🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karekök rasyonel fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karekök rasyonel fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki rasyonel fonksiyonun tanım kümesini bulunuz:
\[ f(x) = \frac{\sqrt{x-2}}{x-5} \]
\[ f(x) = \frac{\sqrt{x-2}}{x-5} \]
Çözüm:
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için iki şart sağlanmalıdır:
👉 Tanım Kümesi: \( [2, 5) \)
- Paydadaki ifade sıfırdan farklı olmalıdır: \( x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 \)
- Karekök içindeki ifade negatif olmamalıdır: \( x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2 \)
👉 Tanım Kümesi: \( [2, 5) \)
Örnek 2:
Verilen kareköklü rasyonel fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz:
\[ g(x) = \frac{3}{\sqrt{x+4}} \]
\[ g(x) = \frac{3}{\sqrt{x+4}} \]
Çözüm:
Bu fonksiyonun tanımlı olması için karekök içindeki ifadenin pozitif olması gerekir (paydada olduğu için sıfıra eşit olamaz).
✅ Tanım Kümesi: \( (-4, \infty) \)
- Karekök içi pozitif olmalı: \( x+4 > 0 \Rightarrow x > -4 \)
✅ Tanım Kümesi: \( (-4, \infty) \)
Örnek 3:
Aşağıdaki fonksiyonun tanım kümesini bulunuz:
\[ h(x) = \frac{\sqrt{9-x^2}}{x-1} \]
\[ h(x) = \frac{\sqrt{9-x^2}}{x-1} \]
Çözüm:
Fonksiyonun tanımlı olması için iki koşul gereklidir:
💡 Tanım Kümesi: \( [-3, 1) \cup (1, 3] \)
- Karekök içindeki ifade negatif olmamalıdır: \( 9-x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 9 \Rightarrow -3 \le x \le 3 \)
- Payda sıfırdan farklı olmalıdır: \( x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \)
💡 Tanım Kümesi: \( [-3, 1) \cup (1, 3] \)
Örnek 4:
Bir \( k(x) \) rasyonel fonksiyonu şu şekilde tanımlanmıştır:
\[ k(x) = \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{5-x}}{x-3} \]
Bu fonksiyonun tanım kümesi nedir?
\[ k(x) = \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{5-x}}{x-3} \]
Bu fonksiyonun tanım kümesi nedir?
Çözüm:
Fonksiyonun tanımlı olması için üç şartı aynı anda sağlaması gerekir:
📌 Tanım Kümesi: \( [-1, 3) \cup (3, 5] \)
- İlk karekök içi negatif olmamalı: \( x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1 \)
- İkinci karekök içi negatif olmamalı: \( 5-x \ge 0 \Rightarrow x \le 5 \)
- Payda sıfırdan farklı olmalı: \( x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \)
📌 Tanım Kümesi: \( [-1, 3) \cup (3, 5] \)
Örnek 5:
Bir teknoloji firması, geliştirdiği yeni bir yazılımın performansını ölçmek için bir fonksiyon tanımlıyor. Yazılımın işlem gücü \( P(t) \) ile gösteriliyor ve \( t \) zamanı temsil ediyor (saniye cinsinden). Fonksiyon şu şekildedir:
\[ P(t) = \frac{\sqrt{t-10}}{t-15} \]
Bu yazılımın performansının anlamlı olduğu zaman aralığı nedir?
\[ P(t) = \frac{\sqrt{t-10}}{t-15} \]
Bu yazılımın performansının anlamlı olduğu zaman aralığı nedir?
Çözüm:
Yazılımın performansının anlamlı olması için \( P(t) \) fonksiyonunun tanımlı olması gerekir. Bu da şu koşulların sağlanması anlamına gelir:
🚀 Anlamlı Zaman Aralığı: \( [10, 15) \cup (15, \infty) \)
- Karekök içindeki ifade negatif olmamalı: \( t-10 \ge 0 \Rightarrow t \ge 10 \)
- Payda sıfırdan farklı olmalı: \( t-15 \neq 0 \Rightarrow t \neq 15 \)
🚀 Anlamlı Zaman Aralığı: \( [10, 15) \cup (15, \infty) \)
Örnek 6:
Bir mühendis, bir köprünün taşıma kapasitesini hesaplamak için bir model kullanıyor. Kapasite \( C(x) \) ile gösteriliyor ve \( x \) malzemenin kalınlığına bağlı. Model şu şekilde:
\[ C(x) = \frac{\sqrt{x-5}}{x-10} \]
Bu modelin geçerli olduğu malzeme kalınlığı aralığı nedir?
\[ C(x) = \frac{\sqrt{x-5}}{x-10} \]
Bu modelin geçerli olduğu malzeme kalınlığı aralığı nedir?
Çözüm:
Modelin geçerli olması için \( C(x) \) fonksiyonunun tanımlı olması gerekir. Bu da şu koşulların sağlanması anlamına gelir:
🏗️ Geçerli Kalınlık Aralığı: \( [5, 10) \cup (10, \infty) \)
- Karekök içindeki ifade negatif olmamalı: \( x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5 \)
- Payda sıfırdan farklı olmalı: \( x-10 \neq 0 \Rightarrow x \neq 10 \)
🏗️ Geçerli Kalınlık Aralığı: \( [5, 10) \cup (10, \infty) \)
Örnek 7:
Aşağıdaki fonksiyonun tanım kümesini bulunuz:
\[ m(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{16 - x^2}}{x-2} \]
\[ m(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{16 - x^2}}{x-2} \]
Çözüm:
Fonksiyonun tanımlı olması için üç koşul gereklidir:
📊 Tanım Kümesi: \( [-4, -2] \cup (2, 4] \)
- İlk karekök içi negatif olmamalı: \( x^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 4 \Rightarrow x \le -2 \) veya \( x \ge 2 \)
- İkinci karekök içi negatif olmamalı: \( 16 - x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 16 \Rightarrow -4 \le x \le 4 \)
- Payda sıfırdan farklı olmalı: \( x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \)
- \( [-4, -2] \) aralığı
- \( [2, 4] \) aralığı
📊 Tanım Kümesi: \( [-4, -2] \cup (2, 4] \)
Örnek 8:
Bir havayolu şirketi, uçakların yakıt tüketimini hesaplamak için bir model kullanıyor. Yakıt tüketimi \( Y(d) \) ile gösteriliyor ve \( d \) uçuş mesafesine bağlı. Model şu şekilde:
\[ Y(d) = \frac{\sqrt{d-50} - \sqrt{100-d}}{d-75} \]
Bu modelin geçerli olduğu uçuş mesafesi aralığı nedir?
\[ Y(d) = \frac{\sqrt{d-50} - \sqrt{100-d}}{d-75} \]
Bu modelin geçerli olduğu uçuş mesafesi aralığı nedir?
Çözüm:
Modelin geçerli olması için \( Y(d) \) fonksiyonunun tanımlı olması gerekir. Bu da şu koşulların sağlanması anlamına gelir:
✈️ Geçerli Mesafe Aralığı: \( [50, 75) \cup (75, 100] \)
- İlk karekök içi negatif olmamalı: \( d-50 \ge 0 \Rightarrow d \ge 50 \)
- İkinci karekök içi negatif olmamalı: \( 100-d \ge 0 \Rightarrow d \le 100 \)
- Payda sıfırdan farklı olmalı: \( d-75 \neq 0 \Rightarrow d \neq 75 \)
✈️ Geçerli Mesafe Aralığı: \( [50, 75) \cup (75, 100] \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karekok-rasyonel-fonksiyonlar/sorular