🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karekök fonksiyonun nitel özellikleri, karesel fonksiyon Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karekök fonksiyonun nitel özellikleri, karesel fonksiyon Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki karekök ifadelerin değerlerini bulunuz:
a) \( \sqrt{36} \)
b) \( \sqrt{144} \)
c) \( \sqrt{0.25} \)
Çözüm:
Bu soruda, tam kare sayılarla karekök alma işlemini uygulayacağız.
- a) \( \sqrt{36} \): Hangi sayının karesinin 36 olduğunu bulmalıyız. \( 6 \times 6 = 36 \) olduğu için \( \sqrt{36} = 6 \) olur. ✅
- b) \( \sqrt{144} \): Hangi sayının karesinin 144 olduğunu bulmalıyız. \( 12 \times 12 = 144 \) olduğu için \( \sqrt{144} = 12 \) olur. ✅
- c) \( \sqrt{0.25} \): Ondalıklı sayının karesini bulmak yerine, ondalıklı sayıyı kesire çevirebiliriz: \( 0.25 = \frac{25}{100} \). Şimdi karekökünü alalım: \( \sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} = 0.5 \). Alternatif olarak, hangi sayının karesinin 0.25 olduğunu düşünebiliriz: \( 0.5 \times 0.5 = 0.25 \). Dolayısıyla \( \sqrt{0.25} = 0.5 \) olur. ✅
Örnek 2:
\( \sqrt{a^2} \) ifadesinin eşiti nedir? Bu ifadenin sonucu her zaman pozitif midir? Açıklayınız.
Çözüm:
Bu soru, karekök ve kuvvet arasındaki ilişkiyi anlamak için önemlidir.
- Karekök alma işlemi, bir sayının karesini "geri alma" işlemidir. Bu nedenle, \( \sqrt{a^2} \) ifadesi genellikle \( a \) olarak düşünülür. 💡
- Ancak, karekök fonksiyonunun tanım kümesi negatif olmayan reel sayılardır ve sonuçları daima negatif olmayan reel sayılardır (yani pozitif veya sıfır).
- Eğer \( a \) pozitif bir sayı ise, \( a^2 \) pozitif olur ve \( \sqrt{a^2} = a \) olur. Örneğin, \( \sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5 \).
- Eğer \( a \) negatif bir sayı ise, \( a^2 \) pozitif olur. Örneğin, \( a = -5 \) ise, \( a^2 = (-5)^2 = 25 \). Bu durumda \( \sqrt{a^2} = \sqrt{25} = 5 \) olur. Gördüğümüz gibi sonuç \( a \) değil, \( -a \) olmuştur.
- Bu durumu genelleyerek, \( \sqrt{a^2} \) ifadesinin sonucunun her zaman \( a \)'nın mutlak değeri olduğunu söyleyebiliriz. Yani, \( \sqrt{a^2} = |a| \).
- Sonuç olarak, \( \sqrt{a^2} \) ifadesinin sonucu her zaman negatif olmayan bir değerdir. Eğer \( a \) pozitif veya sıfır ise sonuç \( a \)'dır, eğer \( a \) negatif ise sonuç \( -a \)'dır. 👉 Bu nedenle, \( \sqrt{a^2} \) ifadesinin sonucu her zaman pozitif veya sıfırdır, asla negatif olamaz. ✅
Örnek 3:
Verilen \( f(x) = \sqrt{x-3} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
Karekök fonksiyonunun içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir.
- Karekök fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
- Bu durumda, \( x-3 \ge 0 \) olmalıdır.
- Bu eşitsizliği çözersek:
- \( x \ge 3 \)
- Dolayısıyla, \( f(x) = \sqrt{x-3} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi, \( x \)'in 3'e eşit veya 3'ten büyük olduğu tüm reel sayılardır.
- Küme gösterimiyle: \( [3, \infty) \) veya \( \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 3 \} \). 📌
Örnek 4:
\( \sqrt{x^2 - 6x + 9} = 5 \) denklemini sağlayan \( x \) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
Bu denklem, \( \sqrt{a^2} = |a| \) özelliğini kullanmamızı gerektiriyor.
