📄 10. Sınıf Matematik: Karekök fonksiyonlarin nitel ve nicel özellikleri Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bir karekök fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir. Bu fonksiyonda iki ayrı karekök ifadesi bulunmaktadır. Her iki ifadenin de ayrı ayrı tanımlı olması gerekmektedir.

1. \( \sqrt{x-2} \) ifadesi için: \( x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2 \).

2. \( \sqrt{6-x} \) ifadesi için: \( 6-x \ge 0 \Rightarrow 6 \ge x \Rightarrow x \le 6 \).

Her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerektiği için, bu iki eşitsizliğin kesişimini almalıyız.

\( x \ge 2 \) ve \( x \le 6 \) koşullarını birleştirirsek \( 2 \le x \le 6 \) elde ederiz.

Bu nedenle, fonksiyonun en geniş tanım kümesi \( [2, 6] \) kapalı aralığıdır.

💡 Çözüm Adımları:

Denklemi çözmek için her iki tarafın karesini almalıyız:

\( (\sqrt{x+3})^2 = (x-3)^2 \)

\( x+3 = x^2 - 6x + 9 \)

Tüm terimleri bir tarafa toplayarak ikinci dereceden bir denklem elde ederiz:

\( x^2 - 7x + 6 = 0 \)

Bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz:

\( (x-1)(x-6) = 0 \)

Buradan \( x_1 = 1 \) ve \( x_2 = 6 \) aday çözümlerini buluruz.

Ancak karekök denklemlerinde, kök dışına çıkan ifadenin (burada \( x-3 \)) negatif olmaması gerektiğini ve kök içindeki ifadenin (burada \( x+3 \)) negatif olmaması gerektiğini kontrol etmeliyiz.

Kontrol edelim:

1. \( x+3 \ge 0 \) olmalı.

2. \( x-3 \ge 0 \) olmalı (çünkü \( \sqrt{x+3} \ge 0 \) olduğundan, \( x-3 \) de \( \ge 0 \) olmalıdır).

Şimdi aday çözümleri bu koşullara göre test edelim:

* \( x = 1 \) için:

* \( x+3 = 1+3 = 4 \ge 0 \) (sağlar)

* \( x-3 = 1-3 = -2 \) (sağlamaz, çünkü \( -2 < 0 \)). Bu durumda \( \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 \) iken \( x-3 = -2 \) olur, \( 2 = -2 \) yanlış bir ifadedir. Dolayısıyla \( x=1 \) çözüm kümesine dahil değildir.

* \( x = 6 \) için:

* \( x+3 = 6+3 = 9 \ge 0 \) (sağlar)

* \( x-3 = 6-3 = 3 \ge 0 \) (sağlar). Bu durumda \( \sqrt{6+3} = \sqrt{9} = 3 \) iken \( x-3 = 3 \) olur, \( 3 = 3 \) doğru bir ifadedir. Dolayısıyla \( x=6 \) çözüm kümesine dahildir.

Bu nedenle, denklemin çözüm kümesi \( \{6\} \) dir.

💡 Çözüm Adımları:

Tanım Kümesi:

Karekök içindeki ifade \( x-1 \) sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır:

\( x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1 \).

Bu durumda fonksiyonun tanım kümesi \( [1, \infty) \) aralığıdır.



Görüntü Kümesi:

\( \sqrt{x-1} \) ifadesi daima sıfırdan büyük veya eşit değerler alır (yani \( \sqrt{x-1} \ge 0 \)).

Fonksiyon \( f(x) = \sqrt{x-1} + 3 \) olduğuna göre, \( f(x) \ge 0 + 3 \) yani \( f(x) \ge 3 \) olacaktır.

Bu durumda fonksiyonun görüntü kümesi \( [3, \infty) \) aralığıdır.



Grafik Özellikleri ve Çizimi:

Bu fonksiyonun grafiği, temel \( y = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiğinin dönüşümleriyle elde edilir.

1. \( y = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiği başlangıç noktası \( (0,0) \) olan ve sağa doğru artarak giden bir eğridir.

2. \( y = \sqrt{x-1} \) ifadesi, \( y = \sqrt{x} \) grafiğinin \( x \)-ekseni boyunca 1 birim sağa ötelenmiş halidir. Bu durumda başlangıç noktası \( (1,0) \) olur.

3. \( y = \sqrt{x-1} + 3 \) ifadesi ise, \( y = \sqrt{x-1} \) grafiğinin \( y \)-ekseni boyunca 3 birim yukarı ötelenmiş halidir. Bu durumda başlangıç noktası \( (1,0) \) noktasından \( (1,3) \) noktasına kayar.

Grafik, \( (1,3) \) noktasından başlayıp sağa doğru artarak giden bir eğri olacaktır.

Bazı noktaları belirleyelim:

* \( x=1 \) için \( f(1) = \sqrt{1-1} + 3 = 0 + 3 = 3 \). (Başlangıç noktası: \( (1,3) \))

* \( x=2 \) için \( f(2) = \sqrt{2-1} + 3 = \sqrt{1} + 3 = 1 + 3 = 4 \). (Nokta: \( (2,4) \))

* \( x=5 \) için \( f(5) = \sqrt{5-1} + 3 = \sqrt{4} + 3 = 2 + 3 = 5 \). (Nokta: \( (5,5) \))

Bu noktaları birleştirerek \( (1,3) \) noktasından başlayan ve sağa doğru yukarıya doğru kıvrılan bir eğri elde edilir.