📄 10. Sınıf Matematik: İki nokta arası uzaklık Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

İki nokta arası uzaklık formülü \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) şeklindedir.

Verilen noktalar A(3, -2) ve B(-1, 1) olsun.

\(x_1 = 3\), \(y_1 = -2\)

\(x_2 = -1\), \(y_2 = 1\)

Formülde yerine yazarsak:

\(d = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (1 - (-2))^2}\)

\(d = \sqrt{(-4)^2 + (1 + 2)^2}\)

\(d = \sqrt{16 + 3^2}\)

\(d = \sqrt{16 + 9}\)

\(d = \sqrt{25}\)

\(d = 5\) birimdir.

Dolayısıyla A ve B noktaları arasındaki uzaklık 5 birimdir.

💡 Çözüm Adımları:

Orijin, koordinat düzleminde \((0,0)\) noktasıdır. P(x, y) noktasının orijine olan uzaklığı, P noktası ile \((0,0)\) noktası arasındaki uzaklıktır. Bu uzaklık, iki nokta arası uzaklık formülü kullanılarak bulunur:

\(d_{orijin} = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}\) birimdir.



P(x, y) noktasının x eksenine olan uzaklığı ise, bu noktanın x ekseni üzerindeki dik izdüşüm noktası ile P noktası arasındaki uzaklıktır. P noktasının x ekseni üzerindeki dik izdüşüm noktası \((x, 0)\) noktasıdır.

Bu durumda x eksenine olan uzaklık:

\(d_{x-ekseni} = \sqrt{(x - x)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{0^2 + y^2} = \sqrt{y^2} = |y|\) birimdir.

Yani, bir noktanın x eksenine olan uzaklığı, o noktanın y koordinatının mutlak değeridir.

💡 Çözüm Adımları:

A(a, 4) ve B(1, 1) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim olarak verilmiştir.

İki nokta arası uzaklık formülünü kullanalım:

\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

\(5 = \sqrt{(1 - a)^2 + (1 - 4)^2}\)

Her iki tarafın karesini alalım:

\(5^2 = (1 - a)^2 + (-3)^2\)

\(25 = (1 - a)^2 + 9\)

\(25 - 9 = (1 - a)^2\)

\(16 = (1 - a)^2\)

Bu denklemi çözmek için iki durum vardır:

Durum 1: \(1 - a = 4\)

\(-a = 4 - 1\)

\(-a = 3\)

\(a = -3\)

Durum 2: \(1 - a = -4\)

\(-a = -4 - 1\)

\(-a = -5\)

\(a = 5\)

Dolayısıyla a'nın alabileceği değerler -3 ve 5'tir.