💡 10. Sınıf Matematik: Karakök Çözümlü Örnekler

Bir sayının karesi \( 49 \) ise, bu sayı \( 49 \) sayısının kareköküne veya bu karekökün negatifine eşittir.

• Adım 1: Denklemi yazalım: \( x^2 = 49 \)
• Adım 2: Her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{x^2} = \sqrt{49} \)
• Adım 3: Mutlak değer tanımını hatırlayalım: \( |x| = 7 \)
• Adım 4: Buradan iki farklı çözüm elde ederiz: \( x = 7 \) veya \( x = -7 \)

Denklemi çözmek için \( x^2 \) ifadesini yalnız bırakmalıyız:

• Adım 1: Sabit terimi karşıya atalım: \( x^2 = 12 \)
• Adım 2: Her iki tarafın karekökünü alalım: \( x = \sqrt{12} \) veya \( x = -\sqrt{12} \)
• Adım 3: \( 12 \) sayısını çarpanlarına ayıralım: \( 12 = 4 \times 3 \)
• Adım 4: Tam kare olan \( 4 \) sayısını kök dışına çıkaralım: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \)

Negatif sayıların karekökü gerçek sayılar kümesinde tanımlı değildir, ancak karmaşık sayılar kümesinde tanımlıdır.

• Adım 1: \( i^2 = -1 \) olduğunu hatırlayalım. Bu durumda \( \sqrt{-1} = i \) olur.
• Adım 2: İlk terimi düzenleyelim: \( \sqrt{-16} = \sqrt{16 \times (-1)} = 4i \)
• Adım 3: İkinci terimi düzenleyelim: \( \sqrt{-25} = \sqrt{25 \times (-1)} = 5i \)
• Adım 4: Bulduğumuz sonuçları toplayalım: \( 4i + 5i = 9i \)

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için önce diskriminantı hesaplamalıyız:

• Adım 1: Katsayıları belirleyelim: \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 1 \)
• Adım 2: Diskriminant formülünü uygulayalım: \( \Delta = b^2 - 4ac \)
• Adım 3: Değerleri yerine koyalım: \( \Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 16 - 4 = 12 \)
• Adım 4: Kök formülünü kullanalım: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
• Adım 5: \( \sqrt{\Delta} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) olduğunu biliyoruz.
• Adım 6: Kökleri yazalım: \( x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} \)

Kare bahçenin alanı \( A = a^2 \) formülü ile hesaplanır.

• Adım 1: Bir kenar uzunluğuna \( x \) dersek, \( x^2 = 150 \) olur.
• Adım 2: Kenar uzunluğu pozitif olacağı için \( x = \sqrt{150} \) birimdir.
• Adım 3: \( 150 \) sayısına en yakın tam kare sayıları belirleyelim:
  • \( 12^2 = 144 \)
  • \( 13^2 = 169 \)
• Adım 4: \( 144 < 150 < 169 \) olduğu için, kareköklerini aldığımızda \( 12 < \sqrt{150} < 13 \) sonucuna ulaşırız.

Verilen formülde yükseklik değerini yerine yazarak süreyi hesaplayalım:

• Adım 1: Formül: \( t = \sqrt{\frac{h}{5}} \)
• Adım 2: \( h = 80 \) değerini yerine koyalım: \( t = \sqrt{\frac{80}{5}} \)
• Adım 3: Bölme işlemini yapalım: \( \frac{80}{5} = 16 \)
• Adım 4: Karekökü hesaplayalım: \( t = \sqrt{16} \)
• Adım 5: \( 16 \) tam kare bir sayı olduğu için \( t = 4 \) bulunur.

Bu denklemin gerçek sayılarda çözümü yoktur çünkü bir sayının karesi negatif olamaz. Karmaşık sayılarda çözelim:

• Adım 1: Sabit terimi karşıya atalım: \( x^2 = -9 \)
• Adım 2: Her iki tarafın karekökünü alalım: \( x = \pm \sqrt{-9} \)
• Adım 3: Kök içindeki negatifi \( i \) cinsinden yazalım: \( \sqrt{-9} = \sqrt{9 \times (-1)} = 3i \)
• Adım 4: Çözümleri belirtelim: \( x_1 = 3i \) ve \( x_2 = -3i \)

Pisagor teoremini kullanarak bilinmeyen kenarı bulabiliriz:

• Adım 1: Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• Adım 2: Verilenleri yerine yazalım: \( 4^2 + x^2 = 8^2 \)
• Adım 3: Kareleri hesaplayalım: \( 16 + x^2 = 64 \)
• Adım 4: \( x^2 \) ifadesini yalnız bırakalım: \( x^2 = 64 - 16 \Rightarrow x^2 = 48 \)
• Adım 5: Karekök alalım: \( x = \sqrt{48} \)
• Adım 6: Kök dışına çıkaralım: \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} \)