) cm'lik iki yeni kenar eklenir. Yani, her bir köşeden kesilen kısım, çevrede bir değişiklik yaratmaz! 😮
• Şöyle düşünelim: Bir köşeden \( \sqrt{3} \) cm'lik iki kenarı keserseniz, o köşenin etrafındaki toplam uzunluk \( 2\sqrt{3} \) cm azalır. Ancak, kesilen karenin dış kenarlarından \( \sqrt{3} \) cm'lik iki yeni kenar oluşur. Bu da toplamda \( 2\sqrt{3} \) cm'lik bir ekleme demektir. Net değişim sıfırdır.
• Bu nedenle, kalan kartonun çevresi, orijinal büyük karenin çevresi ile aynı olacaktır.
• Kalan Kartonun Çevresi = \( 12\sqrt{3} \) cm. ✅

Bu tür sorularda, şeklin nasıl değiştiğini ve çevrenin nasıl etkilendiğini dikkatlice analiz etmek önemlidir. 💡