🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karekök fonksiyonlar ve özellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karekök fonksiyonlar ve özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Karekök fonksiyonu tanımına göre, \( f(x) = \sqrt{x+5} \) fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, \( f(11) \) değerini hesaplayınız. 💡
Buna göre, \( f(11) \) değerini hesaplayınız. 💡
Çözüm:
Karekök fonksiyonlarında bir değeri bulmak için değişken yerine verilen sayı yazılır:
- Fonksiyonda \( x \) gördüğümüz yere \( 11 \) yazalım:
- \( f(11) = \sqrt{11+5} \)
- İşlemi yaparsak: \( f(11) = \sqrt{16} \)
- \( 16 \) sayısı \( 4 \) sayısının karesi olduğu için kök dışına \( 4 \) olarak çıkar.
- Sonuç: \( f(11) = 4 \)
Örnek 2:
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı \( f(x) = \sqrt{x-8} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 📌
Çözüm:
Bir karekök fonksiyonunun gerçek sayılarda tanımlı olabilmesi için kök içerisindeki ifadenin sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olması gerekir.
- Kural: \( x-8 \geq 0 \) olmalıdır.
- Buradan \( -8 \) ifadesini karşıya atarsak: \( x \geq 8 \) elde edilir.
- Bu durum, fonksiyonun sadece \( 8 \) ve \( 8 \)'den büyük sayılar için tanımlı olduğunu gösterir.
- Tanım Kümesi: \( [8, \infty) \)
Örnek 3:
\( f(x) = \sqrt{12-3x} \) fonksiyonunun tanımlı olmasını sağlayan \( x \) doğal sayı değerlerinin toplamı kaçtır? 🤔
Çözüm:
Fonksiyonun tanımlı olması için kök içi negatif olmamalıdır:
- \( 12-3x \geq 0 \)
- \( 12 \geq 3x \)
- Her iki tarafı \( 3 \) ile bölersek: \( 4 \geq x \) (veya \( x \leq 4 \))
- Bizden istenen \( x \) değerlerinin doğal sayı olmasıdır.
- Doğal sayılar \( 0 \)'dan başlar: \( \{0, 1, 2, 3, 4\} \)
- Bu değerlerin toplamı: \( 0+1+2+3+4 = 10 \)
Örnek 4:
Aşağıda verilen \( f(x) \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz:
\[ f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{7-x} \]
\[ f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{7-x} \]
Çözüm:
Bu fonksiyon iki farklı kareköklü ifadenin toplamından oluşmaktadır. Fonksiyonun tanımlı olması için her iki kökün içinin de aynı anda sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
- Birinci kök için: \( x-2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \)
- İkinci kök için: \( 7-x \geq 0 \Rightarrow 7 \geq x \)
- Bu iki eşitsizliği birleştirirsek: \( 2 \leq x \leq 7 \)
- Tanım Kümesi: \( [2, 7] \) aralığıdır.
Örnek 5:
Bir mimar, alanı \( A \) metrekare olan kare şeklindeki bir odanın bir kenar uzunluğunu \( f(A) = \sqrt{A} \) fonksiyonu ile hesaplamaktadır. 🏠
Mimarın tasarladığı bir salonun alanı \( 64 \) metrekare, mutfağın alanı ise \( 25 \) metrekaredir. Salonun bir kenarı, mutfağın bir kenarından kaç metre daha uzundur?
Mimarın tasarladığı bir salonun alanı \( 64 \) metrekare, mutfağın alanı ise \( 25 \) metrekaredir. Salonun bir kenarı, mutfağın bir kenarından kaç metre daha uzundur?
Çözüm:
Karede kenar uzunluğu, alanın kareköküne eşittir.
- Salonun alanı \( A = 64 \) ise kenar uzunluğu: \( f(64) = \sqrt{64} = 8 \) metredir.
- Mutfağın alanı \( A = 25 \) ise kenar uzunluğu: \( f(25) = \sqrt{25} = 5 \) metredir.
- Kenar uzunlukları farkı: \( 8 - 5 = 3 \) metredir.
Örnek 6:
\( f(x) = \sqrt{2x+a} \) fonksiyonu veriliyor.
\( f(3) = 4 \) olduğuna göre, \( a \) değerini bulunuz ve ardından fonksiyonun tanım kümesini belirtiniz. 🔍
\( f(3) = 4 \) olduğuna göre, \( a \) değerini bulunuz ve ardından fonksiyonun tanım kümesini belirtiniz. 🔍
Çözüm:
Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım (a değerini bulma):
- \( f(3) = \sqrt{2 \times 3 + a} = 4 \)
- \( \sqrt{6+a} = 4 \)
- Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım: \( 6+a = 16 \)
- Buradan \( a = 10 \) bulunur.
- 2. Adım (Tanım kümesini bulma):
- Fonksiyonumuz \( f(x) = \sqrt{2x+10} \) halini aldı.
- Tanımlı olması için \( 2x+10 \geq 0 \) olmalıdır.
- \( 2x \geq -10 \)
- \( x \geq -5 \)
Örnek 7:
Bir kargo uçağından bırakılan bir paketin yere olan uzaklığı metre cinsinden \( h(t) = 400 - \sqrt{t} \) fonksiyonu ile modellenmiştir. Burada \( t \), paketin bırakıldığı andan itibaren geçen süreyi (saniye) temsil etmektedir. ✈️📦
Buna göre, paket bırakıldıktan 900 saniye sonra paketin yerden yüksekliği kaç metre olur?
Buna göre, paket bırakıldıktan 900 saniye sonra paketin yerden yüksekliği kaç metre olur?
Çözüm:
Soruda verilen fonksiyonu kullanarak \( t = 900 \) için yükseklik değerini hesaplamalıyız:
- Fonksiyonda \( t \) yerine \( 900 \) yazalım:
- \( h(900) = 400 - \sqrt{900} \)
- \( 900 \) sayısı \( 30 \)'un karesidir (\( 30 \times 30 = 900 \)).
- O halde \( \sqrt{900} = 30 \) olur.
- İşlemi tamamlayalım: \( h(900) = 400 - 30 \)
- \( h(900) = 370 \) metre.
Örnek 8:
\( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonu için;
\( f(a) + f(4a) = 9 \) eşitliğini sağlayan \( a \) değeri kaçtır? (Not: \( a > 0 \)) 🚀
\( f(a) + f(4a) = 9 \) eşitliğini sağlayan \( a \) değeri kaçtır? (Not: \( a > 0 \)) 🚀
Çözüm:
Verilen fonksiyon değerlerini yerlerine yazalım:
- \( f(a) = \sqrt{a} \)
- \( f(4a) = \sqrt{4a} = \sqrt{4} \times \sqrt{a} = 2\sqrt{a} \)
- Denklemi kuralım: \( \sqrt{a} + 2\sqrt{a} = 9 \)
- Benzer terimleri toplayalım: \( 3\sqrt{a} = 9 \)
- Her iki tarafı \( 3 \)'e bölelim: \( \sqrt{a} = 3 \)
- Karesini alırsak: \( a = 3^2 = 9 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karekok-fonksiyonlar-ve-ozellikleri/sorular