🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karekök fonksiyonları Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karekök fonksiyonları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki karekök alma işlemlerini yapınız:
- \( \sqrt{36} \)
- \( \sqrt{144} \)
- \( \sqrt{0.25} \)
Çözüm:
Bu örnekte, tam kare sayılarla karekök alma işlemleri gösterilmektedir. 💡
- \( \sqrt{36} \): Hangi sayının karesi 36'dır? 6'nın karesi 36'dır. Dolayısıyla, \( \sqrt{36} = 6 \). ✅
- \( \sqrt{144} \): Hangi sayının karesi 144'tür? 12'nin karesi 144'tür. Dolayısıyla, \( \sqrt{144} = 12 \). ✅
- \( \sqrt{0.25} \): Ondalık sayının karekökünü almak için, sayıyı kesirli hale getirebiliriz: \( \sqrt{0.25} = \sqrt{\frac{25}{100}} \). Şimdi payın ve paydanın karekökünü alalım: \( \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} = 0.5 \). Dolayısıyla, \( \sqrt{0.25} = 0.5 \). ✅
Örnek 2:
\( \sqrt{a^2} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm:
Karekök alma işlemi, bir sayının karesini yok eder. 📌
- \( \sqrt{a^2} \) ifadesi, a sayısının mutlak değerine eşittir. Yani, \( \sqrt{a^2} = |a| \).
- Bunun nedeni, karekökün pozitif sonucu vermesidir. Eğer a negatif ise, karesi pozitif olur ve karekökü de pozitif bir değer verir. Örneğin, \( \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3| \). ✅
Örnek 3:
Aşağıdaki işlemleri basitleştiriniz: \( \sqrt{50} + \sqrt{18} \)
Çözüm:
Bu tür toplama işlemleri için, karekök içindeki sayıları ortak bir çarpanın karekökü şeklinde yazmamız gerekir. 👉
- Öncelikle, \( \sqrt{50} \) sayısını basitleştirelim. 50'yi çarpanlarına ayırıp tam kare bir çarpan bulalım: \( 50 = 25 \times 2 \). O halde, \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \). ✅
- Şimdi, \( \sqrt{18} \) sayısını basitleştirelim. 18'i çarpanlarına ayıralım: \( 18 = 9 \times 2 \). O halde, \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \). ✅
- Şimdi bu iki ifadeyi toplayabiliriz: \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \). Karekök kısımları aynı olduğu için katsayıları toplayabiliriz: \( (5+3)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \). ✅
Örnek 4:
\( \sqrt{72 \times 8} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Karekök alma özelliklerini kullanarak bu işlemi kolayca çözebiliriz. 💡
- Karekök alma özelliğine göre, \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \). Bu özelliği kullanarak işlemi şu şekilde yazabiliriz: \( \sqrt{72 \times 8} = \sqrt{72} \times \sqrt{8} \).
- Ancak, önce çarpma işlemini yaparak da çözebiliriz: \( 72 \times 8 = 576 \).
- Şimdi \( \sqrt{576} \) işlemini yapalım. 576'nın karekökü 24'tür. Yani, \( \sqrt{576} = 24 \). ✅
- Alternatif olarak, \( \sqrt{72} \) ve \( \sqrt{8} \) sayılarını basitleştirebiliriz:
- \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \)
- \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \)
- Şimdi bu basitleştirilmiş ifadeleri çarpalım: \( 6\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = (6 \times 2) \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) = 12 \times 2 = 24 \). ✅
Örnek 5:
Bir kenar uzunluğu \( \sqrt{128} \) cm olan kare şeklindeki bir bahçenin etrafına 3 sıra tel çekilecektir. Toplam kaç cm tel gereklidir?
Çözüm:
Bu problemde, karenin çevresini hesaplayıp ardından tel sayısıyla çarpmamız gerekiyor. 🤔
- Öncelikle, karenin bir kenar uzunluğunu basitleştirelim: \( \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{64} \times \sqrt{2} = 8\sqrt{2} \) cm. ✅
- Karenin çevresi, bir kenar uzunluğunun 4 katıdır: Çevre = \( 4 \times 8\sqrt{2} = 32\sqrt{2} \) cm. ✅
- Bahçenin etrafına 3 sıra tel çekileceği için, toplam tel uzunluğu çevrenin 3 katı olacaktır: Toplam Tel = \( 3 \times 32\sqrt{2} = 96\sqrt{2} \) cm. ✅
Örnek 6:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelini tasarlarken \( \sqrt{200} \) metrekarelik bir alan kullanacaktır. Bu alanın bir kenar uzunluğu kaç metredir?
Çözüm:
Bu soruda, kare şeklindeki bir alanın kenar uzunluğunu bulmak için karekök alma işlemini kullanacağız. 🏗️
- Alan \( A = a^2 \) formülüyle verilir, burada A alan ve a kenar uzunluğudur.
- Bize verilen alan \( A = \sqrt{200} \) metrekaredir.
- Kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü almalıyız: \( a = \sqrt{A} = \sqrt{\sqrt{200}} \).
- Bu ifadeyi daha basit hale getirelim. \( \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2} \).
- Şimdi \( a = \sqrt{10\sqrt{2}} \) oldu. Bu ifadeyi daha da basitleştirmek için üslü sayılar kullanabiliriz: \( a = (10 \times 2^{1/2})^{1/2} = 10^{1/2} \times (2^{1/2})^{1/2} = \sqrt{10} \times 2^{1/4} \).
- Ancak, soruda muhtemelen alanın kendisi \( 200 \) metrekare olması istenmiştir. Eğer alan \( 200 \) metrekare ise: \( a = \sqrt{200} \).
- \( \sqrt{200} \) sayısını basitleştirelim: \( \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2} \) metre. ✅
Örnek 7:
\( \frac{\sqrt{48} + \sqrt{75}}{\sqrt{12}} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda, paydaki ve paydadaki kareköklü ifadeleri basitleştirerek işlemi çözebiliriz. 🤓
- Öncelikle paydaki ifadeleri basitleştirelim:
- \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} \) ✅
- \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \) ✅
- Payın toplamını hesaplayalım: \( 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \).
- Şimdi paydadaki ifadeyi basitleştirelim:
- \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \) ✅
- Şimdi kesri oluşturalım: \( \frac{9\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \).
- \( \sqrt{3} \) terimleri sadeleşir: \( \frac{9}{2} \). ✅
Örnek 8:
Bir fotoğrafçı, bir posteri \( \sqrt{72} \) cm genişliğinde ve \( \sqrt{50} \) cm yüksekliğinde hazırlayacaktır. Posterin alanını metrekare cinsinden hesaplayınız. (1 m = 100 cm)
Çözüm:
Bu problemde, posterin alanını santimetrekare cinsinden hesaplayıp ardından metrekareye çevirmemiz gerekiyor. 🖼️
- Öncelikle posterin genişliğini ve yüksekliğini basitleştirelim:
- Genişlik: \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \) cm ✅
- Yükseklik: \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \) cm ✅
- Posterin alanını santimetrekare cinsinden hesaplayalım: Alan = Genişlik \( \times \) Yükseklik
- Alan = \( (6\sqrt{2}) \times (5\sqrt{2}) = (6 \times 5) \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) = 30 \times 2 = 60 \) cm². ✅
- Şimdi alanı metrekareye çevirelim. Bilindiği gibi 1 m = 100 cm'dir. O halde 1 m² = (100 cm)² = 10000 cm²'dir.
- Alanı metrekareye çevirmek için 10000'e böleriz: Alan (m²) = \( \frac{60}{10000} = 0.006 \) m². ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karekok-fonksiyonlari/sorular