🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karakök Fonksiyon Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karakök Fonksiyon Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
\( f(x) = \sqrt{x-3} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 💡
Çözüm:
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir.
- Karekök içindeki ifade: \( x-3 \)
- Bu ifadenin 0'dan büyük veya eşit olması gerekir: \( x-3 \ge 0 \)
- Eşitsizliği çözersek: \( x \ge 3 \)
Örnek 2:
\( g(x) = \sqrt{5-x} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir? 🤔
Çözüm:
Karekök içindeki ifadenin negatif olmaması şartını kullanacağız.
- Karekök içindeki ifade: \( 5-x \)
- Bu ifadenin 0'dan büyük veya eşit olması gerekir: \( 5-x \ge 0 \)
- Eşitsizliği çözersek: \( 5 \ge x \) veya \( x \le 5 \)
Örnek 3:
\( h(x) = \sqrt{x^2 - 9} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 🧐
Çözüm:
Karekök içindeki \( x^2 - 9 \) ifadesinin negatif olmaması gerekir. Bu bir eşitsizlik sistemidir.
- \( x^2 - 9 \ge 0 \)
- Bunu çarpanlarına ayırırsak: \( (x-3)(x+3) \ge 0 \)
- Bu eşitsizliği sağlayan x değerleri şunlardır: \( x \le -3 \) veya \( x \ge 3 \)
Örnek 4:
\( f(x) = \sqrt{2x-8} + \sqrt{10-2x} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 🎯
Çözüm:
Bu fonksiyonda iki karekök bulunmaktadır. Her iki karekökün de içindeki ifadelerin negatif olmaması gerekir.
- Birinci karekök için: \( 2x-8 \ge 0 \implies 2x \ge 8 \implies x \ge 4 \)
- İkinci karekök için: \( 10-2x \ge 0 \implies 10 \ge 2x \implies 5 \ge x \)
- Her iki koşulu da sağlayan x değerleri için bu iki eşitsizliği birlikte düşünmeliyiz: \( x \ge 4 \) ve \( x \le 5 \)
Örnek 5:
Bir çiftçi, tarlasındaki domateslerin verimini hesaplamak için \( V(x) = \sqrt{x+5} \) fonksiyonunu kullanmaktadır. Burada \( V(x) \) ton cinsinden verimi, \( x \) ise ekilen dönüm sayısını göstermektedir. Çiftçi en az 4 dönüm araziye domates ekebildiğine göre, bu fonksiyonun kullanılabileceği dönüm sayısı aralığını bulunuz. 🧑🌾
Çözüm:
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir.
- Karekök içindeki ifade: \( x+5 \)
- Bu ifadenin 0'dan büyük veya eşit olması gerekir: \( x+5 \ge 0 \implies x \ge -5 \)
- Soruda çiftçinin en az 4 dönüm araziye domates ekebildiği belirtilmiştir. Yani \( x \ge 4 \) olmalıdır.
- Her iki koşulu da sağlayan x değerleri: \( x \ge 4 \) ve \( x \ge -5 \)
Örnek 6:
Bir mühendis, bir köprünün taşıma kapasitesini hesaplamak için \( K(d) = \sqrt{d^2 + 100} \) formülünü kullanıyor. Burada \( K(d) \) ton cinsinden taşıma kapasitesi, \( d \) ise köprünün ayakları arasındaki mesafe (metre) olarak verilmiştir. Eğer köprünün ayakları arasındaki mesafe 10 metreden az olamayacaksa, bu formülün kullanılabileceği mesafe aralığı nedir? 🏗️
Çözüm:
Karekök fonksiyonunun tanımlı olması için karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir.
- Karekök içindeki ifade: \( d^2 + 100 \)
- Bu ifadenin 0'dan büyük veya eşit olması gerekir: \( d^2 + 100 \ge 0 \)
- Herhangi bir reel \( d \) sayısı için \( d^2 \ge 0 \) olduğundan, \( d^2 + 100 \) her zaman \( 100 \) veya daha büyük olacaktır. Yani bu ifade her zaman pozitiftir.
- Soruda köprünün ayakları arasındaki mesafenin 10 metreden az olamayacağı belirtilmiştir. Yani \( d \ge 10 \) olmalıdır.
Örnek 7:
\( f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x-5}} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 🤯
Çözüm:
Bu tür rasyonel ifadelerde karekökün içindeki ifadenin hem negatif olmaması hem de paydanın sıfır olmaması gerekir.
- Karekök içindeki ifade: \( \frac{x-1}{x-5} \)
- Bu ifadenin 0'dan büyük veya eşit olması gerekir: \( \frac{x-1}{x-5} \ge 0 \)
- Paydanın sıfır olmaması gerekir: \( x-5 \neq 0 \implies x \neq 5 \)
- Eşitsizliği incelemek için tablo yöntemi kullanabiliriz. Kökler \( x=1 \) ve \( x=5 \).
- Tabloya göre, \( \frac{x-1}{x-5} \ge 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi \( (-\infty, 1] \cup (5, \infty) \) olur.
Örnek 8:
\( f(x) = \sqrt{x^2 - 6x + 9} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 🔑
Çözüm:
Karekök içindeki ifadeyi inceleyelim.
- Karekök içindeki ifade: \( x^2 - 6x + 9 \)
- Bu ifade tam kare bir ifadedir: \( (x-3)^2 \)
- Karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir: \( (x-3)^2 \ge 0 \)
- Herhangi bir reel \( x \) sayısı için \( (x-3)^2 \) her zaman 0'dan büyük veya eşittir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karakok-fonksiyon/sorular