- Öncelikle, kök içindeki ifadeyi tam kare olarak yazalım: \( x^2 - 6x + 9 \) ifadesi, \( (x-3)^2 \) tam karesinin açılımıdır.
- Dolayısıyla denklemimiz \( \sqrt{(x-3)^2} = 5 \) haline gelir.
- \( \sqrt{(x-3)^2} \) ifadesi, \( |x-3| \) olarak yazılır.
- Denklemimiz şimdi \( |x-3| = 5 \) olur.
- Mutlak değer denklemlerini çözerken iki durum söz konusudur:
- Durum 1: \( x-3 = 5 \)
- \( x = 5 + 3 \)
- \( x = 8 \)
- Durum 2: \( x-3 = -5 \)
- \( x = -5 + 3 \)
- \( x = -2 \)
- Bu nedenle, denklemi sağlayan \( x \) değerleri 8 ve -2'dir. ✅
Örnek 5:
Bir kenar uzunluğu \( a \) birim olan bir karenin alanının \( A \) olduğunu biliyoruz. Eğer bu karenin alanını \( \frac{1}{4} \) oranında azaltırsak, yeni oluşan karenin bir kenar uzunluğu ilk karenin bir kenar uzunluğunun kaç katı olur?
Çözüm:
Bu problem, alan ve kenar uzunluğu arasındaki ilişkiyi ve karekök kullanımını içeriyor.
- İlk karenin bir kenar uzunluğu \( a \) ise, alanı \( A = a^2 \) olur.
- Karenin alanı \( \frac{1}{4} \) oranında azaltıldığında, yeni alan \( A_{yeni} = A - \frac{1}{4}A = \frac{3}{4}A \) olur.
- Yeni oluşan karenin bir kenar uzunluğuna \( a_{yeni} \) diyelim. Bu karenin alanı da \( A_{yeni} = (a_{yeni})^2 \) olacaktır.
- Şimdi \( (a_{yeni})^2 = \frac{3}{4}A \) eşitliğini kurabiliriz.
- \( A \) yerine \( a^2 \) yazarsak: \( (a_{yeni})^2 = \frac{3}{4}a^2 \).
- Her iki tarafın karekökünü alarak \( a_{yeni} \) değerini bulalım:
- \( a_{yeni} = \sqrt{\frac{3}{4}a^2} \)
- \( a_{yeni} = \sqrt{\frac{3}{4}} \times \sqrt{a^2} \)
- \( a_{yeni} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} \times |a| \)
- \( a_{yeni} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a \) (Çünkü \( a \) bir kenar uzunluğu olduğu için pozitiftir, \( |a|=a \)).
- Yeni karenin bir kenar uzunluğu, ilk karenin bir kenar uzunluğunun \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) katı olur. 👉 Bu, yaklaşık olarak 0.866 katıdır.
- Yani, alan azaltıldığında kenar uzunluğu da azalır. ✅
Örnek 6:
Bir çiftçi, 100 metrekarelik kare şeklinde bir tarlasının etrafına tel çekmek istiyor. Telin metre fiyatı 20 TL olduğuna göre, bu iş için kaç TL ödemesi gerekir?
Çözüm:
Bu problemde, alan bilgisinden kenar uzunluğunu bulup, sonra çevreyi hesaplayarak maliyeti bulacağız.
- Tarlanın alanı 100 metrekare ve kare şeklinde.
- Kare şeklindeki tarlanın bir kenar uzunluğunu \( a \) ile gösterirsek, alan \( a^2 \) olur.
- Yani, \( a^2 = 100 \, \text{m}^2 \).
- Bir kenar uzunluğunu bulmak için karekök alırız: \( a = \sqrt{100} = 10 \) metre. ✅
- Tarlanın çevresi, bir kenar uzunluğunun 4 katıdır: Çevre \( = 4 \times a = 4 \times 10 = 40 \) metre.
- Telin metre fiyatı 20 TL.
