🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karekök fonksiyonun nitel özellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karekök fonksiyonun nitel özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Karekök fonksiyonu \( f(x) = \sqrt{x} \) için tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bu fonksiyonun tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir.
- Kök içindeki ifade: \( x \)
- Tanım kümesi koşulu: \( x \ge 0 \)
- Bu koşulu sağlayan reel sayılar kümesi: \( [0, \infty) \)
Örnek 2:
💡 Karekök fonksiyonu \( f(x) = \sqrt{x} \) için değer kümesini bulunuz.
Çözüm:
Değer kümesi, fonksiyonun alabileceği \( y \) değerlerinin kümesidir.
- \( f(x) = \sqrt{x} \) ifadesinde, karekökün sonucu her zaman negatif olmayan bir reel sayıdır.
- Yani, \( f(x) \ge 0 \) olmalıdır.
- Bu koşulu sağlayan \( y \) değerleri kümesi: \( [0, \infty) \)
Örnek 3:
💡 Fonksiyonu \( f(x) = \sqrt{x-2} \) için tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
Fonksiyonun tanımlı olması için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
- Kök içindeki ifade: \( x-2 \)
- Tanım kümesi koşulu: \( x-2 \ge 0 \)
- Bu eşitsizliği çözersek: \( x \ge 2 \)
Örnek 4:
💡 Fonksiyonu \( f(x) = \sqrt{4-x} \) için tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir.
- Kök içindeki ifade: \( 4-x \)
- Tanım kümesi koşulu: \( 4-x \ge 0 \)
- Eşitsizliği düzenlersek: \( 4 \ge x \) veya \( x \le 4 \)
Örnek 5:
💡 \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonu hangi aralıkta artandır?
Çözüm:
Karekök fonksiyonunun grafiği incelendiğinde, \( x \) değerleri arttıkça \( y \) değerlerinin de arttığı görülür.
- Fonksiyonun tanım kümesi \( [0, \infty) \) idi.
- Bu tanım kümesi içinde, \( x \) değerleri arttıkça \( \sqrt{x} \) değeri de artar.
Örnek 6:
💡 \( f(x) = -\sqrt{x} \) fonksiyonunun değer kümesi nedir?
Çözüm:
Bu fonksiyon, \( \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre simetriğidir.
- \( \sqrt{x} \) fonksiyonunun değer kümesi \( [0, \infty) \) idi.
- Bu fonksiyonun başına eksi işareti geldiğinde, \( y \) değerleri 0 veya daha küçük olur.
- Yani, \( f(x) \le 0 \) olmalıdır.
Örnek 7:
📐 Bir kenar uzunluğu \( a \) birim olan karenin alanının \( A \) olduğunu biliyoruz. Eğer karenin alanını 4 katına çıkarırsak, yeni kenar uzunluğu ilk kenar uzunluğunun kaç katı olur?
Çözüm:
İlk durumdaki karenin alanı \( A = a^2 \) dir.
- Yeni alan, ilk alanın 4 katı olacağından, yeni alan \( 4A \) olur.
- Yeni kenar uzunluğuna \( a' \) diyelim. Yeni alan \( (a')^2 \) olur.
- Bu durumda: \( (a')^2 = 4A \)
- \( A \) yerine \( a^2 \) yazarsak: \( (a')^2 = 4a^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alırsak (kenar uzunluğu pozitif olmalı): \( a' = \sqrt{4a^2} \)
- \( a' = 2a \)
Örnek 8:
🚗 Bir aracın sürdüğü mesafenin zamana bağlı değişimini gösteren bir grafik düşünelim. Eğer hız sabitse, bu grafik nasıl bir şekil alır ve karekök fonksiyonu ile nasıl bir ilişki kurulabilir?
Çözüm:
Sabit hızla giden bir aracın aldığı yol \( yol = hiz \times zaman \) formülüyle hesaplanır. Eğer hız sabitse, yol zamanla doğrusal olarak artar. Yani grafik bir doğru olur.
- Ancak, eğer aracın kinetik enerjisinin (hareket enerjisi) zamana bağlı değişimini incelersek, bu daha karmaşık bir ilişki ortaya çıkarır.
- Kinetik enerji \( KE = \frac{1}{2}mv^2 \) formülüyle verilir. Burada \( m \) kütle, \( v \) hızdır.
- Eğer kinetik enerji zamana bağlı olarak belirli bir şekilde artıyorsa (örneğin, bir itme kuvvetiyle), hızın zamana bağlı değişimini bulmak için karekök fonksiyonu devreye girebilir.
- Daha basit bir örnek: Bir nesne serbest düşmeye bırakıldığında, yere çarpma hızı \( v = \sqrt{2gh} \) formülüyle bulunur, burada \( g \) yerçekimi ivmesi ve \( h \) düşülen yüksekliktir. Bu durumda hız, düşülen yüksekliğin karekökü ile orantılıdır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karekok-fonksiyonun-nitel-ozellikleri/sorular