🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karekök Fonksiyon Grafikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karekök Fonksiyon Grafikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda verilen karekök fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz ve grafiğinin başlangıç noktasını belirtiniz.
\( f(x) = \sqrt{x-3} \)
\( f(x) = \sqrt{x-3} \)
Çözüm:
Bu tür karekök fonksiyonlarında 📌 tanım kümesi, karekök içindeki ifadenin negatif olmamasını gerektirir. Yani, karekök içindeki ifade sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmalıdır.
- 👉 Tanım Kümesi İçin:
Karekök içindeki ifade \( x-3 \) olduğundan, \( x-3 \ge 0 \) olmalıdır.
Bu eşitsizliği çözersek:
\( x \ge 3 \)
Dolayısıyla, fonksiyonun tanım kümesi \( [3, \infty) \) aralığıdır. ✅ - 👉 Grafiğin Başlangıç Noktası İçin:
Karekök fonksiyonunun grafiği, kök içindeki ifadeyi sıfır yapan \(x\) değeri ve bu \(x\) değeri için fonksiyonun aldığı \(y\) değeri ile başlar.
\( x-3 = 0 \implies x = 3 \)
Bu \(x\) değerini fonksiyonda yerine koyarsak:
\( f(3) = \sqrt{3-3} = \sqrt{0} = 0 \)
Bu durumda, grafiğin başlangıç noktası \( (3, 0) \) noktasıdır. ✅
Örnek 2:
\( g(x) = \sqrt{x+2} + 1 \) fonksiyonunun tanım kümesini ve değer kümesini bulunuz. Ayrıca, grafiğinin başlangıç noktasını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu fonksiyonun tanım ve değer kümesini bulmak için yine karekök içindeki ifadeye ve fonksiyonun genel yapısına dikkat etmeliyiz.
- 👉 Tanım Kümesi İçin:
Karekök içindeki ifade \( x+2 \) olduğundan, \( x+2 \ge 0 \) olmalıdır.
Bu eşitsizliği çözersek:
\( x \ge -2 \)
Fonksiyonun tanım kümesi \( [-2, \infty) \) aralığıdır. ✅ - 👉 Grafiğin Başlangıç Noktası İçin:
Kök içindeki ifadeyi sıfır yapan \(x\) değeri:
\( x+2 = 0 \implies x = -2 \)
Bu \(x\) değerini fonksiyonda yerine koyarak \(y\) değerini bulalım:
\( g(-2) = \sqrt{-2+2} + 1 = \sqrt{0} + 1 = 0 + 1 = 1 \)
Grafiğin başlangıç noktası \( (-2, 1) \) noktasıdır. ✅ - 👉 Değer Kümesi İçin:
Karekök fonksiyonunun değeri asla negatif olamaz, yani \( \sqrt{x+2} \ge 0 \) dir.
Fonksiyonumuz \( g(x) = \sqrt{x+2} + 1 \) olduğundan, bu ifadeye 1 eklemeliyiz:
\( \sqrt{x+2} + 1 \ge 0 + 1 \)
\( g(x) \ge 1 \)
Bu durumda, fonksiyonun değer kümesi \( [1, \infty) \) aralığıdır. ✅
Örnek 3:
\( h(x) = -\sqrt{x-1} + 2 \) fonksiyonunun grafiğinin başlangıç noktasını ve değer kümesini belirleyiniz.
Çözüm:
Bu fonksiyonda karekök ifadesinin önünde negatif bir işaret olduğuna dikkat edelim. Bu, grafiğin \(x\)-eksenine göre yansıması anlamına gelir.
- 👉 Grafiğin Başlangıç Noktası İçin:
Yine kök içindeki ifadeyi sıfır yapan \(x\) değerini bulalım:
\( x-1 = 0 \implies x = 1 \)
Bu \(x\) değerini fonksiyonda yerine koyarsak:
\( h(1) = -\sqrt{1-1} + 2 = -\sqrt{0} + 2 = 0 + 2 = 2 \)
Grafiğin başlangıç noktası \( (1, 2) \) noktasıdır. ✅ - 👉 Değer Kümesi İçin:
Biz biliyoruz ki \( \sqrt{x-1} \ge 0 \) dir.
