💡 10. Sınıf Matematik: Karekök, Doğrusal, Karesel ve Ters Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler

Doğrusal fonksiyonlar, genel olarak \( f(x) = ax + b \) şeklinde yazılabilen fonksiyonlardır. Bu fonksiyonlarda x'in en yüksek derecesi 1'dir.

• A seçeneğindeki \( f(x) = x^2 + 3 \) fonksiyonunda x'in derecesi 2'dir, bu yüzden karesel bir fonksiyondur.
• B seçeneğindeki \( g(x) = 2x - 1 \) fonksiyonunda x'in derecesi 1'dir ve sabit bir terim (b = -1) vardır. Bu, doğrusal fonksiyon tanımına uyar.
• C seçeneğindeki \( h(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonu, x'in karekökünü aldığı için doğrusal değildir.
• D seçeneğindeki \( k(x) = \frac{1}{x} \) fonksiyonu, x'in paydada olduğu rasyonel bir fonksiyondur ve doğrusal değildir.

Bu nedenle doğru cevap B seçeneğidir. ✅

Bir fonksiyonun tersini bulmak için şu adımları izleriz:

1. Fonksiyonu \( y = f(x) \) şeklinde yazalım: \( y = 3x - 5 \)
2. Denklemde x'i yalnız bırakalım:
• \( y + 5 = 3x \)
• \( x = \frac{y + 5}{3} \)
3. x yerine \( f^{-1}(y) \) ve y yerine x yazarak ters fonksiyonu elde edelim:
• \( f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3} \)

Dolayısıyla, \( f(x) = 3x - 5 \) fonksiyonunun ters fonksiyonu \( f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3} \) olur. 👉

Fonksiyonun değerini hesaplamak için, fonksiyonda x gördüğümüz yere istenen değeri yazarız.

1. Fonksiyonumuz: \( f(x) = x^2 - 4 \)
2. Hesaplanması istenen değer: \( f(3) \)
3. Fonksiyonda x yerine 3 yazalım:
• \( f(3) = (3)^2 - 4 \)
• \( f(3) = 9 - 4 \)
• \( f(3) = 5 \)

Sonuç olarak, \( f(3) = 5 \) bulunur. 👍

Karekök alma işlemi, bir sayının karesini tersine çeviren bir işlemdir.

• Eğer bir fonksiyon \( f(x) = x^2 \) ise, bu bir karesel fonksiyondur.
• Bu fonksiyonun tersi olan karekök alma işlemi ise, \( f^{-1}(x) = \sqrt{x} \) şeklinde ifade edilebilir.
• Ancak, \( f(x) = x^2 \) fonksiyonu birebir ve örten olmadığı için tersi her zaman tek değerli olmaz. Bu nedenle, genellikle karekök fonksiyonları \( f(x) = \sqrt{x} \) olarak ele alınır ve bu fonksiyonun tanım kümesi \( x \ge 0 \) olmalıdır.

Karekök alma işlemi, temel olarak kök fonksiyonları veya rasyonel üslü fonksiyonlar kategorisine girer. 📌

Bu problemi bir doğrusal fonksiyon problemi olarak ele alabiliriz. Hızı \( x \) (km/saat) ve 100 km'deki yakıt tüketimini \( y \) (litre) olarak alalım. İki noktamız var: \( (60, 5) \) ve \( (90, 8) \).

1. Eğimi Bulma: Doğrusal bir fonksiyonun eğimi \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) formülü ile bulunur.
• \( m = \frac{8 - 5}{90 - 60} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \)
2. Fonksiyonu Yazma: Eğim-nokta formülünü kullanarak \( y - y_1 = m(x - x_1) \) denklemini yazabiliriz. \( (60, 5) \) noktasını kullanalım:
• \( y - 5 = \frac{1}{10}(x - 60) \)
• \( y - 5 = \frac{1}{10}x - 6 \)
• \( y = \frac{1}{10}x - 6 + 5 \)
• \( y = \frac{1}{10}x - 1 \)

Bu aracın hızına bağlı yakıt tüketimini gösteren doğrusal fonksiyon \( f(x) = \frac{1}{10}x - 1 \) olur. Bu fonksiyon, hız arttıkça yakıt tüketiminin de arttığını gösterir. 📈

Bu durumda, toplam ücreti hesaplamak için bir doğrusal fonksiyon kullanırız.

• Sabit ücreti \( b \) (TL) ve her bir fotoğraf için alınan ücreti \( a \) (TL/fotoğraf) olarak adlandıralım.
• Toplam ücret \( f(x) \) ise, \( x \) adet fotoğraf için ödenen miktar \( f(x) = ax + b \) şeklinde bir doğrusal fonksiyon olur.
• Elimizdeki bilgilerle iki nokta elde ederiz: \( (5, 25) \) ve \( (8, 34) \).
• Bu noktaları kullanarak \( a \) ve \( b \) değerlerini bulabiliriz:
• \( 25 = 5a + b \)
• \( 34 = 8a + b \)
• İkinci denklemden birinci denklemi çıkarırsak: \( (34 - 25) = (8a - 5a) + (b - b) \)
• \( 9 = 3a \Rightarrow a = 3 \)
• Bulduğumuz \( a \) değerini ilk denkleme yerine koyarsak: \( 25 = 5(3) + b \Rightarrow 25 = 15 + b \Rightarrow b = 10 \)

Bu durumda, her bir fotoğraf için alınan ücret 3 TL ve sabit ücret 10 TL'dir. Fonksiyon \( f(x) = 3x + 10 \) olur. 💰

Bileşke fonksiyon \( (f \circ g)(x) \), \( f(g(x)) \) şeklinde hesaplanır. Yani, \( g(x) \) fonksiyonunu \( f(x) \) fonksiyonunda x yerine yazarız.

1. Verilen fonksiyonlar:
• \( f(x) = 2x + 1 \)
• \( g(x) = x^2 - 3 \)
2. \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \) işlemini yapalım:
• \( f(g(x)) = f(x^2 - 3) \)
• Şimdi \( f(x) \) fonksiyonunda x yerine \( x^2 - 3 \) yazalım:
• \( f(x^2 - 3) = 2(x^2 - 3) + 1 \)
• Dağılma özelliğini uygulayalım:
• \( 2x^2 - 6 + 1 \)
• Sadeleştirelim:
• \( 2x^2 - 5 \)

Dolayısıyla, \( (f \circ g)(x) = 2x^2 - 5 \) olur. Bu, karesel bir fonksiyondur. ✨

Karekök fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Yani, kök içindeki ifade sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmalıdır.

1. Fonksiyonumuz: \( f(x) = \sqrt{x-2} \)
2. Kök içindeki ifade: \( x-2 \)
3. Tanım kümesi için koşul: \( x-2 \ge 0 \)
4. Bu eşitsizliği çözelim:
• \( x \ge 2 \)

Bu durumda, fonksiyonun tanım kümesi \( [2, \infty) \) aralığıdır. Bu, x'in 2'ye eşit veya 2'den büyük tüm reel sayılar olabileceği anlamına gelir. 🗺️