📄 10. Sınıf Matematik: İki Nokta Arasındaki Uzaklık Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle üçgenin kenar uzunluklarını bulalım:



1. AB uzunluğu: \(AB = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(3+2)^2 + 0^2} = \sqrt{5^2} = 5\) birim.

2. BC uzunluğu: \(BC = \sqrt{(3 - 3)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4\) birim.

3. AC uzunluğu: \(AC = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(3+2)^2 + 4^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}\) birim.



Bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını anlamak için Pisagor Teoremi'ni kontrol ederiz: \(a^2 + b^2 = c^2\). En uzun kenar \(AC\) olduğundan, \(AB^2 + BC^2 = AC^2\) olup olmadığını kontrol edelim:

\(5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41\).

\(AC^2 = (\sqrt{41})^2 = 41\).

\(AB^2 + BC^2 = AC^2\) eşitliği sağlandığından, ABC üçgeni B köşesinde dik açılı bir dik üçgendir.



Çevresi:

Çevre = \(AB + BC + AC = 5 + 4 + \sqrt{41} = 9 + \sqrt{41}\) birimdir.

💡 Çözüm Adımları:

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım:

\(Uzaklık = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

\(5 = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 2)^2}\)

Her iki tarafın karesini alalım:

\(25 = (x - 1)^2 + (y - 2)^2\)

Verilen \(x = y + 1\) ilişkisini bu denklemde yerine koyalım:

\(25 = ((y + 1) - 1)^2 + (y - 2)^2\)

\(25 = (y)^2 + (y - 2)^2\)

\(25 = y^2 + (y^2 - 4y + 4)\)

\(25 = 2y^2 - 4y + 4\)

Denklemi düzenleyelim:

\(2y^2 - 4y + 4 - 25 = 0\)

\(2y^2 - 4y - 21 = 0\)

Bu denklemi çözmek için diskriminant yöntemini kullanabiliriz (\(ax^2+bx+c=0\) için \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)):

\(a=2, b=-4, c=-21\)

\(\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(2)(-21) = 16 + 168 = 184\)

\(y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{184}}{2(2)} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \times 46}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{46}}{4}\)

\(y_1 = \frac{4 + 2\sqrt{46}}{4} = 1 + \frac{\sqrt{46}}{2}\)

\(y_2 = \frac{4 - 2\sqrt{46}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{46}}{2}\)



Şimdi \(x = y + 1\) ilişkisini kullanarak \(x\) değerlerini bulalım:

\(x_1 = (1 + \frac{\sqrt{46}}{2}) + 1 = 2 + \frac{\sqrt{46}}{2}\)

\(x_2 = (1 - \frac{\sqrt{46}}{2}) + 1 = 2 - \frac{\sqrt{46}}{2}\)



B noktasının koordinatları \((2 + \frac{\sqrt{46}}{2}, 1 + \frac{\sqrt{46}}{2})\) veya \((2 - \frac{\sqrt{46}}{2}, 1 - \frac{\sqrt{46}}{2})\) olabilir.

💡 Çözüm Adımları:

C noktası x ekseni üzerinde olduğu için koordinatları \((x, 0)\) şeklinde olacaktır. \(AC = BC\) koşulunu kullanarak \(x\) değerini bulalım.



\(AC^2 = (x - 2)^2 + (0 - 5)^2 = (x - 2)^2 + (-5)^2 = (x - 2)^2 + 25\)

\(BC^2 = (x - 8)^2 + (0 - 5)^2 = (x - 8)^2 + (-5)^2 = (x - 8)^2 + 25\)



\(AC^2 = BC^2\) olduğundan:

\((x - 2)^2 + 25 = (x - 8)^2 + 25\)

\((x - 2)^2 = (x - 8)^2\)



Her iki tarafın karekökünü alırsak (mutlak değer unutulmamalıdır):

\(|x - 2| = |x - 8|\)



Bu denklemi çözmek için iki durum vardır:

Durum 1: \(x - 2 = x - 8\) -> \(-2 = -8\) (Bu durum imkansızdır, çözüm vermez.)

Durum 2: \(x - 2 = -(x - 8)\)

\(x - 2 = -x + 8\)

\(x + x = 8 + 2\)

\(2x = 10\)

\(x = 5\)



Buna göre, x ekseni üzerinde bulunan ve A ile B noktalarına eşit uzaklıkta olan C noktasının koordinatları \((5, 0)\)'dır.