📄 10. Sınıf Matematik: İstatistiksel Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

1. Aritmetik Ortalama:

Verilerin toplamı: \(50 + 70 + 80 + 60 + 90 + 70 + 80 = 500\)

Veri sayısı: \(7\)

Aritmetik Ortalama: \(\frac{500}{7} \approx 71.43\)

2. Medyan:

Verileri küçükten büyüğe sıralayalım: \(50, 60, 70, 70, 80, 80, 90\)

Veri sayısı tek (7) olduğu için ortadaki değer medyan olacaktır. \(\frac{7+1}{2} = 4\). Yani 4. sıradaki değer medyandır.

Medyan: \(70\)

3. Mod:

Veri grubunda en çok tekrar eden değerleri bulalım:

\(50\) (1 kez)

\(60\) (1 kez)

\(70\) (2 kez)

\(80\) (2 kez)

\(90\) (1 kez)

Bu veri grubunda \(70\) ve \(80\) değerleri ikişer kez tekrar ederek en çok tekrar eden değerlerdir. Bu durumda veri grubunun iki modu vardır.

Modlar: \(70\) ve \(80\)

💡 Çözüm Adımları:

1. Açıklık (Range):

En büyük değer: \(28\)

En küçük değer: \(18\)

Açıklık = En büyük değer - En küçük değer = \(28 - 18 = 10\)

2. Standart Sapma:

Önce aritmetik ortalamayı bulalım:

Aritmetik Ortalama (\(\bar{x}\)): \(\frac{18+20+22+24+26+28}{6} = \frac{138}{6} = 23\)

Her bir verinin aritmetik ortalamadan farklarının karelerini bulalım:

\((18-23)^2 = (-5)^2 = 25\)

\((20-23)^2 = (-3)^2 = 9\)

\((22-23)^2 = (-1)^2 = 1\)

\((24-23)^2 = (1)^2 = 1\)

\((26-23)^2 = (3)^2 = 9\)

\((28-23)^2 = (5)^2 = 25\)

Farkların kareleri toplamı: \(25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25 = 70\)

Varyans (\(s^2\)): \(\frac{\text{Farkların kareleri toplamı}}{\text{Veri sayısı} - 1} = \frac{70}{6-1} = \frac{70}{5} = 14\)

Standart Sapma (\(s\)): \(\sqrt{\text{Varyans}} = \sqrt{14} \approx 3.74\)

💡 Çözüm Adımları:

Önce her iki grubun aritmetik ortalamasını, açıklığını ve standart sapmasını hesaplayalım.



Grup A:

* Aritmetik Ortalama (\(\bar{x}_A\)): \(\frac{60+70+70+80+90}{5} = \frac{370}{5} = 74\)

* Açıklık (Range_A): \(90 - 60 = 30\)

* Standart Sapma (\(s_A\)):

Farkların kareleri: \((60-74)^2 = (-14)^2 = 196\), \((70-74)^2 = (-4)^2 = 16\), \((70-74)^2 = (-4)^2 = 16\), \((80-74)^2 = (6)^2 = 36\), \((90-74)^2 = (16)^2 = 256\)

Toplam: \(196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520\)

Varyans (\(s_A^2\)): \(\frac{520}{5-1} = \frac{520}{4} = 130\)

Standart Sapma (\(s_A\)): \(\sqrt{130} \approx 11.40\)



Grup B:

* Aritmetik Ortalama (\(\bar{x}_B\)): \(\frac{50+60+70+80+90+100}{6} = \frac{450}{6} = 75\)

* Açıklık (Range_B): \(100 - 50 = 50\)

* Standart Sapma (\(s_B\)):

Farkların kareleri: \((50-75)^2 = (-25)^2 = 625\), \((60-75)^2 = (-15)^2 = 225\), \((70-75)^2 = (-5)^2 = 25\), \((80-75)^2 = (5)^2 = 25\), \((90-75)^2 = (15)^2 = 225\), \((100-75)^2 = (25)^2 = 625\)

Toplam: \(625 + 225 + 25 + 25 + 225 + 625 = 1750\)

Varyans (\(s_B^2\)): \(\frac{1750}{6-1} = \frac{1750}{5} = 350\)

Standart Sapma (\(s_B\)): \(\sqrt{350} \approx 18.71\)



Karşılaştırma:

* Aritmetik ortalamalar birbirine yakın (74'e karşı 75).

* Grup A'nın açıklığı (30), Grup B'nin açıklığından (50) daha küçüktür. Bu, Grup A'daki notların daha dar bir aralıkta yayıldığını gösterir.

* Grup A'nın standart sapması (\(\approx 11.40\)), Grup B'nin standart sapmasından (\(\approx 18.71\)) daha küçüktür. Standart sapma, verilerin aritmetik ortalamadan ne kadar saptığını gösteren en güvenilir yayılım ölçüsüdür. Standart sapması küçük olan veri grubu daha homojen, yani verileri birbirine daha yakındır ve daha az değişkendir.



Sonuç olarak, Grup A'nın notları daha homojendir çünkü hem açıklığı hem de standart sapması Grup B'ye göre daha düşüktür. Bu da Grup A'daki öğrencilerin notlarının birbirine daha yakın olduğunu ve daha az çeşitlilik gösterdiğini belirtir.