🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karasel fonksiyon Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karasel fonksiyon Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir f fonksiyonu \( f(x) = 3x + 2 \) olarak tanımlanıyor. Buna göre \( f(4) \) değerini bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu soruda, verilen fonksiyonun kuralını kullanarak belirli bir \( x \) değeri için fonksiyonun çıktısını bulmamız isteniyor.
- Adım 1: Fonksiyonun kuralını hatırlayalım: \( f(x) = 3x + 2 \).
- Adım 2: \( f(4) \) değerini bulmak için fonksiyonda \( x \) yerine 4 yazmalıyız.
- Adım 3: \( f(4) = 3 \times 4 + 2 \) işlemini yapalım.
- Adım 4: Çarpma işlemini öncelikli olarak yapalım: \( 3 \times 4 = 12 \).
- Adım 5: Elde ettiğimiz sonucu toplama işlemine dahil edelim: \( 12 + 2 = 14 \).
Örnek 2:
g fonksiyonu \( g(x) = x^2 - 5 \) olarak verilsin. \( g(-2) \) değerini hesaplayınız. 🤔
Çözüm:
Fonksiyonun kuralını kullanarak \( x = -2 \) için \( g(x) \) değerini bulacağız.
- Adım 1: Fonksiyonun kuralı: \( g(x) = x^2 - 5 \).
- Adım 2: \( x \) yerine -2 yazalım: \( g(-2) = (-2)^2 - 5 \).
- Adım 3: Üslü ifadeyi hesaplayalım: \( (-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4 \).
- Adım 4: Elde ettiğimiz sonucu çıkarma işleminde kullanalım: \( 4 - 5 = -1 \).
Örnek 3:
h fonksiyonu \( h(x) = \frac{x+1}{2} \) şeklinde tanımlanmıştır. \( h(a) = 5 \) olduğuna göre, \( a \) değeri kaçtır? ❓
Çözüm:
Bu soruda, fonksiyonun çıktısı verilmiş ve bizden girdiyi (yani \( a \) değerini) bulmamız isteniyor.
- Adım 1: Fonksiyonun kuralı \( h(x) = \frac{x+1}{2} \).
- Adım 2: \( h(a) = 5 \) bilgisini kullanarak denklem kuralım: \( \frac{a+1}{2} = 5 \).
- Adım 3: Denklemi \( a \) için çözelim. Öncelikle her iki tarafı 2 ile çarpalım: \( a+1 = 5 \times 2 \).
- Adım 4: Çarpma işlemini yapalım: \( a+1 = 10 \).
- Adım 5: \( a \) değerini yalnız bırakmak için her iki taraftan 1 çıkaralım: \( a = 10 - 1 \).
- Adım 6: Sonucu bulalım: \( a = 9 \).
Örnek 4:
K(x) fonksiyonu \( K(x) = 2x - 1 \) ve L(x) fonksiyonu \( L(x) = x + 3 \) olarak verilmiştir. \( (K \circ L)(2) \) bileşke fonksiyonunun değerini hesaplayınız. 🔄
Çözüm:
Bileşke fonksiyon, bir fonksiyonun çıktısının diğer fonksiyonun girdisi olarak kullanılmasıdır. \( (K \circ L)(2) \) demek, \( K(L(2)) \) demektir.
- Adım 1: Önce içteki fonksiyonu, yani \( L(2) \) değerini hesaplayalım.
- Adım 2: \( L(x) = x + 3 \) olduğundan, \( L(2) = 2 + 3 = 5 \) olur.
- Adım 3: Şimdi bulduğumuz \( L(2) \) değerini (yani 5'i) K fonksiyonunda yerine koyalım: \( K(L(2)) = K(5) \).
- Adım 4: \( K(x) = 2x - 1 \) olduğundan, \( K(5) = 2 \times 5 - 1 \) işlemini yapalım.
- Adım 5: Çarpma işlemini yapalım: \( 2 \times 5 = 10 \).
- Adım 6: Sonucu çıkarma işleminde kullanalım: \( 10 - 1 = 9 \).
