🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karekök Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karekök Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir fonksiyon \( f(x) = \sqrt{x-2} \) olarak tanımlanmıştır. Bu fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bu tür kareköklü ifadelerde, karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Yani, karekökün içi sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmalıdır.
- Adım 1: Karekök içindeki ifadeyi belirleyelim: \( x-2 \).
- Adım 2: Karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerektiğini biliyoruz. O halde, \( x-2 \ge 0 \) eşitsizliğini kurarız.
- Adım 3: Eşitsizliği çözelim: \( x \ge 2 \).
- Adım 4: Elde ettiğimiz sonucu küme gösterimiyle ifade edelim. Tanım kümesi, 2'den başlayıp sonsuza kadar giden tüm reel sayıları içerir.
Örnek 2:
\( g(x) = \sqrt{4-x} + \sqrt{x-1} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözüm:
Bir fonksiyonda birden fazla kareköklü ifade varsa, her bir karekökün içinin ayrı ayrı negatif olmaması gerekir. Bu durumda, her iki koşulu da sağlayan değerler fonksiyonun tanım kümesini oluşturur.
- Adım 1: Birinci karekök için koşulu belirleyelim: \( 4-x \ge 0 \). Bu eşitsizlikten \( x \le 4 \) elde ederiz.
- Adım 2: İkinci karekök için koşulu belirleyelim: \( x-1 \ge 0 \). Bu eşitsizlikten \( x \ge 1 \) elde ederiz.
- Adım 3: Her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan \( x \) değerlerini bulalım. Hem \( x \le 4 \) hem de \( x \ge 1 \) olmalıdır.
Örnek 3:
\( h(x) = \sqrt{2x-6} \) fonksiyonunun grafiği hangi bölgede yer alır?
Çözüm:
Bir fonksiyonun grafiğinin hangi bölgede yer aldığını anlamak için tanım kümesini ve değer kümesini incelememiz gerekir.
- Adım 1: Fonksiyonun tanım kümesini bulalım. Karekökün içi negatif olamaz: \( 2x-6 \ge 0 \). Buradan \( 2x \ge 6 \) ve \( x \ge 3 \) elde ederiz.
- Adım 2: Fonksiyonun değer kümesini inceleyelim. Karekök fonksiyonunun sonucu her zaman pozitif veya sıfırdır. Yani, \( h(x) \ge 0 \) olmalıdır.
- Adım 3: Elde ettiğimiz tanım ve değer kümelerini koordinat düzleminde düşünelim. \( x \ge 3 \) ve \( y \ge 0 \) koşulları, grafiğin sadece I. ve IV. bölgelerde (x ekseninin üstünde) yer alabileceğini gösterir.
Örnek 4:
Bir çiftçi, tarlasının \( A = \sqrt{x^2 - 4x + 4} \) metrekarelik alanına mısır ekmeyi planlamaktadır. Çiftçinin tarlasının alanı için \( x \ge 2 \) olduğuna göre, mısır ekilecek alanın minimum kaç metrekare olacağını hesaplayınız.
Çözüm:
Bu soruda, karekök içindeki ifadenin tam kare olup olmadığını kontrol etmek önemlidir.
- Adım 1: Karekök içindeki ifadeyi inceleyelim: \( x^2 - 4x + 4 \). Bu ifade, \( (x-2)^2 \) tam karesine eşittir.
- Adım 2: Fonksiyonu yeniden yazalım: \( A = \sqrt{(x-2)^2} \).
- Adım 3: Karekök ve karekökün birbirini götürmesi kuralını hatırlayalım: \( \sqrt{a^2} = |a| \). Bu durumda, \( A = |x-2| \) olur.
- Adım 4: Soruda verilen \( x \ge 2 \) koşulunu kullanalım. Eğer \( x \ge 2 \) ise, \( x-2 \ge 0 \) olur. Bu durumda mutlak değer \( |x-2| = x-2 \) olarak çıkar.
