💡 10. Sınıf Matematik: İki nokta arası uzaklık Çözümlü Örnekler

İki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için uzaklık formülünü kullanacağız. Formül şöyledir: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Burada \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) noktalarımızın koordinatlarıdır. 1. Noktaları Belirleyelim: * \( A = (x_1, y_1) = (3, 5) \) * \( B = (x_2, y_2) = (7, 2) \) 2. Formülde Yerine Koyalım: * \( x_2 - x_1 = 7 - 3 = 4 \) * \( y_2 - y_1 = 2 - 5 = -3 \) 3. Karelerini Alıp Toplayalım: * \( (x_2 - x_1)^2 = 4^2 = 16 \) * \( (y_2 - y_1)^2 = (-3)^2 = 9 \) * \( (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = 16 + 9 = 25 \) 4. Karekökünü Alalım: * \( d = \sqrt{25} = 5 \) Sonuç olarak, A ve B noktaları arasındaki uzaklık 5 birimdir. ✅

Yine uzaklık formülünü kullanacağız: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] 1. Noktalarımız: * \( C = (x_1, y_1) = (-2, 4) \) * \( D = (x_2, y_2) = (1, -1) \) 2. Farkları Hesaplayalım: * \( x_2 - x_1 = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3 \) * \( y_2 - y_1 = -1 - 4 = -5 \) 3. Karelerini Alıp Toplayalım: * \( (x_2 - x_1)^2 = 3^2 = 9 \) * \( (y_2 - y_1)^2 = (-5)^2 = 25 \) * Toplamları: \( 9 + 25 = 34 \) 4. Karekökünü Alalım: * \( d = \sqrt{34} \) C ve D noktaları arasındaki uzaklık \(\sqrt{34}\) birimdir. Bu ifade daha fazla sadeleşmez. 💡

Orijin ile bir nokta arasındaki uzaklık, o noktanın orijine olan mesafesidir ve uzaklık formülü ile kolayca bulunabilir. 1. Noktalar: * \( O = (x_1, y_1) = (0, 0) \) * \( P = (x_2, y_2) = (6, 8) \) 2. Formülü Uygulayalım: * \( x_2 - x_1 = 6 - 0 = 6 \) * \( y_2 - y_1 = 8 - 0 = 8 \) 3. Hesaplama: * \( d = \sqrt{6^2 + 8^2} \) * \( d = \sqrt{36 + 64} \) * \( d = \sqrt{100} \) * \( d = 10 \) Orijin ile P(6, 8) noktası arasındaki uzaklık 10 birimdir. Bu aynı zamanda 3-4-5 dik üçgeninin bir ölçeğidir (6-8-10). 📐

Bu soruda uzaklık formülünü kullanarak bilinmeyen 'a' değerini bulacağız. 1. Verilenler: * \( K = (x_1, y_1) = (a, 3) \) * \( L = (x_2, y_2) = (5, 7) \) * Uzaklık \( d = 5 \) 2. Uzaklık Formülü: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] 3. Değerleri Yerine Koyalım: \[ 5 = \sqrt{(5 - a)^2 + (7 - 3)^2} \] 4. Denklemi Sadeleştirelim: * \( 7 - 3 = 4 \) * \( 5 = \sqrt{(5 - a)^2 + 4^2} \) * \( 5 = \sqrt{(5 - a)^2 + 16} \) 5. Her İki Tarafın Karesini Alalım: * \( 5^2 = (5 - a)^2 + 16 \) * \( 25 = (5 - a)^2 + 16 \) 6. \( (5 - a)^2 \) Terimini Yalnız Bırakalım: * \( (5 - a)^2 = 25 - 16 \) * \( (5 - a)^2 = 9 \) 7. Karekök Alalım: * \( 5 - a = \sqrt{9} \) veya \( 5 - a = -\sqrt{9} \) * \( 5 - a = 3 \) veya \( 5 - a = -3 \) 8. 'a' Değerlerini Bulalım: * Eğer \( 5 - a = 3 \) ise, \( a = 5 - 3 = 2 \) * Eğer \( 5 - a = -3 \) ise, \( a = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 \) Bu durumda 'a' değeri 2 veya 8 olabilir. 👉

Bu problemde önce harita üzerindeki uzaklığı bulup, sonra haritanın ölçeğini kullanarak gerçek uzaklığı hesaplayacağız. 1. Harita Üzerindeki Uzaklığı Hesaplama: * Noktalar: \( A = (x_1, y_1) = (2, 3) \) ve \( B = (x_2, y_2) = (8, 11) \) * Uzaklık formülü: \( d_{harita} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) * \( x_2 - x_1 = 8 - 2 = 6 \) * \( y_2 - y_1 = 11 - 3 = 8 \) * \( d_{harita} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) birim. 2. Gerçek Uzaklığı Hesaplama: * Haritanın ölçeği: 1 birim = 10 km * Harita üzerindeki uzaklık: 10 birim * Gerçek uzaklık = Harita üzerindeki uzaklık \( \times \) Ölçek * Gerçek uzaklık = \( 10 \text{ birim} \times 10 \text{ km/birim} = 100 \) km. A ve B noktaları arasındaki gerçek uzaklık 100 kilometredir. 🚗