Örnek 5:
Bir yazılım geliştirici, bir metnin karakter sayısını hesaplayan bir fonksiyon yazmak istiyor. Fonksiyon, metnin uzunluğuna göre bir ücretlendirme yapacak. Eğer metin 100 karakterden az ise, karakter başına 0.5 TL ücret alınıyor. Eğer metin 100 karakter veya daha fazla ise, ilk 100 karakter için 0.5 TL/karakter ve fazladan her karakter için 0.75 TL/karakter ücret alınıyor. Bu durumu ifade eden bir fonksiyon \( Ucret(k) \) yazınız, burada \( k \) metnin karakter sayısıdır. 💰
Çözüm:
Bu problemi, karakter sayısına (k) bağlı olarak değişen iki farklı kuralı olan parçalı bir fonksiyon ile ifade edebiliriz.
- Adım 1: Durum 1: Metin 100 karakterden az ise (\( k < 100 \)).
- Adım 2: Bu durumda ücret, karakter sayısı ile karakter başına ücretin çarpımıdır: \( Ucret(k) = k \times 0.5 \) TL.
- Adım 3: Durum 2: Metin 100 karakter veya daha fazla ise (\( k \ge 100 \)).
- Adım 4: Bu durumda ücret iki kısımdan oluşur:
- İlk 100 karakterin ücreti: \( 100 \times 0.5 \) TL.
- Kalan karakterlerin ücreti: \( (k - 100) \times 0.75 \) TL.
- Adım 5: Toplam ücreti hesaplayalım: \( Ucret(k) = (100 \times 0.5) + (k - 100) \times 0.75 \) TL.
- Adım 6: İlk 100 karakterin ücretini hesaplayalım: \( 100 \times 0.5 = 50 \) TL.
- Adım 7: Fonksiyonun ikinci kısmını düzenleyelim: \( Ucret(k) = 50 + 0.75k - 75 \) TL.
- Adım 8: Sabit terimleri birleştirelim: \( Ucret(k) = 0.75k - 25 \) TL.
Örnek 6:
Bir taksi şirketi, yolculuk mesafesine göre ücretlendirme yapmaktadır. Sabit bir açılış ücreti ve kilometre başına bir ücret alınmaktadır. Eğer yolculuk 10 kilometreden az ise, açılış ücreti 15 TL ve kilometre başına 4 TL alınmaktadır. Eğer yolculuk 10 kilometre veya daha fazla ise, açılış ücreti 15 TL'dir ancak kilometre başına ücret 3 TL'ye düşmektedir. Bu durumu ifade eden bir fonksiyon \( Taks ücreti(m) \) yazınız, burada \( m \) yolculuğun kilometre cinsinden mesafesidir. 🚕
Çözüm:
Bu senaryoyu, mesafeye (m) göre değişen iki farklı kuralı olan parçalı bir fonksiyon ile modelleyebiliriz.
- Adım 1: Durum 1: Yolculuk mesafesi 10 kilometreden az ise (\( m < 10 \)).
- Adım 2: Bu durumda toplam ücret, sabit açılış ücreti ile mesafenin kilometre başına ücret ile çarpımının toplamıdır: \( Taks ücreti(m) = 15 + 4m \) TL.
- Adım 3: Durum 2: Yolculuk mesafesi 10 kilometre veya daha fazla ise (\( m \ge 10 \)).
- Adım 4: Bu durumda toplam ücret, sabit açılış ücreti ile mesafenin yeni kilometre başına ücret ile çarpımının toplamıdır: \( Taks ücreti(m) = 15 + 3m \) TL.
Örnek 7:
Bir makinenin üretim maliyeti, üretilen parça sayısına bağlıdır. Üretilen parça sayısı \( x \) olmak üzere, toplam maliyet \( C(x) \) fonksiyonu \( C(x) = 500 + 10x \) şeklinde verilmiştir. Eğer bir parçanın satış fiyatı 15 TL ise, bu makinenin zarar etmemesi için en az kaç parça üretmesi gerektiğini bulunuz. 📈
Çözüm:
Zarar etmemek demek, toplam gelirin toplam maliyete eşit veya ondan büyük olması demektir.
- Adım 1: Toplam maliyet fonksiyonunu biliyoruz: \( C(x) = 500 + 10x \).
- Adım 2: Toplam geliri hesaplayalım. Bir parçanın satış fiyatı 15 TL ise ve \( x \) parça üretilirse, toplam gelir \( G(x) = 15x \) olur.
