💡 10. Sınıf Matematik: Karekök fonksiyonları, fonksiyonların tersleri, denklem ve eşitsizlikler, sayma-algoritma, iki nokta arası uzaklık, doğru parçasını belli oranda bölme, doğrunun analitiği Çözümlü Örnekler

Karekök fonksiyonlarının tanım kümesini bulurken dikkat etmemiz gereken en önemli kural, kök içerisindeki ifadenin negatif olmamasıdır.

• Karekökün derecesi çift (2) olduğu için: \( x - 5 \ge 0 \) olmalıdır.
• Buradan eşitsizliği çözersek: \( x \ge 5 \) sonucuna ulaşırız.
• Bu durumda x değerleri \( 5, 6, 7, ... \) gibi değerler alabilir.
• x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri ✅ 5 olarak bulunur.

Bir fonksiyonun tersini bulmak için adım adım şu işlemleri uygularız:

• Adım 1: Fonksiyonu \( y \) değişkenine eşitleyelim:
  \( y = 3x - 12 \)
• Adım 2: Denklemde \( x \) değişkenini yalnız bırakalım:
  \( y + 12 = 3x \)
• Adım 3: Her iki tarafı 3'e bölelim:
  \[ x = \frac{y + 12}{3} \]
• Adım 4: Son olarak \( x \) yerine \( f^{-1}(x) \), \( y \) yerine ise \( x \) yazalım:
  ✅ \[ f^{-1}(x) = \frac{x + 12}{3} \]

Denklemi çarpanlara ayırma yöntemi ile çözelim:

• Denklemi \( (x - a)(x - b) = 0 \) formuna getirmeliyiz.
• Çarpımları 10, toplamları -7 olan iki sayı bulalım: Bu sayılar -2 ve -5'tir.
• Denklem şu şekilde yazılır: \( (x - 2)(x - 5) = 0 \)
• Buradan her bir çarpanı sıfıra eşitleriz:
• \( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
• \( x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \)
• ✅ Çözüm Kümesi: \( \{2, 5\} \)

Bu bir sıralama (permütasyon) problemidir.

• Toplam kitap sayısı: \( 4 + 3 = 7 \) tanedir.
• \( n \) tane farklı nesne yan yana \( n! \) kadar farklı şekilde sıralanır.
• Bu durumda 7 kitap: \( 7! \) şeklinde dizilir.
• İşlemi açarsak: \( 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \)
• ✅ Sonuç: 5040 farklı dizilim yapılabilir.

İki nokta arası uzaklık formülünü kullanalım:

• Formül: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
• Verilenleri yerine koyalım: \( x_1 = 2, y_1 = 3, x_2 = 5, y_2 = 7 \)
• \[ d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} \]
• \[ d = \sqrt{3^2 + 4^2} \]
• \[ d = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} \]
• ✅ Uzaklık: 5 birim olarak bulunur.

Noktalar arasındaki artış miktarını oranlayarak çözelim:

• Toplam oran: \( 2k + 3k = 5k \) birimdir.
• x koordinatı için: 1'den 11'e artış \( 11 - 1 = 10 \) birimdir.
  \( 5k = 10 \) ise \( k = 2 \) olur.
  \( AC = 2k = 4 \) birim artmalı.
  \( x = 1 + 4 = 5 \)
• y koordinatı için: 2'den 17'ye artış \( 17 - 2 = 15 \) birimdir.
  \( 5k = 15 \) ise \( k = 3 \) olur.
  \( AC = 2k = 6 \) birim artmalı.
  \( y = 2 + 6 = 8 \)
• ✅ C noktasının koordinatları: (5, 8) olur.

İki noktası bilinen doğrunun eğim formülü \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) şeklindedir.

• Noktalarımız: \( A(-1, 4) \) ve \( B(2, 10) \)
• \( x_1 = -1, y_1 = 4 \)
• \( x_2 = 2, y_2 = 10 \)
• Değerleri yerine yazalım:
  \[ m = \frac{10 - 4}{2 - (-1)} \]
• \[ m = \frac{6}{2 + 1} = \frac{6}{3} \]
• ✅ Doğrunun eğimi: 2 olarak bulunur.

Bu durum doğrusal bir fonksiyon ile ifade edilebilir:

• Sabit ücret (başlangıç): 20 TL
• Değişken ücret (km başına): 10 TL
• Denklem: \( y = 10x + 20 \)
• 15 km yol gidildiğinde \( x = 15 \) olur.
• \( y = 10 \times 15 + 20 \)
• \( y = 150 + 20 \)
• ✅ Ödenecek tutar: 170 TL olarak hesaplanır.