🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karekök Fonksiyonu Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karekök Fonksiyonu Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda verilen \( f(x) \) fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
\[ f(x) = \sqrt{x - 5} \]
\[ f(x) = \sqrt{x - 5} \]
Çözüm:
Bir karekök fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için, karekök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir. Yani negatif olamaz. 👉
- Bu durumda, \( x - 5 \) ifadesinin sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olması gerekmektedir.
- Eşitsizliği kuralım: \( x - 5 \ge 0 \)
- Eşitsizliği çözelim: Her iki tarafa \( 5 \) eklersek \( x \ge 5 \) elde ederiz.
- Bu, \( x \) değerlerinin \( 5 \) veya \( 5 \)'ten büyük tüm gerçek sayılar olabileceği anlamına gelir.
- Tanım kümesi aralık gösterimiyle şu şekilde ifade edilir: \( [5, \infty) \)
Örnek 2:
Aşağıda verilen \( f(x) \) fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
\[ f(x) = \sqrt{16 - x^2} \]
\[ f(x) = \sqrt{16 - x^2} \]
Çözüm:
Karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekmektedir. 💡
- Yani \( 16 - x^2 \ge 0 \) olmalıdır.
- Bu eşitsizliği çözmek için önce \( 16 - x^2 = 0 \) denkleminin köklerini bulalım.
- \( 16 - x^2 = 0 \implies x^2 = 16 \)
- Buradan \( x = 4 \) veya \( x = -4 \) köklerini elde ederiz.
- Şimdi bir işaret tablosu oluşturalım veya parabolün kollarını düşünelim. \( -x^2 \) ifadesi olduğu için parabolün kolları aşağıya doğrudur. Kökler \( -4 \) ve \( 4 \) olduğundan, parabol bu kökler arasında pozitif değerler alır.
- İşaret tablosu:
- \( x < -4 \) için, örneğin \( x = -5 \): \( 16 - (-5)^2 = 16 - 25 = -9 < 0 \) (negatif)
- \( -4 \le x \le 4 \) için, örneğin \( x = 0 \): \( 16 - 0^2 = 16 > 0 \) (pozitif)
- \( x > 4 \) için, örneğin \( x = 5 \): \( 16 - 5^2 = 16 - 25 = -9 < 0 \) (negatif)
- Bizim istediğimiz \( 16 - x^2 \ge 0 \) olduğu için, \( x \) değerleri \( -4 \) ile \( 4 \) arasında olmalıdır (bu değerler dahil).
- Tanım kümesi aralık gösterimiyle: \( [-4, 4] \)
Örnek 3:
\( f(x) = \sqrt{3x + 1} \) fonksiyonu veriliyor.
a) \( f(5) \) değerini bulunuz.
b) \( f(x) = 4 \) denklemini sağlayan \( x \) değerini bulunuz.
a) \( f(5) \) değerini bulunuz.
b) \( f(x) = 4 \) denklemini sağlayan \( x \) değerini bulunuz.
Çözüm:
Bu örnekte hem fonksiyonun değerini hesaplayacak hem de basit bir denklem çözeceğiz. 🎯
a) \( f(5) \) değerini bulma:
a) \( f(5) \) değerini bulma:
- Fonksiyonda \( x \) yerine \( 5 \) yazalım: \( f(5) = \sqrt{3 \cdot 5 + 1} \)
- Kök içindeki işlemi yapalım: \( f(5) = \sqrt{15 + 1} \)
- Sonucu bulalım: \( f(5) = \sqrt{16} \)
- \( f(5) = 4 \)
- Fonksiyonu \( 4 \)'e eşitleyelim: \( \sqrt{3x + 1} = 4 \)
- Karekökten kurtulmak için her iki tarafın karesini alalım: \( (\sqrt{3x + 1})^2 = 4^2 \)
- Bu durumda \( 3x + 1 = 16 \) olur.