- Adım 3: Zarar etmemek için \( G(x) \ge C(x) \) olmalıdır. Bu eşitsizliği kuralım: \( 15x \ge 500 + 10x \).
- Adım 4: Eşitsizliği \( x \) için çözelim. Her iki taraftan \( 10x \) çıkaralım: \( 15x - 10x \ge 500 \).
- Adım 5: Çıkarma işlemini yapalım: \( 5x \ge 500 \).
- Adım 6: Eşitsizliğin her iki tarafını 5'e bölelim: \( x \ge \frac{500}{5} \).
- Adım 7: Bölme işlemini yapalım: \( x \ge 100 \).
Örnek 8:
Bir f fonksiyonu \( f(x) = ax + b \) şeklinde lineer bir fonksiyondur. \( f(1) = 7 \) ve \( f(3) = 13 \) olduğuna göre, \( a \) ve \( b \) değerlerini bulunuz. 🧮
Çözüm:
Verilen bilgilerle iki bilinmeyenli iki denklem kurarak \( a \) ve \( b \) değerlerini bulabiliriz.
- Adım 1: \( f(1) = 7 \) bilgisini kullanarak denklem kuralım. Fonksiyon kuralında \( x \) yerine 1 yazalım: \( a(1) + b = 7 \), yani \( a + b = 7 \). (Denklem 1)
- Adım 2: \( f(3) = 13 \) bilgisini kullanarak ikinci bir denklem kuralım. Fonksiyon kuralında \( x \) yerine 3 yazalım: \( a(3) + b = 13 \), yani \( 3a + b = 13 \). (Denklem 2)
- Adım 3: Bu iki denklemi çözmek için yok etme veya yerine koyma yöntemini kullanabiliriz. Denklem 2'den Denklem 1'i çıkaralım: \( (3a + b) - (a + b) = 13 - 7 \).
- Adım 4: Çıkarma işlemini yapalım: \( 3a + b - a - b = 6 \), bu da \( 2a = 6 \) eder.
- Adım 5: \( a \) değerini bulmak için her iki tarafı 2'ye bölelim: \( a = \frac{6}{2} \), yani \( a = 3 \).
- Adım 6: Bulduğumuz \( a = 3 \) değerini Denklem 1'de yerine koyarak \( b \) değerini bulalım: \( 3 + b = 7 \).
- Adım 7: \( b \) değerini yalnız bırakmak için her iki taraftan 3 çıkaralım: \( b = 7 - 3 \), yani \( b = 4 \).
Örnek 9:
Bir çiftçi, tarlasına ekeceği buğday miktarını planlamaktadır. Tarlasının alanı 500 metrekaredir. Her metrekareye ekilecek buğday miktarı, hava koşullarına bağlı olarak değişmektedir. Eğer hava yağışlı ise, metrekare başına 2 kg buğday ekiliyor. Eğer hava kurak ise, metrekare başına 3 kg buğday ekiliyor. Bu durumu ifade eden bir fonksiyon \( BugdayMiktari(h) \) yazınız, burada \( h \) hava durumunu temsil etmektedir ('yagışlı' veya 'kurak'). 🌾
Çözüm:
Bu durumu, hava durumuna göre değişen iki farklı kuralı olan bir fonksiyon ile ifade edebiliriz.
- Adım 1: Tarlanın toplam alanı 500 metrekaredir.
- Adım 2: Durum 1: Hava yağışlı ise.
- Adım 3: Bu durumda metrekare başına 2 kg buğday ekilecektir. Toplam buğday miktarı: \( BugdayMiktari(\text{'yagışlı'}) = 500 \times 2 \) kg.
- Adım 4: Hesaplama yapalım: \( 500 \times 2 = 1000 \) kg.
- Adım 5: Durum 2: Hava kurak ise.
- Adım 6: Bu durumda metrekare başına 3 kg buğday ekilecektir. Toplam buğday miktarı: \( BugdayMiktari(\text{'kurak'}) = 500 \times 3 \) kg.
- Adım 7: Hesaplama yapalım: \( 500 \times 3 = 1500 \) kg.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karasel-fonksiyon/sorular