- Adım 5: Alan formülümüz \( A = x-2 \) haline gelir. Bu ifadenin minimum değerini bulmak için \( x \)'in alabileceği en küçük değeri kullanmalıyız. Soruda \( x \ge 2 \) verildiği için, \( x \)'in alabileceği en küçük değer 2'dir.
- Adım 6: \( x=2 \) değerini alanda yerine koyalım: \( A = 2 - 2 = 0 \).
Örnek 5:
Bir kenarının uzunluğu \( a \) olan karenin alanı \( a^2 \) dir. Karenin alanından kenar uzunluğunu bulmak için karekök fonksiyonu kullanılır. Eğer bir karenin alanı 36 metrekare ise, bu karenin bir kenar uzunluğu kaç metredir?
Çözüm:
Karenin alanından kenar uzunluğunu bulma işlemi, karekök fonksiyonunun temel uygulamalarından biridir.
- Adım 1: Karenin alanı \( A \) ve bir kenar uzunluğu \( a \) arasındaki ilişkiyi hatırlayalım: \( A = a^2 \).
- Adım 2: Kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü almamız gerektiğini biliyoruz: \( a = \sqrt{A} \).
- Adım 3: Soruda verilen alanı kullanalım: \( A = 36 \) metrekare.
- Adım 4: Kenar uzunluğunu hesaplayalım: \( a = \sqrt{36} \).
- Adım 5: Karekök işlemini yapalım: \( \sqrt{36} = 6 \).
Örnek 6:
\( f(x) = \sqrt{x+1} \) ve \( g(x) = \sqrt{3-x} \) fonksiyonları veriliyor. \( f(x) \) ve \( g(x) \) fonksiyonlarının aynı anda tanımlı olduğu \( x \) değerleri için \( x \)'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz.
Çözüm:
İki fonksiyonun aynı anda tanımlı olması demek, her iki fonksiyonun da tanım kümelerinin kesişiminde yer alan \( x \) değerlerini bulmak demektir.
- Adım 1: \( f(x) \) fonksiyonunun tanım kümesini belirleyelim. Karekök içi negatif olamaz: \( x+1 \ge 0 \implies x \ge -1 \).
- Adım 2: \( g(x) \) fonksiyonunun tanım kümesini belirleyelim. Karekök içi negatif olamaz: \( 3-x \ge 0 \implies x \le 3 \).
- Adım 3: Her iki koşulu da sağlayan \( x \) değerlerini bulalım. Hem \( x \ge -1 \) hem de \( x \le 3 \) olmalıdır. Bu durum \( -1 \le x \le 3 \) aralığını verir.
- Adım 4: Bu aralıkta yer alan tam sayıları belirleyelim: -1, 0, 1, 2, 3.
- Adım 5: Bu tam sayıları toplayalım: \( (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 \).
Örnek 7:
\( y = \sqrt{x^2+6x+9} - \sqrt{x^2-8x+16} \) olduğuna göre, \( x \) için \( x < -3 \) koşulu verildiğinde \( y \) ifadesinin sadeleştirilmiş halini bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda, karekök içindeki ifadelerin tam kare olup olmadığına dikkat etmek ve verilen eşitsizliği kullanarak mutlak değerleri doğru açmak önemlidir.
- Adım 1: Birinci karekök içindeki ifadeyi inceleyelim: \( x^2+6x+9 \). Bu, \( (x+3)^2 \) tam karesidir.
- Adım 2: İkinci karekök içindeki ifadeyi inceleyelim: \( x^2-8x+16 \). Bu, \( (x-4)^2 \) tam karesidir.
- Adım 3: İfadeyi yeniden yazalım: \( y = \sqrt{(x+3)^2} - \sqrt{(x-4)^2} \).
- Adım 4: Mutlak değer kuralını uygulayarak kareköklerden kurtulalım: \( y = |x+3| - |x-4| \).