Ancak fonksiyonumuzda \( -\sqrt{x-1} \) ifadesi var. Bir pozitif sayıyı eksi ile çarparsak, sonuç sıfır veya negatif olur:
\( -\sqrt{x-1} \le 0 \)
Şimdi bu ifadeye 2 ekleyelim:
\( -\sqrt{x-1} + 2 \le 0 + 2 \)
\( h(x) \le 2 \)
Bu durumda, fonksiyonun değer kümesi \( (-\infty, 2] \) aralığıdır. ✅
Örnek 4:
Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisinin tanım kümesi \( [0, \infty) \) aralığıdır?
I. \( f(x) = \sqrt{x} \)
II. \( g(x) = \sqrt{x+5} \)
III. \( h(x) = \sqrt{2x} \)
I. \( f(x) = \sqrt{x} \)
II. \( g(x) = \sqrt{x+5} \)
III. \( h(x) = \sqrt{2x} \)
Çözüm:
Her bir fonksiyon için tanım kümesini ayrı ayrı inceleyelim:
- 👉 I. \( f(x) = \sqrt{x} \) için:
Karekök içindeki ifade \( x \) olduğundan, \( x \ge 0 \) olmalıdır.
Tanım kümesi \( [0, \infty) \) dir. ✅ - 👉 II. \( g(x) = \sqrt{x+5} \) için:
Karekök içindeki ifade \( x+5 \) olduğundan, \( x+5 \ge 0 \) olmalıdır.
\( x \ge -5 \)
Tanım kümesi \( [-5, \infty) \) dir. ❌ - 👉 III. \( h(x) = \sqrt{2x} \) için:
Karekök içindeki ifade \( 2x \) olduğundan, \( 2x \ge 0 \) olmalıdır.
Her iki tarafı 2'ye bölersek (pozitif bir sayı olduğu için eşitsizlik yön değiştirmez):
\( x \ge 0 \)
Tanım kümesi \( [0, \infty) \) dir. ✅
Örnek 5:
Bir karekök fonksiyonunun grafiği \( (2, 3) \) noktasından başlamakta ve \(x\) değerleri arttıkça \(y\) değerleri azalmaktadır. Bu fonksiyon aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) \( f(x) = \sqrt{x-2} + 3 \)
B) \( g(x) = -\sqrt{x-2} + 3 \)
C) \( h(x) = \sqrt{2-x} + 3 \)
D) \( k(x) = -\sqrt{2-x} + 3 \)
A) \( f(x) = \sqrt{x-2} + 3 \)
B) \( g(x) = -\sqrt{x-2} + 3 \)
C) \( h(x) = \sqrt{2-x} + 3 \)
D) \( k(x) = -\sqrt{2-x} + 3 \)
Çözüm:
Soruda verilen iki ana bilgiye odaklanalım:
1. Grafiğin başlangıç noktası \( (2, 3) \).
2. \(x\) değerleri arttıkça \(y\) değerleri azalmaktadır.
- 👉 Başlangıç Noktası \( (2, 3) \) İçin:
Genel olarak \( y = \pm \sqrt{\pm (x-a)} + b \) formundaki bir karekök fonksiyonunun başlangıç noktası \( (a, b) \) dir.
Buna göre, \( a=2 \) ve \( b=3 \) olmalıdır.
Seçeneklerdeki tüm fonksiyonlar \( (2, 3) \) başlangıç noktasına sahiptir (C ve D seçeneklerinde \( 2-x = -(x-2) \) olduğu için \( a=2 \) dir). Bu kriterle eleme yapamayız. - 👉 \(x\) arttıkça \(y\) azalması İçin:
Bu durum, fonksiyonun azalan bir fonksiyon olduğunu gösterir.
- A) \( f(x) = \sqrt{x-2} + 3 \): Kök içi \(x\) pozitif katsayılı ve kök önü pozitif. Bu fonksiyon artandır. ❌
- B) \( g(x) = -\sqrt{x-2} + 3 \): Kök içi \(x\) pozitif katsayılı ve kök önü negatif. Bu fonksiyon azalandır. ✅
- C) \( h(x) = \sqrt{2-x} + 3 \): Kök içi \(x\) negatif katsayılı ve kök önü pozitif. Bu fonksiyon azalandır. Ancak tanım kümesi \( 2-x \ge 0 \implies x \le 2 \) olduğu için, \(x\) değerleri 2'den küçüktür. Soruda "x değerleri arttıkça" denildiğinden bu ifadeye uygun değildir. ❌
- D) \( k(x) = -\sqrt{2-x} + 3 \): Kök içi \(x\) negatif katsayılı ve kök önü negatif. Bu fonksiyon artandır. Ayrıca tanım kümesi \( x \le 2 \) olduğu için yine "x değerleri arttıkça" ifadesine uygun değildir. ❌
Örnek 6:
\( y = \sqrt{4-2x} \) fonksiyonunun grafiğinin \(x\)-eksenini kestiği noktayı bulunuz.
