💡 10. Sınıf Matematik: Karekök Fonksiyon ve Örnek Çözümlü Örnekler

Bir karekök fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için karekök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir. Yani, \( \text{karekök içi} \ge 0 \) olmalıdır. ✅
Bu durumda, \(x-5\) ifadesi için aşağıdaki eşitsizliği kurarız:

• \(x-5 \ge 0\)
• Eşitsizliği çözmek için -5'i karşıya atarız: \(x \ge 5\)

👉 Bu durumda, fonksiyonun tanım kümesi [5, \( \infty \)) aralığıdır. Yani \(x\) yerine 5 ve 5'ten büyük tüm reel sayılar yazılabilir.

Bu fonksiyon, iki farklı karekök ifadesinin toplamından oluşmaktadır. Her bir karekök ifadesinin ayrı ayrı tanımlı olması gerekir. 🧩

• Birinci karekök için: \(7-x \ge 0 \implies 7 \ge x \implies x \le 7\)
• İkinci karekök için: \(x+2 \ge 0 \implies x \ge -2\)

Her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerektiği için, bulduğumuz eşitsizliklerin kesişimini almalıyız. 👇

• \(x \le 7\) ve \(x \ge -2\)
• Bu iki koşulu birleştirirsek: \(-2 \le x \le 7\)

✅ Dolayısıyla, \(g(x)\) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi [-2, 7] kapalı aralığıdır.

Karekök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerektiğini biliyoruz. 🧐

• \(x^2-9 \ge 0\)
• Bu bir ikinci dereceden eşitsizliktir. Önce köklerini bulalım: \(x^2-9 = 0 \implies (x-3)(x+3) = 0\)
• Kökler \(x_1 = -3\) ve \(x_2 = 3\)'tür.
• Şimdi işaret tablosu oluşturmalıyız. \(x^2\) teriminin katsayısı pozitif (+) olduğu için köklerin dışında pozitif, köklerin arasında negatif değerler alır.
• Tabloya göre, \(x^2-9 \ge 0\) koşulu, \(x \le -3\) veya \(x \ge 3\) olduğunda sağlanır.

👉 Bu durumda, \(h(x)\) fonksiyonunun tanım kümesi \( (-\infty, -3] \cup [3, \infty) \) şeklindedir.

Bu fonksiyon hem kesirli bir ifade hem de karekök içeriyor. Bu durumda iki önemli koşul vardır: 🧐

• 1. Koşul (Karekök içi): Karekök içindeki ifade sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olmalıdır: \(x^2-7x+10 \ge 0\)
• 2. Koşul (Payda): Payda sıfır olamaz. Yani \(\sqrt{x^2-7x+10} \ne 0\). Bu da \(x^2-7x+10 \ne 0\) anlamına gelir.

Bu iki koşulu birleştirirsek, karekök içindeki ifadenin kesinlikle sıfırdan büyük olması gerektiğini anlarız: \(x^2-7x+10 > 0\). ✅
Şimdi bu ikinci dereceden eşitsizliği çözelim:

• Köklerini bulalım: \(x^2-7x+10 = 0 \implies (x-2)(x-5) = 0\)
• Kökler \(x_1 = 2\) ve \(x_2 = 5\)'tir.
• İşaret tablosu oluşturalım. \(x^2\) teriminin katsayısı pozitif (+) olduğu için köklerin dışında pozitif, köklerin arasında negatif değerler alır.
• \(x^2-7x+10 > 0\) koşulu, \(x < 2\) veya \(x > 5\) olduğunda sağlanır.

👉 Dolayısıyla, \(k(x)\) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi \( (-\infty, 2) \cup (5, \infty) \) şeklindedir.

Fonksiyonun değerini bulmak için, \(x\) yerine verilen sayıları koyarız. 👇

• \(f(1)\) için:
• \(f(1) = \sqrt{2 \cdot 1 + 7}\)
• \(f(1) = \sqrt{2 + 7}\)
• \(f(1) = \sqrt{9}\)
• \(f(1) = 3\) ✅
• \(f(9)\) için:
• \(f(9) = \sqrt{2 \cdot 9 + 7}\)
• \(f(9) = \sqrt{18 + 7}\)
• \(f(9) = \sqrt{25}\)
• \(f(9) = 5\) ✅

Bu bir fiziksel modelleme sorusu olsa da, matematiksel olarak karekök fonksiyonunun tanım ve görüntü kümesi prensiplerini içerir. 🧠
Verilen formül: \(t = \frac{\sqrt{2h}}{10}\).

