🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karekök, Cebirsel, Doğrusal Ve Rasyonel Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karekök, Cebirsel, Doğrusal Ve Rasyonel Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Karekök Fonksiyonun Tanım Kümesi
Aşağıda verilen \( f(x) = \sqrt{x-5} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Aşağıda verilen \( f(x) = \sqrt{x-5} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bir karekök fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için karekök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir. Yani negatif olamaz. ✅
Adım adım çözüm:
Adım adım çözüm:
- 👉 Fonksiyonumuz \( f(x) = \sqrt{x-5} \) şeklindedir.
- 👉 Karekök içindeki ifade \( x-5 \) olduğundan, bu ifadenin pozitif veya sıfır olması gerekmektedir.
- Bu durumu matematiksel olarak şu şekilde ifade ederiz: \( x-5 \ge 0 \)
- 👉 Eşitsizliği çözmek için -5'i eşitsizliğin diğer tarafına atarız: \( x \ge 5 \)
- 📌 Bu durumda, fonksiyonun en geniş tanım kümesi 5 ve 5'ten büyük tüm gerçek sayılardır.
- Aralık gösterimiyle: \( [5, \infty) \)
Örnek 2:
🔍 Karekök Fonksiyonun Değerini Hesaplama
\( f(x) = \sqrt{3x+1} \) fonksiyonu için \( f(5) \) değerini hesaplayınız.
\( f(x) = \sqrt{3x+1} \) fonksiyonu için \( f(5) \) değerini hesaplayınız.
Çözüm:
Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değerini bulmak için, fonksiyondaki x yerine o değeri yazarız. ✅
Adım adım çözüm:
Adım adım çözüm:
- 👉 Fonksiyonumuz \( f(x) = \sqrt{3x+1} \) şeklindedir.
- 👉 Bizden \( f(5) \) değeri istendiği için, fonksiyondaki her \( x \) yerine 5 yazmalıyız.
- \( f(5) = \sqrt{3 \cdot 5 + 1} \)
- 👉 Çarpma işlemini yaparız: \( f(5) = \sqrt{15 + 1} \)
- 👉 Toplama işlemini yaparız: \( f(5) = \sqrt{16} \)
- 👉 Karekökünü alırız: \( f(5) = 4 \)
- 📌 Sonuç olarak, \( f(5) \) değeri 4'tür.
Örnek 3:
📐 Doğrusal Fonksiyon Denklemi Bulma
A ve B noktaları sırasıyla \( A(2, 7) \) ve \( B(5, 13) \) olduğuna göre, bu noktalardan geçen doğrusal fonksiyonun denklemini bulunuz.
A ve B noktaları sırasıyla \( A(2, 7) \) ve \( B(5, 13) \) olduğuna göre, bu noktalardan geçen doğrusal fonksiyonun denklemini bulunuz.
Çözüm:
İki noktası bilinen bir doğrunun denklemini bulmak için önce eğimini (m), sonra da nokta-eğim formülünü kullanırız. 💡
Adım adım çözüm:
Adım adım çözüm:
- 👉 1. Adım: Eğim (m) hesaplama.
Verilen noktalar \( (x_1, y_1) = (2, 7) \) ve \( (x_2, y_2) = (5, 13) \).
Eğim formülü: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( m = \frac{13 - 7}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2 \) - 👉 2. Adım: Doğrusal fonksiyon denklemini bulma.
Doğrusal fonksiyon denklemi \( y = mx + b \) şeklindedir. Eğim \( m=2 \) olduğuna göre, denklemimiz \( y = 2x + b \) olur.
Bu denklemde \( b \) değerini bulmak için verilen noktalardan herhangi birini (örneğin A(2, 7)) yerine yazarız.
\( 7 = 2 \cdot 2 + b \)
\( 7 = 4 + b \)
\( b = 7 - 4 = 3 \) - 📌 Böylece doğrusal fonksiyonun denklemi \( y = 2x + 3 \) olarak bulunur. ✅
Örnek 4:
🚕 Günlük Hayatta Doğrusal Fonksiyonlar - Taksi Ücreti
Bir takside açılış ücreti 15 TL'dir ve her kilometre için 8 TL ücret alınmaktadır. Bu taksiye binen bir müşterinin ödeyeceği toplam ücreti, gidilen kilometre cinsinden ifade eden doğrusal fonksiyonu yazınız. Ayrıca, 12 kilometre yol giden bir müşteri kaç TL öder?
Bir takside açılış ücreti 15 TL'dir ve her kilometre için 8 TL ücret alınmaktadır. Bu taksiye binen bir müşterinin ödeyeceği toplam ücreti, gidilen kilometre cinsinden ifade eden doğrusal fonksiyonu yazınız. Ayrıca, 12 kilometre yol giden bir müşteri kaç TL öder?
Çözüm:
Günlük hayatta birçok durum doğrusal fonksiyonlarla modellenebilir. Taksi ücreti de bunlardan biridir. 📈
Adım adım çözüm:
Adım adım çözüm:
- 👉 1. Adım: Fonksiyonu tanımlama.
