📄 10. Sınıf Matematik: Karekök Fonksiyonlar Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

İlk olarak \(f(x)\) fonksiyonunun tanım kümesini bulalım. Karekök içindeki ifade negatif olamaz: \(3x - 9 \ge 0\) \(\implies 3x \ge 9\) \(\implies x \ge 3\). Dolayısıyla \(f(x)\)'in tanım kümesi \(T_f = [3, \infty)\)'dir.

Şimdi \(g(x)\) fonksiyonunun tanım kümesini bulalım. Yine kök içindeki ifade negatif olamaz: \(15 - 3x \ge 0\) \(\implies 15 \ge 3x\) \(\implies 5 \ge x\) yani \(x \le 5\). Dolayısıyla \(g(x)\)'in tanım kümesi \(T_g = (-\infty, 5]\)'dir.

İki fonksiyonun da tanımlı olduğu ortak aralık, bu iki kümenin kesişimidir: \(T_f \cap T_g = [3, \infty) \cap (-\infty, 5]\). Bu kesişim \([3, 5]\) aralığıdır.

Reel sayı doğrusunda gösterimi:
<----|----|----|----|----|----|---->
0 1 2 3 4 5 6
[==============]
Bu aralık, 3 ve 5 dahil olmak üzere arasındaki tüm reel sayıları kapsar.

💡 Çözüm Adımları:

Grafik çizimi:
\(y = \sqrt{x}\) fonksiyonunun grafiği, birinci koordinat sisteminde orijinden (0,0) başlar ve sağa doğru yavaşça yükselen bir eğridir. Örneğin, (0,0), (1,1), (4,2), (9,3) gibi noktalarından geçer.

Birebir İncelemesi:
Bir fonksiyonun birebir olması için tanım kümesindeki farklı her elemanın görüntüsünün de farklı olması gerekir. Yani, \(x_1
e x_2\) iken \(f(x_1)
e f(x_2)\) olmalıdır. \(y = \sqrt{x}\) fonksiyonunda, farklı pozitif \(x\) değerlerinin karekökleri de farklıdır (örneğin \(\sqrt{4}=2\) ve \(\sqrt{9}=3\)). Bu nedenle, fonksiyon birebirdir.

Örten İncelemesi:
Bir fonksiyonun örten olması için görüntü kümesinin, değer kümesine eşit olması gerekir. \(y = \sqrt{x}\) fonksiyonunun tanım kümesi \([0, \infty)\) olduğunda, görüntü kümesi de \([0, \infty)\)'dir. Eğer değer kümesi olarak reel sayılar \((-\infty, \infty)\) alınırsa, negatif reel sayıların fonksiyonun çıktısı olamayacağı görülür. Dolayısıyla, değer kümesi \((-\infty, \infty)\) olduğunda fonksiyon örten değildir. Ancak, eğer değer kümesi olarak görüntü kümesi olan \([0, \infty)\) alınırsa, fonksiyon örten olur. Soruda belirtilmediği için genellikle reel sayılar kümesi değer kümesi olarak kabul edilir ve bu durumda fonksiyon örten değildir.

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle \(y = \sqrt{x}\) fonksiyonunun sağa 2 birim ötelenmiş hali \(g(x) = \sqrt{x-2}\) olur.

Ardından bu fonksiyonun y eksenine göre simetriği alınacaktır. Bir \(h(x)\) fonksiyonunun y eksenine göre simetriği \(h(-x)\) şeklinde bulunur. Dolayısıyla, \(g(x)\)'in y eksenine göre simetriği \(g(-x) = \sqrt{-x-2}\) olur.

Bu yeni fonksiyon \(f(x) = \sqrt{ax+b}\) ile aynı olduğuna göre, kuralı eşitleyebiliriz:
\(f(x) = \sqrt{ax+b} = \sqrt{-x-2}\)

Bu eşitliğin sağlanması için katsayılar ve sabit terimler aynı olmalıdır:
\(a = -1\)
\(b = -2\)

Buna göre \(a\) değeri -1 ve \(b\) değeri -2'dir.