💡 10. Sınıf Matematik: Karakök fonksiyonlarının nitel özellikleri (1) ters fonksiyon (1) denklem ve eşitsizlik (1) sayma stratejileri (2) (ve = çarpma, veya + toplama) algoritma (1) iki nokta arası uzaklık (1) dik koordinat sisteminin özellikleri (2) Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Sayma Stratejileri (Toplama Yoluyla Sayma - "veya")
Bir öğrencinin kitaplığında 6 farklı matematik kitabı ve 5 farklı fizik kitabı bulunmaktadır. Bu öğrenci, bu kitaplar arasından 1 adet matematik veya 1 adet fizik kitabını kaç farklı şekilde seçebilir? 📚
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda "veya" bağlacı kullanıldığı için toplama yoluyla sayma stratejisini uygulamalıyız:
Matematik kitabı sayısı: \( 6 \)
Fizik kitabı sayısı: \( 5 \)
Seçim işlemi "veya" bağlacı ile bağlandığı için sonuç: \( 6 + 5 = 11 \) olarak bulunur.
✅ Öğrenci, 11 farklı seçim yapabilir.
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Sayma Stratejileri (Çarpma Yoluyla Sayma - "ve")
Bir kafede 4 farklı tatlı ve 3 farklı içecek çeşidi vardır. Bir müşteri 1 tatlı ve 1 içecekten oluşan bir menüyü kaç farklı şekilde oluşturabilir? 🍰🥤
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda "ve" bağlacı kullanıldığı için çarpma yoluyla sayma stratejisini uygulamalıyız:
Tatlı seçeneği sayısı: \( 4 \)
İçecek seçeneği sayısı: \( 3 \)
Her bir tatlı için 3 farklı içecek seçilebileceğinden toplam durum sayısı: \( 4 \times 3 = 12 \) olur.
✅ Müşteri, 12 farklı şekilde menü oluşturabilir.
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Algoritma Mantığı
Aşağıda adımları verilen bir matematiksel algoritma tanımlanmıştır:
Adım: Bir \( x \) sayısı gir.
Adım: Sayının karesini al.
Adım: Elde edilen sonuca \( 10 \) ekle.
Adım: Sonucu ekrana yaz.
Bu algoritmaya göre sisteme \( x = 4 \) sayısı girilirse ekranda hangi sayı görünür? 💻
Çözüm ve Açıklama
Algoritma adımlarını sırasıyla uygulayalım:
1. Adım: Girdi değerimiz \( x = 4 \).
2. Adım: Sayının karesini alalım: \( 4^2 = 16 \).
3. Adım: Sonuca 10 ekleyelim: \( 16 + 10 = 26 \).
4. Adım: Sonucu ekrana yazdıralım.
✅ Ekranda görünecek sayı \( 26 \) olur.
4
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Dik Koordinat Sisteminin Özellikleri (Bölgeler)
\( A(a, b) \) noktası dik koordinat sisteminin 2. bölgesinde olduğuna göre, \( a \) ve \( b \) sayılarının işaretleri ne olmalıdır? 📍
Çözüm ve Açıklama
Dik koordinat sisteminde bölgelerin işaret özelliklerini hatırlayalım:
1. Bölge: \( (x > 0, y > 0) \)
2. Bölge: \( (x < 0, y > 0) \)
3. Bölge: \( (x < 0, y < 0) \)
4. Bölge: \( (x > 0, y < 0) \)
Noktamız 2. bölgede olduğu için:
Apsis değeri olan \( a \) negatif olmalıdır: \( a < 0 \)
Ordinat değeri olan \( b \) pozitif olmalıdır: \( b > 0 \)
✅ Sonuç olarak \( a \) negatif, \( b \) pozitiftir.
5
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Dik Koordinat Sisteminin Özellikleri (Eksenler)
\( P(k-3, 2k+4) \) noktası y-ekseni üzerinde olduğuna göre, bu noktanın ordinatı kaçtır? 🎯
Çözüm ve Açıklama
Bir noktanın y-ekseni üzerinde olması için apsis (x) değerinin sıfır olması gerekir.