Gidilen kilometre sayısını \( x \) ile gösterelim.
Ödenecek toplam ücreti \( f(x) \) ile gösterelim.
Sabit açılış ücreti (başlangıç değeri) 15 TL'dir. Bu, fonksiyonun \( b \) değeridir.
Her kilometre için alınan ücret (değişim oranı) 8 TL'dir. Bu, fonksiyonun eğimi \( m \) değeridir.
Doğrusal fonksiyon denklemi \( f(x) = mx + b \) şeklinde olduğundan:
\( f(x) = 8x + 15 \) - 👉 2. Adım: 12 kilometre için ödenecek ücreti hesaplama.
Bu durumda \( x = 12 \) olacağı için, \( f(12) \) değerini hesaplarız.
\( f(12) = 8 \cdot 12 + 15 \)
\( f(12) = 96 + 15 \)
\( f(12) = 111 \) - 📌 Buna göre, fonksiyon denklemi \( f(x) = 8x + 15 \)'tir ve 12 kilometre yol giden bir müşteri 111 TL öder. ✅
Örnek 5:
💡 Rasyonel Fonksiyonun Tanım Kümesi
Aşağıda verilen \( f(x) = \frac{x+3}{x-4} \) rasyonel fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Aşağıda verilen \( f(x) = \frac{x+3}{x-4} \) rasyonel fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bir rasyonel fonksiyonun tanımlı olabilmesi için paydasının sıfırdan farklı olması gerekir. Paydayı sıfır yapan değerler tanım kümesinden çıkarılır. 🚫
Adım adım çözüm:
Adım adım çözüm:
- 👉 Fonksiyonumuz \( f(x) = \frac{x+3}{x-4} \) şeklindedir.
- 👉 Paydadaki ifade \( x-4 \) olduğundan, bu ifadenin sıfır olmaması gerekmektedir.
- Bu durumu matematiksel olarak şu şekilde ifade ederiz: \( x-4 \neq 0 \)
- 👉 Eşitsizliği çözmek için -4'ü eşitsizliğin diğer tarafına atarız: \( x \neq 4 \)
- 📌 Bu durumda, fonksiyonun en geniş tanım kümesi 4 hariç tüm gerçek sayılardır.
- Aralık gösterimiyle: \( \mathbb{R} \setminus \{4\} \)
Örnek 6:
🔍 Rasyonel Fonksiyonun Değerini Hesaplama
\( f(x) = \frac{2x^2 - 1}{x+3} \) fonksiyonu için \( f(-2) \) değerini hesaplayınız.
\( f(x) = \frac{2x^2 - 1}{x+3} \) fonksiyonu için \( f(-2) \) değerini hesaplayınız.
Çözüm:
Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değerini bulmak için, fonksiyondaki x yerine o değeri yazarız. Paydanın sıfır olup olmadığını kontrol etmeyi unutmayın! ✅
Adım adım çözüm:
Adım adım çözüm:
- 👉 Fonksiyonumuz \( f(x) = \frac{2x^2 - 1}{x+3} \) şeklindedir.
- 👉 Bizden \( f(-2) \) değeri istendiği için, fonksiyondaki her \( x \) yerine -2 yazmalıyız.
- Öncelikle paydanın sıfır olup olmadığını kontrol edelim: \( -2+3 = 1 \neq 0 \). Fonksiyon \( x=-2 \) noktasında tanımlıdır.
- Şimdi \( x=-2 \) değerini fonksiyonda yerine yazalım: \( f(-2) = \frac{2 \cdot (-2)^2 - 1}{-2 + 3} \)
- 👉 Üslü ifadeyi hesaplarız: \( (-2)^2 = 4 \)
\( f(-2) = \frac{2 \cdot 4 - 1}{1} \) - 👉 Çarpma ve çıkarma işlemlerini yaparız:
\( f(-2) = \frac{8 - 1}{1} \) - \( f(-2) = \frac{7}{1} \)
- \( f(-2) = 7 \)
- 📌 Sonuç olarak, \( f(-2) \) değeri 7'dir.
Örnek 7:
➕➖✖️ Fonksiyonlarda Dört İşlem (Cebirsel Fonksiyonlar)
\( f(x) = x+4 \) ve \( g(x) = x^2-3x \) fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, aşağıdaki cebirsel işlemleri gerçekleştiriniz:
\( f(x) = x+4 \) ve \( g(x) = x^2-3x \) fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, aşağıdaki cebirsel işlemleri gerçekleştiriniz:
- \( (f+g)(x) \)
- \( (f \cdot g)(x) \)
Çözüm:
Fonksiyonlarda dört işlem yaparken, fonksiyonların tanımlarını birleştiririz. 💡
Adım adım çözüm:
Adım adım çözüm:
- 👉 1. \( (f+g)(x) \) işlemini yapalım:
\( (f+g)(x) = f(x) + g(x) \) şeklinde yazılır.
\( (f+g)(x) = (x+4) + (x^2-3x) \)
Benzer terimleri birleştirelim:
\( (f+g)(x) = x^2 + (x-3x) + 4 \)
\( (f+g)(x) = x^2 - 2x + 4 \) - 👉 2. \( (f \cdot g)(x) \) işlemini yapalım:
\( (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) \) şeklinde yazılır.
