🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karekök fonksiyonunun terimleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karekök fonksiyonunun terimleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Soru:
Gerçek sayılarda tanımlı \( f(x) = \sqrt{x-5} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 🔍
Gerçek sayılarda tanımlı \( f(x) = \sqrt{x-5} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 🔍
Çözüm:
Karekök fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için kök içerisindeki ifadenin sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olması gerekir.
- Adım 1: Kök içindeki ifadeyi belirleyelim: \( x-5 \)
- Adım 2: Tanımlı olma şartını yazalım: \( x-5 \ge 0 \)
- Adım 3: Eşitsizliği çözelim: \( x \ge 5 \)
Örnek 2:
Soru:
\( f(x) = \sqrt{2x+4} \) fonksiyonu veriliyor. Buna göre \( f(6) \) değerini hesaplayınız. 🔢
\( f(x) = \sqrt{2x+4} \) fonksiyonu veriliyor. Buna göre \( f(6) \) değerini hesaplayınız. 🔢
Çözüm:
Fonksiyonun belirli bir noktadaki değerini bulmak için \( x \) yerine verilen sayıyı yazarız.
- Adım 1: Fonksiyonda \( x \) gördüğümüz yere \( 6 \) yazalım:
\( f(6) = \sqrt{2 \cdot 6 + 4} \) - Adım 2: Kök içindeki işlemi yapalım:
\( f(6) = \sqrt{12 + 4} \)
\( f(6) = \sqrt{16} \) - Adım 3: Karekök dışına çıkarma işlemini yapalım:
\( \sqrt{16} = 4 \)
Örnek 3:
Soru:
\( f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{10-x} \)
Yukarıda verilen fonksiyonun tanım kümesinde kaç farklı tam sayı değeri vardır? 🤔
\( f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{10-x} \)
Yukarıda verilen fonksiyonun tanım kümesinde kaç farklı tam sayı değeri vardır? 🤔
Çözüm:
İki farklı kareköklü ifadenin toplamı şeklinde verilen fonksiyonlarda, her iki kökün içi de aynı anda sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.
- Adım 1: Birinci kök için şart: \( x-2 \ge 0 \implies x \ge 2 \)
- Adım 2: İkinci kök için şart: \( 10-x \ge 0 \implies 10 \ge x \) yani \( x \le 10 \)
- Adım 3: İki şartı birleştirelim: \( 2 \le x \le 10 \)
- Adım 4: Bu aralıktaki tam sayıları listeleyelim: \( 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \)
Örnek 4:
Soru:
\( f(x) = \sqrt{3x+1} \) fonksiyonu için \( f(a) = 5 \) olduğuna göre \( a \) kaçtır? 💡
\( f(x) = \sqrt{3x+1} \) fonksiyonu için \( f(a) = 5 \) olduğuna göre \( a \) kaçtır? 💡
Çözüm:
Fonksiyonun sonucunu biliyoruz ve girdi değerini (terimini) bulmamız isteniyor.
- Adım 1: Fonksiyonu \( 5 \) sayısına eşitleyelim:
\( \sqrt{3a+1} = 5 \) - Adım 2: Karekökten kurtulmak için her iki tarafın karesini alalım:
\( (\sqrt{3a+1})^2 = 5^2 \)
\( 3a+1 = 25 \) - Adım 3: Denklemi çözelim:
\( 3a = 25 - 1 \)
\( 3a = 24 \)
\( a = 8 \)
Örnek 5:
Soru:
\( f(x) = \frac{\sqrt{x-3}}{x-7} \)
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ⚠️
\( f(x) = \frac{\sqrt{x-3}}{x-7} \)
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ⚠️
Çözüm:
Bu soruda hem karekökün tanım şartını hem de rasyonel ifadenin payda şartını dikkate almalıyız.
- Adım 1: Karekökün içi negatif olamaz:
\( x-3 \ge 0 \implies x \ge 3 \) - Adım 2: Rasyonel ifadede payda sıfır olamaz:
\( x-7 \neq 0 \implies x \neq 7 \) - Adım 3: Bu iki durumu birleştirelim:
\( x \) sayısı \( 3 \) veya daha büyük olmalı, ancak \( 7 \) olmamalıdır.