Bir noktanın eksenlere olan uzaklıkları, o noktanın koordinatlarının mutlak değerlerine eşittir. 1. Nokta: \( A(1, 2) \) * \( x \) koordinatı: 1 * \( y \) koordinatı: 2 2. x Eksenine Uzaklık: * Bir noktanın x eksenine olan uzaklığı, o noktanın y koordinatının mutlak değeridir. * \( d_{x-ekseni} = |y| = |2| = 2 \) birim. 3. y Eksenine Uzaklık: * Bir noktanın y eksenine olan uzaklığı, o noktanın x koordinatının mutlak değeridir. * \( d_{y-ekseni} = |x| = |1| = 1 \) birim. 4. Farkın Mutlak Değeri: * İstenen, bu iki uzaklık arasındaki farkın mutlak değeridir. * \( |d_{x-ekseni} - d_{y-ekseni}| = |2 - 1| = |1| = 1 \) birim. A noktasının x eksenine uzaklığı ile y eksenine uzaklığı arasındaki farkın mutlak değeri 1 birimdir. 💯

Bu soruda iki nokta arasındaki uzaklık formülünü değil, iki nokta arasındaki orta noktanın koordinatlarını bulma formülünü kullanacağız. Bu konu genellikle iki nokta arası uzaklık ile birlikte işlenir. Orta noktanın koordinatları \( (x_0, y_0) \) şu formülle bulunur: \[ x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} \] \[ y_0 = \frac{y_1 + y_2}{2} \] 1. Noktalarımız: * \( E = (x_1, y_1) = (4, -1) \) * \( F = (x_2, y_2) = (-2, -5) \) 2. Orta Noktanın x Koordinatını Hesaplayalım: * \( x_0 = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) 3. Orta Noktanın y Koordinatını Hesaplayalım: * \( y_0 = \frac{-1 + (-5)}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \) E ve F noktalarından geçen doğru parçasının orta noktasının koordinatları (1, -3)'tür. 🎯