\( (f \cdot g)(x) = (x+4) \cdot (x^2-3x) \)
Parantezleri dağıtarak çarpma işlemini yapalım:
\( (f \cdot g)(x) = x \cdot (x^2-3x) + 4 \cdot (x^2-3x) \)
\( (f \cdot g)(x) = x^3 - 3x^2 + 4x^2 - 12x \)
Benzer terimleri birleştirelim:
\( (f \cdot g)(x) = x^3 + (-3x^2+4x^2) - 12x \)
\( (f \cdot g)(x) = x^3 + x^2 - 12x \) - 📌 Sonuç olarak:
1. \( (f+g)(x) = x^2 - 2x + 4 \)
2. \( (f \cdot g)(x) = x^3 + x^2 - 12x \) ✅
Örnek 8:
🧠 Karekök Fonksiyon ve Tam Sayı Değerleri
\( f(x) = \sqrt{20-3x} \) fonksiyonunun sonucunun bir tam sayı olmasını sağlayan kaç farklı doğal sayı \( x \) değeri vardır?
\( f(x) = \sqrt{20-3x} \) fonksiyonunun sonucunun bir tam sayı olmasını sağlayan kaç farklı doğal sayı \( x \) değeri vardır?
Çözüm:
Bu tür "yeni nesil" sorular, hem tanım kümesi hem de fonksiyonun değer kümesi hakkında düşünmeyi gerektirir. Karekökün içini pozitif yapmalı ve sonucun tam sayı olması için karekök içi bir tam kare olmalıdır. 💡
Adım adım çözüm:
Adım adım çözüm:
- 👉 1. Adım: Tanım kümesini belirleme.
Karekök içindeki ifade \( 20-3x \) sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır:
\( 20-3x \ge 0 \)
\( 20 \ge 3x \)
\( \frac{20}{3} \ge x \)
\( x \le 6.66... \) - 👉 2. Adım: \( x \) doğal sayı olduğu için olası \( x \) değerlerini belirleme.
\( x \) doğal sayı olduğundan ve \( x \le 6.66... \) koşulunu sağladığından, \( x \) değerleri şunlar olabilir:
\( x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) - 👉 3. Adım: Karekök içini tam kare yapan \( x \) değerlerini bulma.
\( f(x) \) sonucunun bir tam sayı olması için \( 20-3x \) ifadesinin bir tam kare (0, 1, 4, 9, 16, 25, ...) olması gerekir.
Ayrıca, \( 20-3x \) ifadesi \( x \le 6.66... \) olduğundan, \( 20-3x \ge 20 - 3 \cdot 6 = 2 \). (En küçük \( x \) olan 0 için \( 20-3(0)=20 \)).
Olası tam kare değerler: 0, 1, 4, 9, 16. (25 olamaz çünkü \( 20-3x \le 20 \))
Şimdi bu tam kare değerleri tek tek inceleyelim:- a) \( 20-3x = 0 \) ise:
\( 3x = 20 \implies x = \frac{20}{3} \) (Doğal sayı değil, elendi.) - b) \( 20-3x = 1 \) ise:
\( 3x = 19 \implies x = \frac{19}{3} \) (Doğal sayı değil, elendi.) - c) \( 20-3x = 4 \) ise:
\( 3x = 16 \implies x = \frac{16}{3} \) (Doğal sayı değil, elendi.) - d) \( 20-3x = 9 \) ise:
\( 3x = 11 \implies x = \frac{11}{3} \) (Doğal sayı değil, elendi.) - e) \( 20-3x = 16 \) ise:
\( 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3} \) (Doğal sayı değil, elendi.)
- a) \( 20-3x = 0 \) ise:
😱 Bir an için "hiç yokmuş gibi" görünebilir, ancak dikkatli bakalım. \( x \) değerlerini tek tek deneyelim ve \( 20-3x \) ifadesinin tam kare olup olmadığını kontrol edelim:
- \( x=0 \implies 20-3(0) = 20 \) (Tam kare değil)
- \( x=1 \implies 20-3(1) = 17 \) (Tam kare değil)
- \( x=2 \implies 20-3(2) = 14 \) (Tam kare değil)
- \( x=3 \implies 20-3(3) = 11 \) (Tam kare değil)
- \( x=4 \implies 20-3(4) = 8 \) (Tam kare değil)
- \( x=5 \implies 20-3(5) = 5 \) (Tam kare değil)
- \( x=6 \implies 20-3(6) = 2 \) (Tam kare değil)
- 📌 Bu durumda, \( f(x) = \sqrt{20-3x} \) fonksiyonunun sonucunun bir tam sayı olmasını sağlayan hiçbir doğal sayı \( x \) değeri yoktur. Gözden kaçan bir yer olmaması için tekrar kontrol ediyorum. Evet, sonuç bu şekilde.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karekok-cebirsel-dogrusal-ve-rasyonel-fonksiyonlar/sorular