Apsis: \( k - 3 = 0 \) ise \( k = 3 \) bulunur.
Şimdi bu \( k \) değerini ordinat formülünde yerine yazalım:
Ordinat: \( 2k + 4 \)
\( 2 \times 3 + 4 = 6 + 4 = 10 \)
✅ Noktanın ordinatı \( 10 \) olarak bulunur. Nokta \( P(0, 10) \) şeklindedir.
6
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
İki Nokta Arası Uzaklık
Analitik düzlemde \( A(1, 2) \) ve \( B(5, 5) \) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? 📏
Bir fonksiyonun tersini bulmak için \( x \) değerini yalnız bırakmalıyız:
\( y = 3x - 12 \)
\( -12 \) karşıya artı olarak geçer: \( y + 12 = 3x \)
Her iki tarafı \( 3 \) ile bölelim: \( x = \frac{y + 12}{3} \)
Son adımda \( x \) ile \( y \) yerini değiştirelim:
✅ \( f^{-1}(x) = \frac{x + 12}{3} \) olarak bulunur.
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Karakök Fonksiyonlarının Nitel Özellikleri ve Eşitsizlik
Bir \( f(x) = \sqrt{x - 7} \) fonksiyonunun gerçek sayılarda tanımlı olabilmesi için \( x \) değerlerinin sağlaması gereken en geniş aralığı bulunuz. 🔍
Çözüm ve Açıklama
Karakök fonksiyonlarının (\( \sqrt{g(x)} \)) gerçek sayılarda tanımlı olabilmesi için kök içerisindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
Kural: \( x - 7 \ge 0 \) olmalıdır.
Eşitsizliği çözelim: \( x \ge 7 \)
Bu durum, \( x \) sayısının \( 7 \)'den başlayıp sonsuza kadar gidebileceğini gösterir.
✅ Fonksiyonun en geniş tanım kümesi: \( [7, \infty) \) aralığıdır.
10. Sınıf Matematik: Karakök fonksiyonlarının nitel özellikleri (1) ters fonksiyon (1) denklem ve eşitsizlik (1) sayma stratejileri (2) (ve = çarpma, veya + toplama) algoritma (1) iki nokta arası uzaklık (1) dik koordinat sisteminin özellikleri (2) Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Sayma Stratejileri (Toplama Yoluyla Sayma - "veya")
Bir öğrencinin kitaplığında 6 farklı matematik kitabı ve 5 farklı fizik kitabı bulunmaktadır. Bu öğrenci, bu kitaplar arasından 1 adet matematik veya 1 adet fizik kitabını kaç farklı şekilde seçebilir? 📚
Çözüm:
Bu soruda "veya" bağlacı kullanıldığı için toplama yoluyla sayma stratejisini uygulamalıyız:
Matematik kitabı sayısı: \( 6 \)
Fizik kitabı sayısı: \( 5 \)
Seçim işlemi "veya" bağlacı ile bağlandığı için sonuç: \( 6 + 5 = 11 \) olarak bulunur.
✅ Öğrenci, 11 farklı seçim yapabilir.
Örnek 2:
Sayma Stratejileri (Çarpma Yoluyla Sayma - "ve")
Bir kafede 4 farklı tatlı ve 3 farklı içecek çeşidi vardır. Bir müşteri 1 tatlı ve 1 içecekten oluşan bir menüyü kaç farklı şekilde oluşturabilir? 🍰🥤
Çözüm:
Bu soruda "ve" bağlacı kullanıldığı için çarpma yoluyla sayma stratejisini uygulamalıyız:
Tatlı seçeneği sayısı: \( 4 \)
İçecek seçeneği sayısı: \( 3 \)
Her bir tatlı için 3 farklı içecek seçilebileceğinden toplam durum sayısı: \( 4 \times 3 = 12 \) olur.
✅ Müşteri, 12 farklı şekilde menü oluşturabilir.