- Adım 5: Soruda verilen \( x < -3 \) koşulunu kullanalım.
- Adım 6: \( x < -3 \) olduğunda, \( x+3 \) ifadesi negatif olur. Bu nedenle, \( |x+3| = -(x+3) = -x-3 \).
- Adım 7: \( x < -3 \) olduğunda, \( x-4 \) ifadesi de negatif olur (örneğin, \( x=-4 \) için \( -4-4 = -8 \)). Bu nedenle, \( |x-4| = -(x-4) = -x+4 \).
- Adım 8: Bulduğumuz mutlak değer açılımlarını \( y \) ifadesinde yerine koyalım: \( y = (-x-3) - (-x+4) \).
- Adım 9: İfadeyi sadeleştirelim: \( y = -x-3 + x-4 \).
Örnek 8:
Bir yazılımcı, karekök fonksiyonlarını kullanarak bir hesaplama yapıyor. Hesapladığı değer \( f(x) = \sqrt{x-a} \) şeklindedir. Bu fonksiyonun grafiğinin x eksenini kestiği noktanın apsisi 5'tir. Yazılımcının hesapladığı fonksiyonun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözüm:
Bir fonksiyonun grafiğinin x eksenini kesmesi demek, fonksiyonun o noktadaki değerinin sıfır olması demektir. Yani, \( f(x) = 0 \) olmalıdır.
- Adım 1: Fonksiyonun x eksenini kestiği noktanın x değerinin 5 olduğunu biliyoruz. Bu şu anlama gelir: \( f(5) = 0 \).
- Adım 2: Fonksiyon tanımını kullanalım: \( f(5) = \sqrt{5-a} \).
- Adım 3: \( f(5) = 0 \) eşitliğini kurarak \( a \) değerini bulalım: \( \sqrt{5-a} = 0 \).
- Adım 4: Eşitliğin her iki tarafının karesini alarak \( a \) değerini bulalım: \( 5-a = 0 \), buradan \( a = 5 \) elde ederiz.
- Adım 5: Fonksiyonu tam olarak yazalım: \( f(x) = \sqrt{x-5} \).
- Adım 6: Bu fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulalım. Karekök içi negatif olamaz: \( x-5 \ge 0 \).
- Adım 7: Eşitsizliği çözelim: \( x \ge 5 \).
Örnek 9:
Bir inşaat mühendisi, bir yapının temelinin sağlamlığını kontrol etmek için bir formül kullanmaktadır. Formül şu şekildedir: \( S = \sqrt{25-d^2} \), burada \( S \) sağlamlık katsayısı ve \( d \) derinliktir (metre cinsinden). Mühendisin bu formülü kullanabileceği maksimum derinlik kaç metredir?
Çözüm:
Sağlamlık katsayısının reel bir sayı olabilmesi için karekökün içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Bu, formülün geçerli olabileceği derinlik sınırını belirler.
- Adım 1: Formüldeki karekökün içinin negatif olamayacağını biliyoruz: \( 25-d^2 \ge 0 \).
- Adım 2: Bu eşitsizliği çözelim. Eşitsizliği \( 25 \ge d^2 \) olarak yazabiliriz.
- Adım 3: Her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{25} \ge \sqrt{d^2} \). Bu bize \( 5 \ge |d| \) sonucunu verir.
- Adım 4: Mutlak değer eşitsizliğini açalım: \( -5 \le d \le 5 \).
- Adım 5: Derinlik \( d \) negatif olamayacağı için (derinlik ölçüsü genellikle pozitif alınır veya 0'dan başlar), \( d \ge 0 \) koşulunu da dikkate almalıyız.
- Adım 6: Hem \( -5 \le d \le 5 \) hem de \( d \ge 0 \) koşullarını birleştirdiğimizde, \( 0 \le d \le 5 \) aralığını elde ederiz.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karekok-fonksiyonlar/sorular