💡 10. Sınıf Matematik: İki noktanın bilindiği doğrunun denklemi Çözümlü Örnekler

İki noktası bilinen doğrunun denklemini bulmak için önce doğrunun eğimini hesaplamalıyız.

• Adım 1: Eğimi (\( m \)) hesaplayalım.
  \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] \[ m = \frac{5 - 3}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2 \]
• Adım 2: Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülünü kullanalım. \( A(1, 3) \) noktasını seçelim:
  \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] \[ y - 3 = 2(x - 1) \]
• Adım 3: Denklemi düzenleyelim:
  \[ y - 3 = 2x - 2 \] \[ y = 2x + 1 \]

Negatif koordinatlara dikkat ederek işlem yapalım:

• Adım 1: Eğimi (\( m \)) bulalım.
  \[ m = \frac{-5 - 4}{1 - (-2)} \] \[ m = \frac{-9}{1 + 2} = \frac{-9}{3} = -3 \]
• Adım 2: \( B(1, -5) \) noktasını kullanarak denklemi yazalım:
  \[ y - (-5) = -3(x - 1) \] \[ y + 5 = -3x + 3 \]
• Adım 3: Denklemi standart forma getirelim:
  \[ 3x + y + 2 = 0 \]

Orijin noktası \( O(0, 0) \) koordinatlarına sahiptir.

• Adım 1: Eğimi hesaplayalım.
  \[ m = \frac{12 - 0}{4 - 0} = \frac{12}{4} = 3 \]
• Adım 2: Orijinden geçen doğruların genel denklemi \( y = mx \) şeklindedir.
  \[ y = 3x \]

Bu özel durumda eksenleri kesen noktalar verildiği için pratik yolu veya genel yolu kullanabiliriz.

• Yol 1 (Eğimden):
  \[ m = \frac{-2 - 0}{0 - 3} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3} \] \[ y - 0 = \frac{2}{3}(x - 3) \] \[ 3y = 2x - 6 \] \[ 2x - 3y - 6 = 0 \]
• Yol 2 (Eksen Formülü):
  \[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \] \[ \frac{x}{3} + \frac{y}{-2} = 1 \] Payda eşitlediğimizde (\( -2 \) ve \( 3 \) ile):
  \[ -2x + 3y = -6 \] \[ 2x - 3y - 6 = 0 \]

Öncelikle \( a \) değerini bulmamız gerekiyor.

• Adım 1: Eğim formülünü uygulayalım.
  \[ 1 = \frac{(a - 1) - 4}{3 - (a + 1)} \] \[ 1 = \frac{a - 5}{2 - a} \] \[ 2 - a = a - 5 \] \[ 7 = 2a \Rightarrow a = 3.5 \]
• Adım 2: Noktaları belirleyelim.
  \( A(3.5 + 1, 4) = A(4.5, 4) \)
  \( B(3, 3.5 - 1) = B(3, 2.5) \)
• Adım 3: Denklemi yazalım (m=1 kullanarak):
  \[ y - 2.5 = 1(x - 3) \] \[ y = x - 0.5 \] veya tam sayı haliyle: \[ 2y - 2x + 1 = 0 \]

Verilenleri koordinat noktaları olarak yazalım:

• Nokta 1: \( (0, 50) \) (Başlangıç anı)
• Nokta 2: \( (4, 30) \) (4 saat sonrası)
• Adım 1: Değişim oranını (eğimi) bulalım.
  \[ m = \frac{30 - 50}{4 - 0} = \frac{-20}{4} = -5 \] Buradaki \( -5 \), deponun saatte 5 litre su kaybettiğini gösterir.
• Adım 2: Denklemi kuralım.
  \[ y - 50 = -5(x - 0) \] \[ y = -5x + 50 \]

Soruda bizden aslında A ve B noktalarından geçen doğrunun denklemi istenmektedir.

• Adım 1: Eğimi bulalım.
  \[ m = \frac{10 - 2}{5 - 1} = \frac{8}{4} = 2 \]
• Adım 2: A noktasını kullanarak denklemi yazalım.
  \[ y - 2 = 2(x - 1) \] \[ y - 2 = 2x - 2 \] \[ y = 2x \]

Noktalar doğrusal ise, herhangi iki noktadan hesaplanan eğimler birbirine eşittir.

• Adım 1: Bilinen \( B \) ve \( C \) noktalarından eğimi bulalım.
  \[ m = \frac{-1 - 5}{-1 - 2} = \frac{-6}{-3} = 2 \]
• Adım 2: Eğimi \( 2 \) olan ve \( B(2, 5) \) noktasından geçen denklemi yazalım.
  \[ y - 5 = 2(x - 2) \] \[ y - 5 = 2x - 4 \] \[ y = 2x + 1 \]
• Ek Bilgi: Eğer \( k \) sorulsaydı, \( A(k, 3) \) noktasını denklemde yerine koyardık:
  \( 3 = 2k + 1 \Rightarrow 2k = 2 \Rightarrow k = 1 \) olurdu.