Örnek 6:
Soru:
Bir cismin serbest düşme hızı \( v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} \) formülü ile hesaplanır. Burada \( g \) yerçekimi ivmesi (yaklaşık \( 10 \) m/s²), \( h \) ise yüksekliktir.
Bir binanın tepesinden bırakılan bir topun hızı yere çarptığında \( 20 \) m/s olduğuna göre, bina kaç metre yüksekliktedir? 🏢🍎
Bir cismin serbest düşme hızı \( v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} \) formülü ile hesaplanır. Burada \( g \) yerçekimi ivmesi (yaklaşık \( 10 \) m/s²), \( h \) ise yüksekliktir.
Bir binanın tepesinden bırakılan bir topun hızı yere çarptığında \( 20 \) m/s olduğuna göre, bina kaç metre yüksekliktedir? 🏢🍎
Çözüm:
Günlük hayatta fizik problemlerinde karekök fonksiyonu sıkça kullanılır.
- Adım 1: Verilenleri formülde yerine koyalım:
\( v = 20 \), \( g = 10 \)
\( 20 = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot h} \) - Adım 2: Denklemi düzenleyelim:
\( 20 = \sqrt{20 \cdot h} \) - Adım 3: Her iki tarafın karesini alarak karekökü yok edelim:
\( 20^2 = (\sqrt{20 \cdot h})^2 \)
\( 400 = 20 \cdot h \) - Adım 4: \( h \) değerini bulalım:
\( h = 400 / 20 = 20 \)
Örnek 7:
Soru:
Bir kenar uzunluğu \( x \) birim olan bir karenin alanı \( A \) birimkaredir. Karenin kenar uzunluğunu alanına bağlı bir fonksiyon olarak ifade edersek \( f(A) = \sqrt{A} \) olur.
Alanı \( 48 \) birimkare olan bir karenin kenar uzunluğu, alanı \( 12 \) birimkare olan bir karenin kenar uzunluğunun kaç katıdır? 📐
Bir kenar uzunluğu \( x \) birim olan bir karenin alanı \( A \) birimkaredir. Karenin kenar uzunluğunu alanına bağlı bir fonksiyon olarak ifade edersek \( f(A) = \sqrt{A} \) olur.
Alanı \( 48 \) birimkare olan bir karenin kenar uzunluğu, alanı \( 12 \) birimkare olan bir karenin kenar uzunluğunun kaç katıdır? 📐
Çözüm:
Yeni nesil sorularda fonksiyonu modellemek ve oranlamak önemlidir.
- Adım 1: Birinci karenin kenarını bulalım:
\( f(48) = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \) - Adım 2: İkinci karenin kenarını bulalım:
\( f(12) = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \) - Adım 3: Birinci kenarı ikinci kenara oranlayalım:
\( \text{Kat} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \) - Adım 4: Sadeleştirme yapalım:
\( \sqrt{3} \)'ler sadeleşir, \( 4 / 2 = 2 \) kalır.
Örnek 8:
Soru:
\( f(x) = \sqrt{x-a} + \sqrt{a-x} + 2x \)
fonksiyonu sadece tek bir \( x \) değeri için tanımlı olduğuna göre, \( f(a) \) değerini \( a \) cinsinden bulunuz. 💎
\( f(x) = \sqrt{x-a} + \sqrt{a-x} + 2x \)
fonksiyonu sadece tek bir \( x \) değeri için tanımlı olduğuna göre, \( f(a) \) değerini \( a \) cinsinden bulunuz. 💎
Çözüm:
Bu soru karekök fonksiyonunun tanım aralığının sınırlarını test eder.
- Adım 1: Tanım şartlarını yazalım:
\( x-a \ge 0 \implies x \ge a \)
\( a-x \ge 0 \implies a \ge x \) - Adım 2: Bu iki şartı sağlayan tek bir durum vardır:
Hem \( x \ge a \) hem de \( x \le a \) olması için \( x = a \) olmalıdır. - Adım 3: Fonksiyonda \( x \) yerine \( a \) yazalım:
\( f(a) = \sqrt{a-a} + \sqrt{a-a} + 2a \)
\( f(a) = \sqrt{0} + \sqrt{0} + 2a \) - Adım 4: İşlemi sonuçlandıralım:
\( f(a) = 0 + 0 + 2a = 2a \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karekok-fonksiyonunun-terimleri/sorular