Örnek 3:
Algoritma Mantığı
Aşağıda adımları verilen bir matematiksel algoritma tanımlanmıştır:
Adım: Bir \( x \) sayısı gir.
Adım: Sayının karesini al.
Adım: Elde edilen sonuca \( 10 \) ekle.
Adım: Sonucu ekrana yaz.
Bu algoritmaya göre sisteme \( x = 4 \) sayısı girilirse ekranda hangi sayı görünür? 💻
Çözüm:
Algoritma adımlarını sırasıyla uygulayalım:
1. Adım: Girdi değerimiz \( x = 4 \).
2. Adım: Sayının karesini alalım: \( 4^2 = 16 \).
3. Adım: Sonuca 10 ekleyelim: \( 16 + 10 = 26 \).
4. Adım: Sonucu ekrana yazdıralım.
✅ Ekranda görünecek sayı \( 26 \) olur.
Örnek 4:
Dik Koordinat Sisteminin Özellikleri (Bölgeler)
\( A(a, b) \) noktası dik koordinat sisteminin 2. bölgesinde olduğuna göre, \( a \) ve \( b \) sayılarının işaretleri ne olmalıdır? 📍
Çözüm:
Dik koordinat sisteminde bölgelerin işaret özelliklerini hatırlayalım:
1. Bölge: \( (x > 0, y > 0) \)
2. Bölge: \( (x < 0, y > 0) \)
3. Bölge: \( (x < 0, y < 0) \)
4. Bölge: \( (x > 0, y < 0) \)
Noktamız 2. bölgede olduğu için:
Apsis değeri olan \( a \) negatif olmalıdır: \( a < 0 \)
Ordinat değeri olan \( b \) pozitif olmalıdır: \( b > 0 \)
✅ Sonuç olarak \( a \) negatif, \( b \) pozitiftir.
Örnek 5:
Dik Koordinat Sisteminin Özellikleri (Eksenler)
\( P(k-3, 2k+4) \) noktası y-ekseni üzerinde olduğuna göre, bu noktanın ordinatı kaçtır? 🎯
Çözüm:
Bir noktanın y-ekseni üzerinde olması için apsis (x) değerinin sıfır olması gerekir.
Apsis: \( k - 3 = 0 \) ise \( k = 3 \) bulunur.
Şimdi bu \( k \) değerini ordinat formülünde yerine yazalım:
Ordinat: \( 2k + 4 \)
\( 2 \times 3 + 4 = 6 + 4 = 10 \)
✅ Noktanın ordinatı \( 10 \) olarak bulunur. Nokta \( P(0, 10) \) şeklindedir.
Örnek 6:
İki Nokta Arası Uzaklık
Analitik düzlemde \( A(1, 2) \) ve \( B(5, 5) \) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? 📏
Bir fonksiyonun tersini bulmak için \( x \) değerini yalnız bırakmalıyız:
\( y = 3x - 12 \)
\( -12 \) karşıya artı olarak geçer: \( y + 12 = 3x \)
Her iki tarafı \( 3 \) ile bölelim: \( x = \frac{y + 12}{3} \)
Son adımda \( x \) ile \( y \) yerini değiştirelim:
✅ \( f^{-1}(x) = \frac{x + 12}{3} \) olarak bulunur.
Örnek 8:
Karakök Fonksiyonlarının Nitel Özellikleri ve Eşitsizlik
Bir \( f(x) = \sqrt{x - 7} \) fonksiyonunun gerçek sayılarda tanımlı olabilmesi için \( x \) değerlerinin sağlaması gereken en geniş aralığı bulunuz. 🔍
Çözüm:
Karakök fonksiyonlarının (\( \sqrt{g(x)} \)) gerçek sayılarda tanımlı olabilmesi için kök içerisindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
Kural: \( x - 7 \ge 0 \) olmalıdır.
Eşitsizliği çözelim: \( x \ge 7 \)
Bu durum, \( x \) sayısının \( 7 \)'den başlayıp sonsuza kadar gidebileceğini gösterir.
✅ Fonksiyonun en geniş tanım kümesi: \( [7, \infty) \) aralığıdır.