• \(h\) değerinin tanım kümesi:
• Karekök içindeki ifade \(2h\) olduğu için, \(2h \ge 0\) olmalıdır.
• \(h \ge 0\) sonucuna ulaşırız.
• Ayrıca, yükseklik fiziksel olarak negatif olamaz. Bu nedenle \(h\) sıfır veya sıfırdan büyük olmalıdır.
• 👉 Yani, \(h \in [0, \infty)\) olarak tanımlanır.
• \(t\) değerinin görüntü kümesi:
• Karekök fonksiyonunun sonucu daima sıfır veya pozitif bir sayıdır (\(\sqrt{2h} \ge 0\)).
• Dolayısıyla, \(t = \frac{\sqrt{2h}}{10}\) ifadesinin sonucu da sıfır veya pozitif olacaktır.
• En küçük \(t\) değeri \(h=0\) için \(t=0\) olur. \(h\) arttıkça \(t\) de artar.
• 👉 Yani, \(t \in [0, \infty)\) olarak tanımlanır. Bu, düşme süresinin negatif olamayacağı anlamına da gelir.

Bu durumda, hem yükseklik hem de süre için negatif değerler anlamsızdır. ✅

Bu problem, karekök fonksiyonunun günlük hayattaki kullanımını ve tanım/görüntü kümesi mantığını içerir. 🧑‍🌾
Verilen formül: \(x = \sqrt{A}\).
Bize verilen alan (\(A\)) aralığı: \(4 \le A \le 25\).
Bizden istenen ise kenar uzunluğu (\(x\)) aralığıdır. 👇

• Alan en az 4 metrekare olduğunda:
• \(x = \sqrt{4}\)
• \(x = 2\) metre olur.
• Alan en fazla 25 metrekare olduğunda:
• \(x = \sqrt{25}\)
• \(x = 5\) metre olur.

Karekök fonksiyonu pozitif sayılar için artan bir fonksiyon olduğu için, alan arttıkça kenar uzunluğu da artacaktır. 📈
✅ Bu durumda, bahçenin bir kenar uzunluğu \(x\)'in alabileceği değerler [2, 5] aralığında olmalıdır.

Karekök fonksiyonlarının grafiği, genellikle bir parabolün yarısı şeklindedir. 📈

• Tanım Kümesi: Fonksiyonun tanımlı olması için \(x+1 \ge 0 \implies x \ge -1\) olmalıdır. Yani grafik \(x=-1\)'den başlar ve sağa doğru devam eder.
• Başlangıç Noktası: Fonksiyonun tanım kümesinin başlangıcı olan \(x=-1\) değerini yerine koyduğumuzda \(f(-1) = \sqrt{-1+1} = \sqrt{0} = 0\) elde ederiz.
• Bu durumda, grafiğin başlangıç noktası (-1, 0) noktasıdır. Bu nokta, aynı zamanda fonksiyonun \(x\)-eksenini kestiği noktadır.
• Görüntü Kümesi: Karekökün sonucu daima sıfır veya pozitif olduğu için, \(f(x) \ge 0\) olacaktır. Yani grafik \(y\)-ekseninin pozitif tarafında veya üzerinde yer alır.
• Şekil ve Yön: Fonksiyon \(x\) değerleri arttıkça \(f(x)\) değerleri de artar (fonksiyon artandır). Grafik, başlangıç noktasından itibaren sağa ve yukarıya doğru yayılan, parabolün sağa yatık üst yarısı gibi bir eğri çizer.
• Bazı Noktalar: Grafiği daha iyi anlamak için birkaç nokta daha belirleyebiliriz:
• \(x=0 \implies f(0) = \sqrt{0+1} = 1\). Yani grafik (0, 1) noktasından geçer. (Bu, \(y\)-eksenini kestiği noktadır.)
• \(x=3 \implies f(3) = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2\). Yani grafik (3, 2) noktasından geçer.

✅ Özetle, \(f(x) = \sqrt{x+1}\) fonksiyonunun grafiği, (-1, 0) noktasından başlayan, sağa ve yukarı doğru artarak devam eden bir eğridir.