📝 10. Sınıf Matematik: İki Nokta Arasındaki Uzaklık Ders Notu
İki Nokta Arasındaki Uzaklık 📐
Analitik düzlemde verilen iki noktanın koordinatlarını bildiğimizde, bu iki nokta arasındaki doğru parçasının uzunluğunu hesaplayabiliriz. Bu uzunluk, iki nokta arasındaki uzaklık olarak adlandırılır. Bu konuyu anlamak için Pisagor teoremini kullanacağız.
Pisagor Teoremi Hatırlatma
Bir dik üçgende, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. Eğer dik kenarların uzunlukları \(a\) ve \(b\), hipotenüsün uzunluğu ise \(c\) ise, Pisagor teoremi şu şekilde ifade edilir:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülü
Analitik düzlemde \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktaları verilsin. Bu iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için, bu noktaları birleştiren doğru parçasını hipotenüs kabul eden bir dik üçgen oluşturabiliriz.
Bu dik üçgenin dik kenarlarının uzunlukları şu şekilde bulunur:
- Yatay kenar uzunluğu: \( |x_2 - x_1| \)
- Dikey kenar uzunluğu: \( |y_2 - y_1| \)
Pisagor teoremini uygulayarak, \( A \) ve \( B \) noktaları arasındaki uzaklık \( |AB| \) şu formülle hesaplanır:
\[ |AB|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \]Uzaklık her zaman pozitif olacağından, her iki tarafın karekökünü alarak uzaklık formülünü elde ederiz:
\[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]Örnek 1: Basit Uzaklık Hesaplama
Analitik düzlemde \( A(2, 3) \) ve \( B(5, 7) \) noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.
Çözüm:
Burada \( x_1 = 2 \), \( y_1 = 3 \), \( x_2 = 5 \) ve \( y_2 = 7 \) olarak alınır.
Uzaklık formülünü uygulayalım:
\[ |AB| = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{9 + 16} \] \[ |AB| = \sqrt{25} \] \[ |AB| = 5 \]Dolayısıyla, \( A \) ve \( B \) noktaları arasındaki uzaklık 5 birimdir.
Örnek 2: Negatif Koordinatlarla Uzaklık Hesaplama
Analitik düzlemde \( C(-1, -2) \) ve \( D(3, 1) \) noktaları arasındaki uzaklığı hesaplayınız.
Çözüm:
Burada \( x_1 = -1 \), \( y_1 = -2 \), \( x_2 = 3 \) ve \( y_2 = 1 \) olarak alınır.
Uzaklık formülünü uygulayalım:
\[ |CD| = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - (-2))^2} \] \[ |CD| = \sqrt{(3 + 1)^2 + (1 + 2)^2} \] \[ |CD| = \sqrt{(4)^2 + (3)^2} \] \[ |CD| = \sqrt{16 + 9} \] \[ |CD| = \sqrt{25} \] \[ |CD| = 5 \]Yani, \( C \) ve \( D \) noktaları arasındaki uzaklık 5 birimdir.
Örnek 3: Eksenler Üzerindeki Noktalar
Analitik düzlemde \( E(4, 0) \) ve \( F(0, -3) \) noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.
Çözüm:
Burada \( x_1 = 4 \), \( y_1 = 0 \), \( x_2 = 0 \) ve \( y_2 = -3 \) olarak alınır.
Uzaklık formülünü uygulayalım:
\[ |EF| = \sqrt{(0 - 4)^2 + (-3 - 0)^2} \] \[ |EF| = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} \] \[ |EF| = \sqrt{16 + 9} \] \[ |EF| = \sqrt{25} \] \[ |EF| = 5 \]Bu durumda, \( E \) ve \( F \) noktaları arasındaki uzaklık 5 birimdir.
Günlük Yaşamdan Bir Örnek
Bir alışveriş merkezinde, bir mağaza \( A \) noktasında (koordinatları \( (10, 20) \) olsun) ve bir kafe \( B \) noktasında (koordinatları \( (15, 30) \) olsun) bulunmaktadır. Alışveriş merkezinin zemin planı analitik düzlem olarak düşünülürse, mağaza ile kafe arasındaki en kısa mesafe (düz bir çizgi boyunca) iki nokta arasındaki uzaklık formülü ile bulunabilir. Bu, ziyaretçilerin mağazadan kafeye yürüyebileceği mesafeyi verir.
Hesaplama:
\( x_1 = 10, y_1 = 20, x_2 = 15, y_2 = 30 \)
\[ \text{Mesafe} = \sqrt{(15 - 10)^2 + (30 - 20)^2} \] \[ \text{Mesafe} = \sqrt{(5)^2 + (10)^2} \] \[ \text{Mesafe} = \sqrt{25 + 100} \] \[ \text{Mesafe} = \sqrt{125} \]\( \sqrt{125} \) yaklaşık olarak \( 11.18 \) birimdir. Bu, mağaza ile kafe arasındaki mesafenin yaklaşık \( 11.18 \) metre (eğer ölçek 1 birim = 1 metre ise) olduğunu gösterir.