- \( 1 \)'i karşıya atalım: \( 3x = 16 - 1 \)
- \( 3x = 15 \)
- Her iki tarafı \( 3 \)'e bölelim: \( x = \frac{15}{3} \)
- \( x = 5 \)
Örnek 4:
Aşağıda verilen \( f(x) \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
\[ f(x) = \sqrt{x - 2} + \sqrt{7 - x} \]
\[ f(x) = \sqrt{x - 2} + \sqrt{7 - x} \]
Çözüm:
Birden fazla karekök içeren fonksiyonlarda, her bir karekökün ayrı ayrı tanımlı olması gerekir. 📌 Yani her bir karekökün içindeki ifade sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.
- Birinci karekök için: \( x - 2 \ge 0 \) olmalıdır.
- Eşitsizliği çözersek: \( x \ge 2 \)
- Bu, \( x \in [2, \infty) \) anlamına gelir.
- İkinci karekök için: \( 7 - x \ge 0 \) olmalıdır.
- Eşitsizliği çözersek: \( 7 \ge x \) veya \( x \le 7 \)
- Bu, \( x \in (-\infty, 7] \) anlamına gelir.
- Fonksiyonun tamamının tanımlı olabilmesi için, her iki eşitsizliğin de aynı anda sağlanması gerekir. Yani bu iki tanım kümesinin kesişimini almalıyız.
- \( [2, \infty) \cap (-\infty, 7] \)
- Bu kesişim aralığı \( [2, 7] \) olarak bulunur.
Örnek 5:
Aşağıda verilen \( f(x) \) fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
\[ f(x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 1}} \]
\[ f(x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 1}} \]
Çözüm:
Karekök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekmektedir. Ayrıca, paydanın sıfır olmaması gerekir. ⚠️
- Yani \( \frac{x + 3}{x - 1} \ge 0 \) olmalıdır.
- Bu tür kesirli eşitsizlikleri çözmek için kökleri bulup işaret tablosu yaparız.
- Payın kökü: \( x + 3 = 0 \implies x = -3 \)
- Paydanın kökü: \( x - 1 = 0 \implies x = 1 \) (Payda sıfır olamayacağı için \( x = 1 \) değeri tanım kümesine dahil edilmez.)
- Şimdi işaret tablosunu oluşturalım:
- \( x < -3 \) için, örneğin \( x = -4 \): \( \frac{-4 + 3}{-4 - 1} = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5} > 0 \) (pozitif)
- \( -3 < x < 1 \) için, örneğin \( x = 0 \): \( \frac{0 + 3}{0 - 1} = \frac{3}{-1} = -3 < 0 \) (negatif)
- \( x > 1 \) için, örneğin \( x = 2 \): \( \frac{2 + 3}{2 - 1} = \frac{5}{1} = 5 > 0 \) (pozitif)
- Biz \( \frac{x + 3}{x - 1} \ge 0 \) olmasını istediğimiz için, pozitif olan aralıkları ve payı sıfır yapan değeri alırız.
- \( x \le -3 \) veya \( x > 1 \)
- Tanım kümesi aralık gösterimiyle: \( (-\infty, -3] \cup (1, \infty) \)
Örnek 6:
Bir bahçenin kare şeklindeki bir bölümünün bir kenar uzunluğu \( ( \sqrt{2x - 6} + 2 ) \) metre olarak verilmiştir. Bu bahçe bölümünün çevresi en az kaç metredir?
Çözüm:
Bu bir yeni nesil problemidir, çünkü fonksiyonun tanım kümesi ile geometrik bir kavramı birleştiriyor. 🌳
- Kare şeklindeki bir bölümün kenar uzunluğu \( a = \sqrt{2x - 6} + 2 \) metredir.
- Bir uzunluk negatif olamayacağı için, \( \sqrt{2x - 6} \) ifadesinin tanımlı olması gerekir.
- Karekök içindeki ifade sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır: \( 2x - 6 \ge 0 \)
- Eşitsizliği çözelim: \( 2x \ge 6 \implies x \ge 3 \)
- Bu durumda \( x \) en küçük \( 3 \) değerini alabilir.
- Kareköklü ifadenin alabileceği en küçük değer \( \sqrt{0} = 0 \) olduğundan, kenar uzunluğu \( a \) en küçük değerini \( x = 3 \) iken alır.
