🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karekök fonksiyonlarin nitel ve nicel özellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karekök fonksiyonlarin nitel ve nicel özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki karekök ifadelerin değerlerini bulunuz:
a) \( \sqrt{36} \)
b) \( \sqrt{121} \)
c) \( \sqrt{0.04} \)
a) \( \sqrt{36} \)
b) \( \sqrt{121} \)
c) \( \sqrt{0.04} \)
Çözüm:
Karekök alma işlemi, sayının kendisiyle çarpıldığında o sayıyı veren pozitif sayıyı bulmaktır. 💡
- a) \( \sqrt{36} \): Hangi sayının karesi 36'dır? 6'nın. Çünkü \( 6 \times 6 = 36 \). Bu nedenle, \( \sqrt{36} = 6 \). ✅
- b) \( \sqrt{121} \): Hangi sayının karesi 121'dir? 11'in. Çünkü \( 11 \times 11 = 121 \). Bu nedenle, \( \sqrt{121} = 11 \). ✅
- c) \( \sqrt{0.04} \): Ondalıklı sayılarda karekök alırken, sayının karekökünü alıp ondalık virgülün yerini ona göre ayarlayabiliriz. 0.04'ün karekökü 0.2'dir. Çünkü \( 0.2 \times 0.2 = 0.04 \). Bu nedenle, \( \sqrt{0.04} = 0.2 \). ✅
Örnek 2:
\( \sqrt{a} = 7 \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözüm:
Karekök fonksiyonunun tanımını kullanarak \( a \) değerini bulabiliriz. 🤔
- Verilen denklem: \( \sqrt{a} = 7 \)
Her iki tarafın karesini alarak karekökten kurtulabiliriz. - \( (\sqrt{a})^2 = 7^2 \)
Bu da \( a = 49 \) sonucunu verir. ✅
Örnek 3:
\( \sqrt{50} \) ifadesini en sade şekilde yazınız.
Çözüm:
Bir karekökü en sade hale getirmek için, karekök içindeki sayının tam kare çarpanlarını dışarı çıkarmamız gerekir. 🚀
- \( \sqrt{50} \) ifadesinde, 50'yi tam kare çarpanlarına ayırırız. 50 = \( 25 \times 2 \).
- Şimdi ifadeyi şu şekilde yazabiliriz: \( \sqrt{25 \times 2} \).
- Karekökün çarpma özelliğini kullanarak bunu \( \sqrt{25} \times \sqrt{2} \) şeklinde ayırabiliriz.
- \( \sqrt{25} = 5 \) olduğundan, sonuç \( 5\sqrt{2} \) olur. ✅
Örnek 4:
\( \sqrt{72} + \sqrt{18} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Toplama veya çıkarma yapmadan önce, karekök içindeki ifadeleri en sade hale getirmeliyiz. ➕➖
- Önce \( \sqrt{72} \) ifadesini sadeleştirelim: \( 72 = 36 \times 2 \). Dolayısıyla, \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \).
- Şimdi \( \sqrt{18} \) ifadesini sadeleştirelim: \( 18 = 9 \times 2 \). Dolayısıyla, \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \).
- Şimdi ifadeleri toplayabiliriz: \( 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \).
- Katsayıları toplarız: \( (6+3)\sqrt{2} = 9\sqrt{2} \). ✅
Örnek 5:
Bir kenar uzunluğu \( x \) cm olan karenin alanı \( 45 \) cm²'dir. Bu karenin çevresinin uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda, karenin alanından kenar uzunluğunu bulup ardından çevresini hesaplayacağız. 📐
- Karenin alanı \( A = x^2 \) formülü ile bulunur.
- Bize alanın \( 45 \) cm² olduğu verilmiş. Yani, \( x^2 = 45 \).
- Kenar uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alırız: \( x = \sqrt{45} \).
- \( \sqrt{45} \) ifadesini sadeleştirelim: \( 45 = 9 \times 5 \). Dolayısıyla, \( x = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5} \) cm.
- Karenin çevresi \( Ç = 4x \) formülü ile bulunur.
- Kenar uzunluğunu yerine koyarsak: \( Ç = 4 \times (3\sqrt{5}) = 12\sqrt{5} \) cm. ✅
Örnek 6:
Bir çiftçi, bahçesinin bir kenarını \( \sqrt{200} \) metre uzunluğunda bir çit ile çevirmek istiyor. Çiftçinin kullanacağı çitin uzunluğunu en sade şekilde hesaplayınız.
Çözüm:
Günlük hayatta, uzunlukları ifade ederken veya hesaplarken kareköklerin sadeleştirilmiş halleri daha kullanışlı olabilir. 🧑🌾
- Çitin uzunluğu \( \sqrt{200} \) metredir.
- Bu ifadeyi en sade hale getirelim. 200'ün çarpanlarından biri tam kare olmalıdır. 200 = \( 100 \times 2 \).
- \( \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} \).
- Karekökün çarpma özelliğini kullanarak \( \sqrt{100} \times \sqrt{2} \) şeklinde ayırırız.
- \( \sqrt{100} = 10 \) olduğundan, çitin uzunluğu \( 10\sqrt{2} \) metredir. ✅
Örnek 7:
\( \sqrt{a^2} = |a| \) olduğunu biliyoruz. \( \sqrt{(-5)^2} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Negatif sayıların karesinin karekökü alınırken mutlak değer kavramı devreye girer. Bu, karekökün her zaman pozitif bir sonuç vermesini sağlar. 🧐
- Verilen ifade: \( \sqrt{(-5)^2} \).
- Önce parantez içini hesaplayalım: \( (-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25 \).
- Şimdi ifade \( \sqrt{25} \) olur.
- \( \sqrt{25} = 5 \). ✅
- Alternatif olarak, \( \sqrt{a^2} = |a| \) kuralını doğrudan kullanabiliriz. Burada \( a = -5 \).
- Bu durumda, \( \sqrt{(-5)^2} = |-5| \).
- Mutlak değer, sayının sıfıra olan uzaklığıdır ve her zaman pozitiftir. Dolayısıyla, \( |-5| = 5 \). ✅
Örnek 8:
Bir teknoloji mağazasında, bir tabletin ekran boyutu \( \sqrt{100} \) inçtir. Bu ekranın alanını (yaklaşık olarak) hesaplamak için önce ekranın kenar uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Ekran boyutları genellikle köşegen uzunluğu olarak verilir, ancak burada bir kare ekran varsayımıyla ilerleyerek alan hesaplaması yapacağız. 📱
- Ekranın köşegen uzunluğu \( d = \sqrt{100} \) inç olarak verilmiş.
- \( \sqrt{100} = 10 \) inç.
- Eğer ekran kare şeklinde olsaydı, köşegen uzunluğu \( d = a\sqrt{2} \) olurdu, burada \( a \) kenar uzunluğudur.
- Bu durumda, \( 10 = a\sqrt{2} \).
- Kenar uzunluğunu bulmak için her iki tarafı \( \sqrt{2} \) ye böleriz: \( a = \frac{10}{\sqrt{2}} \).
- Paydayı rasyonel yapmak için \( \sqrt{2} \) ile çarparız: \( a = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \) inç.
- Karenin alanı \( A = a^2 \) formülü ile bulunur.
- \( A = (5\sqrt{2})^2 = 5^2 \times (\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50 \) inç kare. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karekok-fonksiyonlarin-nitel-ve-nicel-ozellikleri/sorular