💡 10. Sınıf Matematik: İki nokta arasında uzaklık Çözümlü Örnekler

İki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için uzaklık formülünü kullanırız: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Burada \(A(x_1, y_1) = (3, 5)\) ve \(B(x_2, y_2) = (7, 2)\) olarak alalım.

• \(x_2 - x_1 = 7 - 3 = 4\)
• \(y_2 - y_1 = 2 - 5 = -3\)

Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım: \[ d = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} \] \[ d = \sqrt{16 + 9} \] \[ d = \sqrt{25} \] \[ d = 5 \] Bu nedenle, A ve B noktaları arasındaki uzaklık 5 birimdir. ✅

Orijin noktası \(O(0, 0)\) ve \(P(6, -8)\) noktaları arasındaki uzaklığı hesaplamak için yine uzaklık formülünü kullanabiliriz. \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Burada \( (x_1, y_1) = (0, 0) \) ve \( (x_2, y_2) = (6, -8) \) olarak alalım.

• \(x_2 - x_1 = 6 - 0 = 6\)
• \(y_2 - y_1 = -8 - 0 = -8\)

Formülde yerine koyalım: \[ d = \sqrt{(6)^2 + (-8)^2} \] \[ d = \sqrt{36 + 64} \] \[ d = \sqrt{100} \] \[ d = 10 \] Orijin ile P noktası arasındaki uzaklık 10 birimdir. 🌟

Bu iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için uzaklık formülünü kullanacağız. \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Burada \(C(x_1, y_1) = (1, 2)\) ve \(D(x_2, y_2) = (1, 8)\) olarak alalım.

• \(x_2 - x_1 = 1 - 1 = 0\)
• \(y_2 - y_1 = 8 - 2 = 6\)

Formülde yerine koyalım: \[ d = \sqrt{(0)^2 + (6)^2} \] \[ d = \sqrt{0 + 36} \] \[ d = \sqrt{36} \] \[ d = 6 \] C ve D noktaları arasındaki uzaklık 6 birimdir. Dikkat ederseniz, x koordinatları aynı olduğu için noktalar dikey bir doğru üzerindedir ve uzaklık y koordinatları farkına eşittir. 👉

İki nokta arasındaki uzaklığı hesaplamak için uzaklık formülünü kullanacağız. \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Burada \(E(x_1, y_1) = (-4, 3)\) ve \(F(x_2, y_2) = (2, 3)\) olarak alalım.

• \(x_2 - x_1 = 2 - (-4) = 2 + 4 = 6\)
• \(y_2 - y_1 = 3 - 3 = 0\)

Formülde yerine koyalım: \[ d = \sqrt{(6)^2 + (0)^2} \] \[ d = \sqrt{36 + 0} \] \[ d = \sqrt{36} \] \[ d = 6 \] E ve F noktaları arasındaki uzaklık 6 birimdir. Y koordinatları aynı olduğu için noktalar yatay bir doğru üzerindedir ve uzaklık x koordinatları farkına eşittir. 👍

Bu problemi çözmek için Ali'nin evi ile okul arasındaki mesafeyi, yani A ve B noktaları arasındaki uzaklığı hesaplamamız gerekiyor. Uzaklık formülünü kullanacağız. \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Burada \(A(x_1, y_1) = (2, 3)\) ve \(B(x_2, y_2) = (5, 7)\) olarak alalım.

• \(x_2 - x_1 = 5 - 2 = 3\)
• \(y_2 - y_1 = 7 - 3 = 4\)

Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım: \[ d = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \] \[ d = \sqrt{9 + 16} \] \[ d = \sqrt{25} \] \[ d = 5 \] Ali'nin evinden okula olan kuş uçuşu uzaklık 5 birimdir. 🚀

Bu soruda, parktaki iki bank arasındaki en kısa mesafeyi, yani P ve Q noktaları arasındaki uzaklığı bulmamız gerekiyor. Uzaklık formülünü kullanacağız. \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Burada \(P(x_1, y_1) = (1, 1)\) ve \(Q(x_2, y_2) = (4, 5)\) olarak alalım.

• \(x_2 - x_1 = 4 - 1 = 3\)
• \(y_2 - y_1 = 5 - 1 = 4\)

Formülde yerine koyalım: \[ d = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \] \[ d = \sqrt{9 + 16} \] \[ d = \sqrt{25} \] \[ d = 5 \] İki bank arasındaki en kısa mesafe 5 metredir. 🚶‍♀️🚶‍♂️

K ve L noktaları arasındaki uzaklığın 5 birim olduğu verilmiş. Uzaklık formülünü kullanarak 'a' değerini bulabiliriz. \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Burada \(K(x_1, y_1) = (a, 2)\) ve \(L(x_2, y_2) = (3, 6)\) ve \(d = 5\) olarak alalım.

• \(x_2 - x_1 = 3 - a\)
• \(y_2 - y_1 = 6 - 2 = 4\)

Formülde yerine koyalım: \[ 5 = \sqrt{(3 - a)^2 + (4)^2} \] Her iki tarafın karesini alalım: \[ 5^2 = (3 - a)^2 + 4^2 \] \[ 25 = (3 - a)^2 + 16 \] Şimdi \( (3 - a)^2 \) terimini yalnız bırakalım: \[ (3 - a)^2 = 25 - 16 \] \[ (3 - a)^2 = 9 \] Bu denklemin iki çözümü vardır:

• \(3 - a = 3 \implies a = 0\)
• \(3 - a = -3 \implies a = 6\)

Soruda 'a' değerinin pozitif olması istendiği için, \(a = 6\) değerini alırız. ✅

Bu problemde, bilgisayar oyunundaki karakterin P noktasından Q noktasına olan hareketinin uzunluğunu, yani P ve Q noktaları arasındaki uzaklığı hesaplamamız gerekiyor. Uzaklık formülünü kullanacağız. \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Burada \(P(x_1, y_1) = (1, 1)\) ve \(Q(x_2, y_2) = (7, 9)\) olarak alalım.

• \(x_2 - x_1 = 7 - 1 = 6\)
• \(y_2 - y_1 = 9 - 1 = 8\)

Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım: \[ d = \sqrt{(6)^2 + (8)^2} \] \[ d = \sqrt{36 + 64} \] \[ d = \sqrt{100} \] \[ d = 10 \] Karakterin hareket edeceği yolun uzunluğu 10 birimdir. 💯