İkinci dereceden denklemlerin çözümünde karakök kullanımı:
Karesi \( 49 \) olan gerçek sayıları bulalım. Bu durum matematiksel olarak \( x^2 = 49 \) denklemi ile ifade edilir. Bu denklemi sağlayan \( x \) değerleri nelerdir? 🔍
Çözüm ve Açıklama
Bir sayının karesi \( 49 \) ise, bu sayı \( 49 \) sayısının kareköküne veya bu karekökün negatifine eşittir.
Adım 1: Denklemi yazalım: \( x^2 = 49 \)
Adım 2: Her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{x^2} = \sqrt{49} \)
Adım 3: Mutlak değer tanımını hatırlayalım: \( |x| = 7 \)
Adım 4: Buradan iki farklı çözüm elde ederiz: \( x = 7 \) veya \( x = -7 \)
✅ Çözüm kümesi: \( \{ -7, 7 \} \)
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Tam kare olmayan ifadelerin kök dışına çıkarılması:
Adım 4: Kök formülünü kullanalım: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
Adım 5: \( \sqrt{\Delta} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) olduğunu biliyoruz.
Adım 6: Kökleri yazalım: \( x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} \)
📌 Sadeleştirme yapıldığında kökler: \( x_1 = 2 + \sqrt{3} \) ve \( x_2 = 2 - \sqrt{3} \) bulunur.
5
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Geometrik Uygulama:
Alanı \( 150 \) birimkare olan kare şeklindeki bir bahçenin bir kenar uzunluğu, \( x^2 - a = 0 \) denkleminin pozitif köküne eşittir. Bu bahçenin bir kenar uzunluğunun yaklaşık değerini, hangi iki tam sayı arasında olduğunu bularak tahmin ediniz. 🏡
Çözüm ve Açıklama
Kare bahçenin alanı \( A = a^2 \) formülü ile hesaplanır.
Adım 1: Bir kenar uzunluğuna \( x \) dersek, \( x^2 = 150 \) olur.
Adım 2: Kenar uzunluğu pozitif olacağı için \( x = \sqrt{150} \) birimdir.
Adım 3: \( 150 \) sayısına en yakın tam kare sayıları belirleyelim:
\( 12^2 = 144 \)
\( 13^2 = 169 \)
Adım 4: \( 144 < 150 < 169 \) olduğu için, kareköklerini aldığımızda \( 12 < \sqrt{150} < 13 \) sonucuna ulaşırız.
✅ Bahçenin bir kenar uzunluğu \( 12 \) ile \( 13 \) birim arasındadır.
6
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Serbest Düşme ve Karakök:
Bir cismin \( h \) metre yükseklikten serbest bırakıldığında yere düşme süresi yaklaşık olarak \( t = \sqrt{\frac{h}{5}} \) formülü ile hesaplanır. \( 80 \) metre yükseklikteki bir kuleden bırakılan bir top kaç saniyede yere düşer? 🏀
Çözüm ve Açıklama
Verilen formülde yükseklik değerini yerine yazarak süreyi hesaplayalım:
Adım 1: Formül: \( t = \sqrt{\frac{h}{5}} \)
Adım 2: \( h = 80 \) değerini yerine koyalım: \( t = \sqrt{\frac{80}{5}} \)
Adım 3: Bölme işlemini yapalım: \( \frac{80}{5} = 16 \)
Adım 4: Karekökü hesaplayalım: \( t = \sqrt{16} \)
Adım 5: \( 16 \) tam kare bir sayı olduğu için \( t = 4 \) bulunur.
Bu denklemin gerçek sayılarda çözümü yoktur çünkü bir sayının karesi negatif olamaz. Karmaşık sayılarda çözelim:
Adım 1: Sabit terimi karşıya atalım: \( x^2 = -9 \)
Adım 2: Her iki tarafın karekökünü alalım: \( x = \pm \sqrt{-9} \)
Adım 3: Kök içindeki negatifi \( i \) cinsinden yazalım: \( \sqrt{-9} = \sqrt{9 \times (-1)} = 3i \)
Adım 4: Çözümleri belirtelim: \( x_1 = 3i \) ve \( x_2 = -3i \)
✅ Çözüm kümesi: \( \{ -3i, 3i \} \)
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Dik Üçgen ve Kenar Bağıntısı:
Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri \( 4 \) cm, hipotenüsü ise \( 8 \) cm'dir. Diğer dik kenarın uzunluğunu \( x^2 = k \) formunda bir denklem kurarak bulunuz. 📐
Çözüm ve Açıklama
Pisagor teoremini kullanarak bilinmeyen kenarı bulabiliriz:
Adım 1: Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Adım 2: Verilenleri yerine yazalım: \( 4^2 + x^2 = 8^2 \)
Adım 4: \( x^2 \) ifadesini yalnız bırakalım: \( x^2 = 64 - 16 \Rightarrow x^2 = 48 \)
Adım 5: Karekök alalım: \( x = \sqrt{48} \)
Adım 6: Kök dışına çıkaralım: \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} \)
✅ Bilinmeyen kenar uzunluğu \( 4\sqrt{3} \) cm'dir.