- \( x = 3 \) için kenar uzunluğu: \( a = \sqrt{2 \cdot 3 - 6} + 2 = \sqrt{6 - 6} + 2 = \sqrt{0} + 2 = 0 + 2 = 2 \) metredir.
- Bir karenin çevresi \( 4a \) formülüyle bulunur.
- Karenin çevresi en az \( 4 \cdot 2 = 8 \) metredir.
Örnek 7:
Bir şirketin yeni geliştirdiği bir ürünün aylık üretim maliyeti (TL cinsinden), üretilen ürün adedi \( n \) olmak üzere, \( M(n) = 100 + 5\sqrt{n + 4} \) fonksiyonu ile modellenmektedir. Bu şirketin bir ayda en fazla \( 150 \) TL üretim maliyeti olmasını istediği biliniyorsa, bu koşulda üretilebilecek en fazla ürün adedi kaçtır?
Çözüm:
Bu problem, karekök fonksiyonunun bir maliyet modelinde nasıl kullanıldığını gösteren bir yeni nesil örneğidir. 💰
- Maliyet fonksiyonu: \( M(n) = 100 + 5\sqrt{n + 4} \)
- İstenen maliyet: \( M(n) \le 150 \) TL
- Eşitsizliği kuralım: \( 100 + 5\sqrt{n + 4} \le 150 \)
- \( 100 \)'ü sağ tarafa atalım: \( 5\sqrt{n + 4} \le 150 - 100 \)
- \( 5\sqrt{n + 4} \le 50 \)
- Her iki tarafı \( 5 \)'e bölelim: \( \sqrt{n + 4} \le 10 \)
- Eşitsizliğin her iki tarafının karesini alalım (sayılar pozitif olduğu için eşitsizlik yön değiştirmez): \( (\sqrt{n + 4})^2 \le 10^2 \)
- \( n + 4 \le 100 \)
- \( 4 \)'ü sağ tarafa atalım: \( n \le 100 - 4 \)
- \( n \le 96 \)
- Ayrıca, \( n \) bir ürün adedi olduğu için negatif olamaz (\( n \ge 0 \)) ve karekök içindeki ifadenin de tanımlı olması gerekir: \( n + 4 \ge 0 \implies n \ge -4 \). Bu iki koşul ve \( n \) bir doğal sayı olduğu için, en küçük \( n \) değeri \( 0 \) olur.
- Bu durumda, \( 0 \le n \le 96 \) aralığında ürün üretilebilir.
Örnek 8:
Bir cismin boşlukta (hava sürtünmesi ihmal edilerek) \( h \) metre yükseklikten serbest düşme süresi \( t \) saniye olarak aşağıdaki formülle hesaplanmaktadır:
\[ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \] Burada \( g \), yer çekimi ivmesi olup yaklaşık olarak \( 10 \) m/s\( ^2 \) alınacaktır.
Bir top \( 45 \) metre yükseklikten serbest bırakılırsa, yere ulaşma süresi kaç saniye olur?
\[ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \] Burada \( g \), yer çekimi ivmesi olup yaklaşık olarak \( 10 \) m/s\( ^2 \) alınacaktır.
Bir top \( 45 \) metre yükseklikten serbest bırakılırsa, yere ulaşma süresi kaç saniye olur?
Çözüm:
Bu örnek, karekök fonksiyonunun fizikteki günlük hayat uygulamalarından birini göstermektedir. 🌍
- Verilen formül: \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \)
- Yükseklik \( h = 45 \) metre.
- Yer çekimi ivmesi \( g = 10 \) m/s\( ^2 \).
- Bu değerleri formülde yerine yazalım:
- \( t = \sqrt{\frac{2 \cdot 45}{10}} \)
- Öncelikle karekök içindeki çarpma işlemini yapalım: \( 2 \cdot 45 = 90 \)
- \( t = \sqrt{\frac{90}{10}} \)
- Şimdi bölme işlemini yapalım: \( \frac{90}{10} = 9 \)
- \( t = \sqrt{9} \)
- Karekökünü alalım: \( t = 3 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karekok-fonksiyonu/sorular