🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karekok fonksiyonlar ve nitel ozellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karekok fonksiyonlar ve nitel ozellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki karekök ifadelerin değerlerini hesaplayınız:
a) \( \sqrt{36} \)
b) \( \sqrt{144} \)
c) \( \sqrt{0.25} \)
a) \( \sqrt{36} \)
b) \( \sqrt{144} \)
c) \( \sqrt{0.25} \)
Çözüm:
Karekök alma işlemi, kendisiyle çarpıldığında verilen sayıyı veren pozitif sayıyı bulma işlemidir. 💡
- a) \( \sqrt{36} \): Hangi sayıyı kendisiyle çarparsak 36 elde ederiz? Cevap 6'dır. Çünkü \( 6 \times 6 = 36 \). Dolayısıyla, \( \sqrt{36} = 6 \). ✅
- b) \( \sqrt{144} \): Hangi sayıyı kendisiyle çarparsak 144 elde ederiz? Cevap 12'dir. Çünkü \( 12 \times 12 = 144 \). Dolayısıyla, \( \sqrt{144} = 12 \). ✅
- c) \( \sqrt{0.25} \): Ondalıklı sayılarda karekök alırken, sayının kendisiyle çarpıldığında sonucu veren sayıyı buluruz. \( 0.5 \times 0.5 = 0.25 \) olduğundan, \( \sqrt{0.25} = 0.5 \). ✅
Örnek 2:
\( \sqrt{x^2} \) ifadesinin eşiti nedir?
a) \( x \)
b) \( -x \)
c) \( |x| \)
d) \( x^2 \)
a) \( x \)
b) \( -x \)
c) \( |x| \)
d) \( x^2 \)
Çözüm:
Karekök fonksiyonunun en önemli özelliklerinden biri, \( \sqrt{a^2} = |a| \) olmasıdır. Bu, karekökten çıkan sonucun her zaman pozitif olması gerektiğini belirtir. 📌
- \( \sqrt{x^2} \) ifadesinde, \( x \) bir reel sayı olabilir. Eğer \( x \) pozitifse, \( \sqrt{x^2} = x \) olur.
- Ancak, eğer \( x \) negatifse (örneğin \( x = -3 \)), \( x^2 = (-3)^2 = 9 \) olur. Bu durumda \( \sqrt{9} = 3 \) olur. Yani \( \sqrt{(-3)^2} = 3 \), ki bu da \( |-3| \) eşittir.
- Bu nedenle, \( \sqrt{x^2} \) ifadesinin genel eşiti mutlak değer \( |x| \) olarak ifade edilir.
Örnek 3:
\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \) özelliğini kullanarak \( \sqrt{4} \times \sqrt{9} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Kareköklerin çarpımının, çarpımlarının kareköküne eşit olması (yani \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \)) önemli bir çarpma özelliğidir. ✅
- Verilen işlem: \( \sqrt{4} \times \sqrt{9} \)
- Özelliği uygulayarak: \( \sqrt{4 \times 9} \)
- Çarpma işlemini yapalım: \( \sqrt{36} \)
- Son olarak karekökü alalım: \( \sqrt{36} = 6 \)
Örnek 4:
\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \) özelliğini kullanarak \( \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{5}} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Kareköklerin bölümünün, bölümlerinin kareköküne eşit olması (yani \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)) önemli bir bölme özelliğidir. 💡
- Verilen işlem: \( \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{5}} \)
- Özelliği uygulayarak: \( \sqrt{\frac{25}{5}} \)
- Bölme işlemini yapalım: \( \sqrt{5} \)
Örnek 5:
Bir kenar uzunluğu \( x \) birim olan karenin alanı \( x^2 \) birimkaredir. Alanı 81 birimkare olan bir karenin bir kenar uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, karenin alanından kenar uzunluğunu bulmak için karekök alma işlemini kullanacağız. 📐
- Karenin alanı \( A = kenar \times kenar = kenar^2 \) formülüyle bulunur.
- Bize verilen alan \( A = 81 \) birimkaredir.
- Dolayısıyla, \( kenar^2 = 81 \) olmalıdır.
- Kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü alırız: \( kenar = \sqrt{81} \).
- \( \sqrt{81} = 9 \) olduğundan, karenin bir kenar uzunluğu 9 birimdir.
Örnek 6:
Bir çiftçi, tarlasının alanını \( 100 \) metrekare olarak ölçüyor. Eğer tarlası kare şeklinde ise, bir kenar uzunluğu kaç metredir? 🏡
Çözüm:
Bu, karekök alma işleminin günlük hayatta nasıl kullanıldığına dair güzel bir örnektir. 💡
- Tarlanın şekli kare olduğundan, alanı \( kenar \times kenar \) formülüyle hesaplanır.
- Alan \( 100 \) metrekare olarak verilmiş.
- Yani, \( kenar^2 = 100 \) metrekare.
- Kenar uzunluğunu bulmak için 100'ün karekökünü almalıyız: \( kenar = \sqrt{100} \).
- \( \sqrt{100} = 10 \) olduğundan, tarlanın bir kenar uzunluğu 10 metredir.
Örnek 7:
\( \sqrt{18} + \sqrt{50} - \sqrt{8} \) işleminin sonucunu sadeleştirerek bulunuz.
Çözüm:
Bu tür işlemleri çözmek için, karekök içindeki sayıları olabildiğince dışarı çıkarabileceğimiz şekilde sadeleştirmemiz gerekir. 🚀
- Öncelikle her bir karekökü sadeleştirelim:
- \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)
- \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)
- \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)
- Şimdi sadeleştirilmiş ifadeleri orijinal işlemde yerine koyalım:
- \( 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} \)
- Kökleri aynı olan terimleri toplayıp çıkarabiliriz:
- \( (3 + 5 - 2)\sqrt{2} \)
- İşlemi yapalım: \( (8 - 2)\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \)
Örnek 8:
Bir teknoloji mağazasında, bir ürünün maliyeti \( M \) TL ve satış fiyatı \( S \) TL'dir. Eğer satış fiyatı, maliyetin karekökünün 3 katı ise ve maliyet 16 TL ise, satış fiyatı kaç TL'dir? 💰
Çözüm:
Bu problem, karekök fonksiyonlarının finansal hesaplamalarda nasıl kullanılabileceğini gösterir. 📈
- Soruda verilen bilgilere göre:
- Maliyet \( M = 16 \) TL.
- Satış fiyatı \( S \), maliyetin karekökünün 3 katıdır.
- Bu ilişkiyi matematiksel olarak ifade edelim: \( S = 3 \times \sqrt{M} \)
- Şimdi maliyetin değerini (16 TL) formülde yerine koyalım:
- \( S = 3 \times \sqrt{16} \)
- Önce karekökü hesaplayalım: \( \sqrt{16} = 4 \).
- Şimdi çarpma işlemini yapalım: \( S = 3 \times 4 \).
- Sonuç olarak satış fiyatı \( S = 12 \) TL'dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karekok-fonksiyonlar-ve-nitel-ozellikleri/sorular