Çözüm:
Bir fonksiyonun grafiğinin \(x\)-eksenini kestiği noktayı bulmak için \(y\) değerini 0'a eşitleriz.
- 👉 \(y=0\) Koşulunu Uygula:
\( 0 = \sqrt{4-2x} \) - 👉 Her İki Tarafın Karesini Al:
Denklemin her iki tarafının karesini alarak karekökten kurtulalım:
\( 0^2 = (\sqrt{4-2x})^2 \)
\( 0 = 4-2x \) - 👉 \(x\) Değerini Bul:
Şimdi \(x\) değerini bulmak için denklemi çözelim:
\( 2x = 4 \)
\( x = \frac{4}{2} \)
\( x = 2 \) - 👉 Kesim Noktasını Belirt:
Bu durumda, fonksiyonun grafiği \(x\)-eksenini \( (2, 0) \) noktasında keser. ✅
Örnek 7:
Bir mühendis, bir binanın rüzgar yüküne karşı dayanıklılığını test ederken, binanın yüksekliği \(h\) (metre) ile rüzgarın binaya uyguladığı basınç \(P\) (Pascal) arasında yaklaşık olarak \( P = 10 \sqrt{h} \) şeklinde bir ilişki olduğunu fark etmiştir. Buna göre, 16 metre yüksekliğindeki bir binaya uygulanan rüzgar basıncını bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, verilen formülü kullanarak belirli bir yükseklik için rüzgar basıncını hesaplamamız isteniyor.
- 👉 Verilenleri Belirle:
Fonksiyon: \( P = 10 \sqrt{h} \)
Binanın yüksekliği \( h = 16 \) metre. - 👉 \(h\) Değerini Fonksiyonda Yerine Koy:
\( h=16 \) değerini \( P = 10 \sqrt{h} \) formülünde yerine yazalım:
\( P = 10 \sqrt{16} \) - 👉 Karekökü Hesapla:
\( \sqrt{16} = 4 \) olduğu için:
\( P = 10 \times 4 \) - 👉 Basıncı Bul:
\( P = 40 \)
Örnek 8:
Aşağıdaki grafikte, bir karekök fonksiyonunun bir kısmı gösterilmiştir. Grafiğin başlangıç noktası \( (0, 0) \) olup, \( (4, 6) \) noktasından geçmektedir. Bu fonksiyonun kuralını bulunuz.
Çözüm:
Grafiğin başlangıç noktası \( (0, 0) \) olduğu ve standart karekök fonksiyonuna benzediği için, fonksiyonun genel formunu \( f(x) = a\sqrt{x} \) olarak düşünebiliriz. Burada \(a\) bir katsayıdır.
- 👉 Başlangıç Noktasını Kontrol Et:
\( f(x) = a\sqrt{x} \) fonksiyonunda \(x=0\) için \( f(0) = a\sqrt{0} = 0 \). Bu, \( (0, 0) \) noktasından geçtiğini doğrular. - 👉 Verilen Diğer Noktayı Kullan:
Fonksiyonun \( (4, 6) \) noktasından geçtiği bilgisi verilmiş. Bu, \(x=4\) olduğunda \( f(x)=6 \) olduğu anlamına gelir.
Bu değerleri \( f(x) = a\sqrt{x} \) formülünde yerine koyalım:
\( 6 = a\sqrt{4} \) - 👉 \(a\) Katsayısını Bul:
\( \sqrt{4} = 2 \) olduğu için:
\( 6 = a \times 2 \)
Her iki tarafı 2'ye bölersek:
\( a = \frac{6}{2} \)
\( a = 3 \) - 👉 Fonksiyonun Kuralını Yaz:
Bulduğumuz \(a=3\) değerini genel formda yerine yazarak fonksiyonun kuralını elde ederiz:
\( f(x) = 3\sqrt{x} \) ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karekok-fonksiyon-grafikleri/sorular