10. Sınıf Matematik: Karakök Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
İkinci dereceden denklemlerin çözümünde karakök kullanımı:
Karesi \( 49 \) olan gerçek sayıları bulalım. Bu durum matematiksel olarak \( x^2 = 49 \) denklemi ile ifade edilir. Bu denklemi sağlayan \( x \) değerleri nelerdir? 🔍
Çözüm:
Bir sayının karesi \( 49 \) ise, bu sayı \( 49 \) sayısının kareköküne veya bu karekökün negatifine eşittir.
Adım 1: Denklemi yazalım: \( x^2 = 49 \)
Adım 2: Her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{x^2} = \sqrt{49} \)
Adım 3: Mutlak değer tanımını hatırlayalım: \( |x| = 7 \)
Adım 4: Buradan iki farklı çözüm elde ederiz: \( x = 7 \) veya \( x = -7 \)
✅ Çözüm kümesi: \( \{ -7, 7 \} \)
Örnek 2:
Tam kare olmayan ifadelerin kök dışına çıkarılması:
Adım 4: Kök formülünü kullanalım: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
Adım 5: \( \sqrt{\Delta} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) olduğunu biliyoruz.
Adım 6: Kökleri yazalım: \( x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} \)
📌 Sadeleştirme yapıldığında kökler: \( x_1 = 2 + \sqrt{3} \) ve \( x_2 = 2 - \sqrt{3} \) bulunur.
Örnek 5:
Geometrik Uygulama:
Alanı \( 150 \) birimkare olan kare şeklindeki bir bahçenin bir kenar uzunluğu, \( x^2 - a = 0 \) denkleminin pozitif köküne eşittir. Bu bahçenin bir kenar uzunluğunun yaklaşık değerini, hangi iki tam sayı arasında olduğunu bularak tahmin ediniz. 🏡
Çözüm:
Kare bahçenin alanı \( A = a^2 \) formülü ile hesaplanır.
Adım 1: Bir kenar uzunluğuna \( x \) dersek, \( x^2 = 150 \) olur.
Adım 2: Kenar uzunluğu pozitif olacağı için \( x = \sqrt{150} \) birimdir.
Adım 3: \( 150 \) sayısına en yakın tam kare sayıları belirleyelim:
\( 12^2 = 144 \)
\( 13^2 = 169 \)
Adım 4: \( 144 < 150 < 169 \) olduğu için, kareköklerini aldığımızda \( 12 < \sqrt{150} < 13 \) sonucuna ulaşırız.
✅ Bahçenin bir kenar uzunluğu \( 12 \) ile \( 13 \) birim arasındadır.
Örnek 6:
Serbest Düşme ve Karakök:
Bir cismin \( h \) metre yükseklikten serbest bırakıldığında yere düşme süresi yaklaşık olarak \( t = \sqrt{\frac{h}{5}} \) formülü ile hesaplanır. \( 80 \) metre yükseklikteki bir kuleden bırakılan bir top kaç saniyede yere düşer? 🏀
Çözüm:
Verilen formülde yükseklik değerini yerine yazarak süreyi hesaplayalım:
Adım 1: Formül: \( t = \sqrt{\frac{h}{5}} \)
Adım 2: \( h = 80 \) değerini yerine koyalım: \( t = \sqrt{\frac{80}{5}} \)
Adım 3: Bölme işlemini yapalım: \( \frac{80}{5} = 16 \)
Adım 4: Karekökü hesaplayalım: \( t = \sqrt{16} \)
Adım 5: \( 16 \) tam kare bir sayı olduğu için \( t = 4 \) bulunur.
Bu denklemin gerçek sayılarda çözümü yoktur çünkü bir sayının karesi negatif olamaz. Karmaşık sayılarda çözelim:
Adım 1: Sabit terimi karşıya atalım: \( x^2 = -9 \)
Adım 2: Her iki tarafın karekökünü alalım: \( x = \pm \sqrt{-9} \)
Adım 3: Kök içindeki negatifi \( i \) cinsinden yazalım: \( \sqrt{-9} = \sqrt{9 \times (-1)} = 3i \)
Adım 4: Çözümleri belirtelim: \( x_1 = 3i \) ve \( x_2 = -3i \)
✅ Çözüm kümesi: \( \{ -3i, 3i \} \)
Örnek 8:
Dik Üçgen ve Kenar Bağıntısı:
Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri \( 4 \) cm, hipotenüsü ise \( 8 \) cm'dir. Diğer dik kenarın uzunluğunu \( x^2 = k \) formunda bir denklem kurarak bulunuz. 📐
Çözüm:
Pisagor teoremini kullanarak bilinmeyen kenarı bulabiliriz:
Adım 1: Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Adım 2: Verilenleri yerine yazalım: \( 4^2 + x^2 = 8^2 \)