- Toplam maliyet = Çevre \( \times \) Metre Fiyatı
- Toplam maliyet = \( 40 \, \text{metre} \times 20 \, \text{TL/metre} = 800 \) TL.
- Çiftçi, tel çekme işi için 800 TL ödemesi gerekir. 💰
Örnek 7:
Aşağıdaki ifadelerin sonucunu bulunuz:
a) \( \sqrt{81} \)
b) \( \sqrt{121} \)
c) \( \sqrt{169} \)
Çözüm:
Bu sorular, tam kare sayıların karekökünü alma bilgisini pekiştirmek için verilmiştir.
- a) \( \sqrt{81} \): Hangi sayının karesi 81'dir? \( 9 \times 9 = 81 \). Dolayısıyla \( \sqrt{81} = 9 \). ✅
- b) \( \sqrt{121} \): Hangi sayının karesi 121'dir? \( 11 \times 11 = 121 \). Dolayısıyla \( \sqrt{121} = 11 \). ✅
- c) \( \sqrt{169} \): Hangi sayının karesi 169'dur? \( 13 \times 13 = 169 \). Dolayısıyla \( \sqrt{169} = 13 \). ✅
Örnek 8:
\( f(x) = \sqrt{2x+4} \) fonksiyonunun tanım kümesinde olmayan bir tam sayı değeri bulunuz.
Çözüm:
Fonksiyonun tanım kümesi, kök içindeki ifadenin negatif olmamasını gerektirir.
- Kök içindeki ifade \( 2x+4 \) olmalıdır.
- Fonksiyonun tanımlı olması için \( 2x+4 \ge 0 \) olmalıdır.
- Bu eşitsizliği çözersek:
- \( 2x \ge -4 \)
- \( x \ge -2 \)
- Bu, fonksiyonun tanım kümesinin \( x \)'in -2'ye eşit veya -2'den büyük olduğu tüm reel sayılar olduğu anlamına gelir.
- Tanım kümesi \( [-2, \infty) \)'dir.
- Bu kümenin dışında kalan bir tam sayı değeri arıyoruz.
- -2'den küçük olan tam sayılar tanım kümesinde değildir. Örneğin, -3, -4, -5 gibi sayılar.
- Örneğin, \( x = -3 \) için fonksiyon tanımsız olurdu çünkü kök içi \( 2(-3) + 4 = -6 + 4 = -2 \) olurdu ve \( \sqrt{-2} \) reel sayılarda tanımlı değildir. 💡
- Dolayısıyla, tanım kümesinde olmayan bir tam sayı değeri -3'tür. ✅
Örnek 9:
\( \sqrt{x^2} = x \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm:
Bu denklem, \( \sqrt{x^2} = |x| \) özelliğini ve mutlak değerin tanımını anlamayı gerektirir.
- Daha önce öğrendiğimiz gibi, \( \sqrt{x^2} \) her zaman \( |x| \) 'e eşittir.
- Dolayısıyla denklemimiz \( |x| = x \) haline gelir.
- Mutlak değerin tanımına göre:
- Eğer \( x \ge 0 \) ise, \( |x| = x \) olur. Bu durumda denklem \( x = x \) olur ki bu her zaman doğrudur.
- Eğer \( x < 0 \) ise, \( |x| = -x \) olur. Bu durumda denklem \( -x = x \) olur. Bu eşitlik sadece \( x = 0 \) için sağlanır. Ancak biz \( x < 0 \) durumunu inceliyoruz, bu yüzden bu durumda çözüm yoktur.
- Bu analiz sonucunda, \( |x| = x \) denkleminin sağlanması için \( x \)'in sıfırdan büyük veya eşit olması gerektiğini anlıyoruz.
- Dolayısıyla, \( \sqrt{x^2} = x \) denkleminin çözüm kümesi, sıfırdan büyük veya eşit tüm reel sayılardır.
- Küme gösterimiyle: \( [0, \infty) \) veya \( \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 0 \} \). 📌
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karekok-fonksiyonun-nitel-ozellikleri-karesel-fonksiyon/sorular