Bu soruda, P noktasının y ekseni üzerinde olması ve A noktasına eşit uzaklıkta olması koşullarını kullanacağız. 1. P Noktasının Koordinatları: * P noktası y ekseni üzerinde olduğuna göre, x koordinatı 0 olmalıdır. * O halde P noktasının koordinatları \( P(0, y) \) şeklinde olacaktır. 2. A Noktası: \( A(2, 3) \) 3. Uzaklıkları Eşitleme: * P noktasının A noktasına uzaklığı ile P noktasının kendisi arasındaki uzaklık (ki bu 0'dır, ama burada P noktasının bir referans noktasına uzaklığı değil, P noktasının A noktasına uzaklığı ile P noktasının başka bir noktaya uzaklığı eşitlenecek. Soru aslında "A(2,3) noktasına eşit uzaklıkta olan ve y ekseni üzerinde bulunan bir P noktasının koordinatlarını bulunuz" diyor. Bu, P noktasının A noktasına olan uzaklığı ile P noktasının başka bir noktaya olan uzaklığının eşit olduğu anlamına gelmez. Bu, P noktasının A noktasına olan uzaklığının, P noktasının y ekseni üzerindeki bir nokta olmasıyla ilgili bir durum değil. Sorunun doğru yorumu şudur: P noktası y ekseni üzerinde (yani \( x=0 \)) ve A noktasına uzaklığı \( d_{PA} \) olsun. Soruda "eşit uzaklıkta" denmesi, P noktasının A noktasına olan uzaklığının, başka bir noktaya olan uzaklığına eşit olmasıdır. Ancak soruda ikinci bir nokta verilmemiş. Bu tür sorularda genellikle "A noktasına eşit uzaklıkta olan ve y ekseni üzerinde bulunan bir P noktasının koordinatlarını bulunuz" ifadesi, P noktasının y ekseni üzerindeki bir nokta olması ve A noktasına olan uzaklığının belirli bir değere eşit olması veya başka bir koşul içermesi beklenir. Eğer soru "A(2,3) noktasına eşit uzaklıkta olan ve orijine eşit uzaklıkta olan bir P noktasının koordinatlarını bulunuz" şeklinde olsaydı, çözülebilirdi. Mevcut haliyle soruyu şu şekilde yorumlayalım: "y ekseni üzerinde bulunan bir P(0, y) noktasının, A(2, 3) noktasına olan uzaklığı \( d_{PA} \) olsun. Bu uzaklığı veren bir P noktası arıyoruz." Ancak "eşit uzaklıkta" ifadesi bir karşılaştırma gerektirir. Sorunun Muhtemel Anlamı: "A(2,3) noktasına eşit uzaklıkta olan ve y ekseni üzerinde bulunan bir nokta" ifadesi, P noktasının kendisiyle olan uzaklığını kastetmez. Bu, P noktasının A noktasına olan uzaklığının, P noktasının başka bir noktaya olan uzaklığına eşit olduğunu ima eder. Eğer soruda "A(2,3) noktasına eşit uzaklıkta olan ve y ekseni üzerinde bulunan bir P noktasının koordinatlarını bulunuz" deniyorsa ve başka bir nokta belirtilmemişse, bu genellikle P noktasının kendisinin bir özelliğinden dolayı eşit uzaklıkta olması anlamına gelmez. Soruyu Düzeltelim (Varsayım): "A(2,3) noktasına 5 birim uzaklıkta olan ve y ekseni üzerinde bulunan bir P noktasının koordinatlarını bulunuz." Eğer böyle olsaydı: * \( P(0, y) \) ve \( A(2, 3) \) * \( d_{PA} = 5 \) * \( \sqrt{(2 - 0)^2 + (3 - y)^2} = 5 \) * \( \sqrt{2^2 + (3 - y)^2} = 5 \) * \( \sqrt{4 + (3 - y)^2} = 5 \) * \( 4 + (3 - y)^2 = 25 \) * \( (3 - y)^2 = 21 \) * \( 3 - y = \sqrt{21} \) veya \( 3 - y = -\sqrt{21} \) * \( y = 3 - \sqrt{21} \) veya \( y = 3 + \sqrt{21} \) * P noktaları: \( (0, 3 - \sqrt{21}) \) ve \( (0, 3 + \sqrt{21}) \) Sorunun Orijinal Haliyle En Makul Yorumu: "A(2,3) noktasına eşit uzaklıkta olan ve y ekseni üzerinde bulunan bir P noktasının koordinatlarını bulunuz." Bu, P noktasının A noktasına olan uzaklığının, P noktasının y eksenine olan uzaklığına eşit olması anlamına gelmez. Bu, P noktasının A noktasına olan uzaklığının, P noktasının başka bir noktaya olan uzaklığına eşit olmasıdır. Eğer soruda başka bir nokta verilmemişse, bu tür bir ifade genellikle "A noktasına eşit uzaklıkta olan ve y ekseni üzerinde bulunan bir nokta" yerine, "A(2,3) noktasına eşit uzaklıkta olan ve orijine de eşit uzaklıkta olan bir P noktasının koordinatlarını bulunuz" gibi bir soru bekler. Soruyu, "A(2,3) noktasına eşit uzaklıkta olan ve y ekseni üzerinde bulunan bir P noktasının koordinatlarını bulunuz" şeklinde bırakırsak ve "eşit uzaklıkta" ifadesini "P noktasının A noktasına uzaklığı, P noktasının y eksenine olan uzaklığına eşittir" şeklinde yorumlarsak (ki bu standart bir yorum değildir): * \( P(0, y) \) * \( d_{PA} = \sqrt{(2 - 0)^2 + (3 - y)^2} = \sqrt{4 + (3 - y)^2} \) * P noktasının y eksenine uzaklığı \( |x_P| = |0| = 0 \) * \( \sqrt{4 + (3 - y)^2} = 0 \) * Bu durumda \( 4 + (3 - y)^2 = 0 \) olur ki bu imkansızdır çünkü kareler toplamı pozitif olmak zorundadır. Sorunun En Doğru ve Yaygın Yorumu (Varsayım): "A(2,3) noktasına eşit uzaklıkta olan ve y ekseni üzerinde bulunan bir P noktasının koordinatlarını bulunuz." Bu, P noktasının A noktasına olan uzaklığının, P noktasının orijine olan uzaklığına eşit olduğunu varsaymak demektir. * \( P(0, y) \) * \( A(2, 3) \) * Orijin \( O(0, 0) \) * \( d_{PA} = d_{PO} \) * \( \sqrt{(2 - 0)^2 + (3 - y)^2} = \sqrt{(0 - 0)^2 + (y - 0)^2} \) * \( \sqrt{2^2 + (3 - y)^2} = \sqrt{y^2} \) * \( \sqrt{4 + (3 - y)^2} = |y| \) * Her iki tarafın karesini alalım: \( 4 + (3 - y)^2 = y^2 \) * \( 4 + (9 - 6y + y^2) = y^2 \) * \( 4 + 9 - 6y + y^2 = y^2 \) * \( 13 - 6y + y^2 = y^2 \) * \( 13 - 6y = 0 \) * \( 6y = 13 \) * \( y = \frac{13}{6} \) Bu durumda P noktasının koordinatları \( (0, \frac{13}{6}) \) olur. Bu, sorunun en olası ve çözülebilir yorumudur. ✅